2017 年内蒙古包头市青山区中考数学二模试卷一、选择题（本大题共12 小题，每小题 3 分，共 36 分）1．计算 2﹣（﹣ 1）2等于（）A． 1B． 0C．﹣ 1 D． 32．下列计算中，不正确的是（）A．﹣ 2x+3x=x B． 6xy 2÷2xy=3y2363222C．（﹣ 2x y） =﹣ 6x y D ．2xy ?（﹣ x） =﹣ 2x y3．函数 y=的自变量 x 的取值范围为（）A． x＞2 B ． x＜2 C ． x≤ 2 D ． x≠ 24．某校为了了解九年级学生的体能情况，随机抽查了其中的30 名学生，测试了 1 分钟仰卧起坐的次数，并绘制成如图所示的频数分布直方图，请根据图示计算，仰卧起坐次数在30～ 35次之间的频率是（）A． 0.2B． 0.17 C ． 0.33 D ． 0.145．下列方程中，没有实数根的是（）A． 2x+3=0B． x2﹣ 1=0C．=﹣3D．x2+x﹣ 1=06．如图，过点C（﹣ 2， 5）的直线AB分别交坐标轴于A（ 0， 2）， B 两点，则tan ∠ OAB=（）A．B．C．D．7．如图是一个直三棱柱的立体图和主视图、俯视图，根据立体图上的尺寸标注，它的左视图的面积为（）A． 24B． 30C． 18D． 14.48．时，代数式的值是（）A．B．C．D．9．已知⊙ O 的半径是4，P 是⊙ O外的一点，且PO=8，从点 P 引⊙ O的两条切线，切点分别是A，B，则 AB=（）A． 4B．C．D．10．随机掷一枚质地均匀的硬币三次，则至少有一次反面朝上的概率是（）A．B．C．D．11．已知下列命题：（ 1） 16 的平方根是±4（ 2）若 x=3，则 x2﹣ 3x=0（ 3）六边形的内角和是外角和的 2 倍（ 4）顺次连接菱形四边中点的线段组成的四边形是矩形其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（）A． 1 个B． 2 个C． 3 个D． 4 个12．如图，抛物线y=﹣x2+ x+与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．若点 P 是线段 AC上方的抛物线上一动点，当△ACP的面积取得最大值时，点P 的坐标是（）A．（ 4，3） B．（ 5，） C．（ 4，） D．（5， 3）二、填空题（本大题共8 小题，每小题 3 分，共 24 分）13．分解因式： a2b+2ab2+b3=．15．在综合实践课上，六名同学做的作品的数量（单位：件）分别是：5， 7， 3，x， 6， 4；若这组数据的平均数是 5，则这组数据的中位数是件．22216．若关于 x 的方程 x +2mx+m+3m﹣ 2=0 有两个实数根x1、 x2，则 x1（ x2+x1）+x2的最小值为．17．如图，在扇形 OAB中，∠ AOB=110°，半径OA=18，将扇形 OAB沿过点 B 的直线折叠，点O恰好落在上的点 D处，折痕交 OA于点 C，则的长为．18．如图，在Rt△ AOB中，直角边OA、OB分别在 x 轴的负半轴和y 轴的正半轴上，将△AOB绕点 B 逆时针旋转 90°后，得到△ A′O′B，且反比例函数y=的图象恰好经过斜边A′B的中点 C，若 S ABO=4，tan ∠ BAO=2，则 k=．19．如图，在平行四边形ABCD中，点 E 是边 AD的中点， EC交对角线 BD于点 F，若 S△DEC=3，则 S△BCF=．20．如图， CB=CA，∠ ACB=90°，点 D 在边 BC上（与 B、C 不重合），四边形 ADEF为正方形，过点 F 作 FG⊥CA，交 CA的延长线于点G，连接 FB，交 DE于点 Q，给出以下结论：① AC=FG；② S FAB：S2=1： 2；③∠ ABC=∠ ABF；④ AD=FQ?AC，△四边形 CBFG其中正确的结论的个数是．三、解答题（本大题共 6 小题，共60 分）21．在“书香八桂，阅读圆梦”读书活动中，某中学设置了书法、国学诵读、演讲、征文四个比赛项目（每人只参加一个项目），九（ 2）班全班同学都参加了比赛，该班班长为了了解本班同学参加各项比赛的情况，收集整理数据后，绘制以下不完整的折线统计图（图1）和扇形统计图（图2），根据图表中的信息解答下列各题：（1）请求出九（ 2）全班人数；（2）请把折线统计图补充完整；（3）南南和宁宁参加了比赛，请用“列表法”或“画树状图法”求出他们参加的比赛项目相同的概率．22．甲、乙两条轮船同时从港口 A 出发，甲轮船以每小时30 海里的速度沿着北偏东60°的方向航行，乙轮船以每小时15 海里的速度沿着正东方向行进， 1 小时后，甲船接到命令要与乙船会合，于是甲船改变了行进的速度，沿着东南方向航行，结果在小岛 C 处与乙船相遇．假设乙船的速度和航向保持不变，求：（ 1）港口 A 与小岛 C 之间的距离；（ 2）甲轮船后来的速度．23．某批发市场有中招考试文具套装，其中 A 品牌的批发价是每套20 元， B 品牌的批发价是每套25 元，小王需购买 A、 B 两种品牌的文具套装共 1000套．（1）若小王按需购买 A、B 两种品牌文具套装共用 22000 元，则各购买多少套？（2）凭会员卡在此批发市场购买商品可以获得8 折优惠，会员卡费用为 500 元．若小王购买会员卡并用此卡（ 3）若小王购买会员卡并用此卡按需购买1000 套文具套装，共用了20000 元，他计划在网店包邮销售这两种文具套装，每套文具套装小王需支付邮费8 元，若 A 品牌每套销售价格比 B 品牌少 5 元，请你帮他计算，A 品牌的文具套装每套定价不低于多少元时才不亏本（运算结果取整数）？24．已知：如图，△ ABC内接于⊙ O，AB为直径，∠ CBA的平分线交 AC于点 F，交⊙ O于点 D， DE⊥ AB于点 E，且交 AC于点 P，连结 AD．（1）求证：∠ DAC=∠ DBA；（2）求证： P 是线段 AF 的中点；（3）连接 CD，若 CD﹦ 3，BD﹦ 4，求⊙ O的半径和 DE的长．25．如图 1，在正方形ABCD中， E、F 分别为 BC、 CD的中点，连接A E、 BF，交点为G．（1）求证： AE⊥ BF；（2）将△ BCF沿 BF 对折，得到△ BPF（如图 2），延长 FP 到 BA 的延长线于点 Q，求 sin ∠ BQP的值；（3）将△ ABE绕点 A 逆时针方向旋转，使边 AB 正好落在 AE上，得到△ AHM（如图 3），若 AM和 BF 相交于点N，当正方形ABCD的面积为 4 时，求四边形GHMN的面积．26．如图，在矩形OABC中， OA=5，AB=4，点 D 为边 AB上一点，将△BCD沿直线CD折叠，使点 B 恰好落在边OA上的点 E 处，分别以 OC， OA所在的直线为x 轴， y 轴建立平面直角坐标系．（ 1）求 OE的长及经过 O，D， C 三点抛物线的解析式；（ 2）一动点 P 从点 C 出发，沿 CB 以每秒 2 个单位长度的速度向点 B 运动，同时动点 Q从 E 点出发，沿 EC 以每秒 1 个单位长度的速度向点 C 运动，当点P 到达点 B 时，两点同时停止运动，设运动时间为t 秒，当 t 为何值时， DP=DQ；（ 3）若点 N 在（ 1）中抛物线的对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点 N，使 M， N，C，E 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出M点坐标；若不存在，请说明理由．2017 年内蒙古包头市青山区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12 小题，每小题 3 分，共 36 分）1．计算 2﹣（﹣ 1）2等于（）A． 1B． 0C．﹣ 1 D． 3【考点】 1E：有理数的乘方．【分析】先乘方，再加减计算即可．2【解答】解： 2﹣（﹣ 1） =2﹣ 1=1．2．下列计算中，不正确的是（）A．﹣ 2x+3x=x B． 6xy 2÷2xy=3y23 6 3222C．（﹣ 2x y） =﹣ 6x y D ．2xy ?（﹣ x） =﹣ 2x y【考点】 4H：整式的除法；35：合并同类项；47：幂的乘方与积的乘方；49：单项式乘单项式．【分析】根据同类项、同底数幂的除法、积的乘方以及整式的乘法计算即可．【解答】解： A、﹣ 2x+3x=x ，正确；B、 6xy2÷2xy=3y ，正确；C、（﹣ 2x 2y）3=﹣ 8x6y3，错误；D、 2xy2 ?（﹣ x） =﹣2x2y2，正确；故选 C．3．函数 y=的自变量x 的取值范围为（）A． x＞2 B ． x＜2 C ． x≤ 2 D ． x≠ 2【考点】 E4：函数自变量的取值范围．【分析】根据当函数表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零，判断求解即可．【解答】解：∵函数表达式y=的分母中含有自变量x，∴自变量x 的取值范围为：x﹣ 2≠ 0，即x≠ 2．故选 D．4．某校为了了解九年级学生的体能情况，随机抽查了其中的30 名学生，测试了 1 分钟仰卧起坐的次数，并绘制成如图所示的频数分布直方图，请根据图示计算，仰卧起坐次数在30～ 35 次之间的频率是（）A． 0.2B． 0.17 C ． 0.33 D ． 0.14【考点】 V8：频数（率）分布直方图．【分析】根据频率 =频数÷总数，代入数计算即可．【解答】解：利用条形图可得出：仰卧起坐次数在 30～ 35 次的频数为 5，则仰卧起坐次数在 30～ 35 次的频率为： 5÷ 30≈ 0.17 ．故选 B．5．下列方程中，没有实数根的是（）A． 2x+3=0B． x2﹣ 1=0C．=﹣3D．x2+x﹣ 1=0【考点】 AA：根的判别式；B2：分式方程的解．【分析】 A、解一元一次方程，可得出方程有解；B、由方程的系数结合根的判别式，可得出△=4＞ 0，即方程x2﹣ 1=0 有两个不相等的实数根；C、解分式方程求出x=2，经检验， x=2 是方程的增根，即原分式方程没有实数根； D、由方程的系数结合根的判别式，可得出△=5＞ 0，即方程x2 +x﹣ 1=0 有两个不相等的实数根．此题得解．【解答】解： A、∵ 2x+3=0，∴ x=﹣；B、在方程 x2﹣ 1=0 中，△ =02﹣ 4× 1×（﹣ 1） =4＞ 0，∴方程 x2﹣ 1=0 有两个不相等的实数根；C、解分式方程=﹣3，得： x=2，∵分母 x﹣ 2=0，∴原分式方程无解；D、在方程 x2+x﹣ 1=0 中，△ =12﹣ 4× 1×（﹣ 1）=5，∴方程 x2+x﹣ 1=0 有两个不相等的实数根．故选 C．6．如图，过点C（﹣ 2， 5）的直线AB分别交坐标轴于A（ 0， 2）， B 两点，则tan ∠ OAB=（）A．B．C．D．【考点】 T7：解直角三角形；D5：坐标与图形性质．【分析】利用待定系数法求得直线AB的解析式，然后求得 B 的坐标，进而利用正切函数定义求解．【解答】解：设直线AB的解析式是y=kx+b ，根据题意得：，解得，则直线 AB的解析式是y=﹣x+2．在y= ﹣ x+2 中令 y=0，解得 x= ．则 B 的坐标是（，0），即OB=．则 tan ∠OAB= = =．故选 B．7．如图是一个直三棱柱的立体图和主视图、俯视图，根据立体图上的尺寸标注，它的左视图的面积为（）A． 24B． 30C． 18D． 14.4【考点】 U3：由三视图判断几何体；KS：勾股定理的逆定理；U1：简单几何体的三视图．【分析】根据主视图、俯视图，根据立体图上的尺寸标注，求得左视图为长方形，其长为6，宽为，进而得到左视图的面积．【解答】解：如图所示，根据俯视图中三角形的三边分别为3， 4， 5，∴俯视图为直角三角形，且斜边为5，故斜边上的高为=∵左视图为长方形，其长为6，宽为，∴左视图的面积=6×=14.4 ，故选： D．8．时，代数式的值是（）A．B．C．D．【考点】 6D：分式的化简求值．【分析】先把括号内通分得到原式=﹣?，然后约分得原式=﹣，最后把x=代入，利用二次根式的分母有理化计算即可．【解答】解：原式 =?（﹣）=﹣?=﹣，当 x=，原式=﹣=﹣=．故选 B．9．已知⊙ O 的半径是4，P 是⊙ O外的一点，且PO=8，从点 P 引⊙ O的两条切线，切点分别是A，B，则 AB=（）A． 4B．C．D．【考点】 MG：切线长定理；KL：等边三角形的判定；KQ：勾股定理．【分析】在 Rt△ POA中，用勾股定理，可求得PA 的长，进而可根据∠APO的正弦值求出AC 的长，即可求出AB的长．【解答】解：如图所示，PA、 PB切⊙ O于 A、B，因为 OA=4， PO=8，则 AP==4，∠ APO=30°，∵∠ APB=2∠APO=60°故△ PAB是等边三角形，AB=AP=4故选 C．10．随机掷一枚质地均匀的硬币三次，则至少有一次反面朝上的概率是（）A．B．C．D．【考点】 X6：列表法与树状图法．【分析】根据题意可以写出所有的可能性，从而可以求得至少有一次反面朝上的概率．【解答】解：由题意可得，所有的可能性为：（正，正，正）、（正，正，反）、（正，反，正）、（正，反，反）、（反，正，正）、（反，正，反）、（反，反，正）、（反，反，反），∴至少有一次反面朝上的概率是：，故选 A．11．已知下列命题：（1） 16 的平方根是± 4（2）若 x=3，则 x2﹣ 3x=0（ 3）六边形的内角和是外角和的 2 倍（ 4）顺次连接菱形四边中点的线段组成的四边形是矩形其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（）A． 1 个B． 2 个C． 3 个D． 4 个【考点】 O1：命题与定理．【分析】利用平方根的定义、一元二次方程的根、多边形的内角和与外角和及矩形的判定分别判断后即可确定正确的选项．【解答】解：（ 1） 16 的平方根是± 4，正确，为真命题；（ 2）若 x=3，则 x2﹣ 3x=0，正确，为真命题；（ 3）六边形的内角和是外角和的 2 倍，正确，为真命题；（ 4）顺次连接菱形四边中点的线段组成的四边形是矩形，正确，为真命题，故选 D．12．如图，抛物线y=﹣x2+ x+与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．若点 P 是线段 AC上方的抛物线上一动点，当△ACP的面积取得最大值时，点P 的坐标是（）A．（ 4，3）B．（ 5，）C．（4，）D．（5，3）【考点】 HA：抛物线与x 轴的交点； H7：二次函数的最值．【分析】连接 PC、 PO、 PA，设点 P坐标（ m，﹣），根据S△PAC=S△PCO+S△POA﹣S△AOC构建二次函数，利用函数性质即可解决问题．【解答】解：连接 PC、 PO、 PA，设点 P 坐标（ m，﹣）令x=0，则 y= ，点 C 坐标（ 0，），令y=0 则﹣x2+ x+ =0，解得 x=﹣ 2 或 10，∴点 A坐标（ 10， 0），点 B 坐标（﹣ 2， 0），∴ S△PAC=S△PCO+S△POA﹣ S△AOC= ××m+ × 10×（﹣）﹣× × 10=﹣（ m﹣ 5）2+，∴ x=5 时，△ PAC面积最大值为，此时点 P 坐标（ 5，）．故点 P坐标为（ 5，）．二、填空题（本大题共8 小题，每小题 3 分，共 24 分）13．分解因式： a2b+2ab2+b3= b（ a+b）2．【考点】 55：提公因式法与公式法的综合运用．【分析】先提取公因式，再利用公式法把原式进行因式分解即可．2故答案为： b（ a+b）2．14．如图，已知直线a∥ b，△ ABC的顶点 B 在直线 b 上，∠ C=90°，∠ 1=36°，则∠2 的度数是54°．【考点】 JA：平行线的性质．【分析】过点 C 作 CF∥ a，由平行线的性质求出∠ ACF的度数，再由余角的定义求出∠ BCF的度数，进而可得出结论．【解答】解：过点 C 作 CF∥ a，∵∠ 1=36°，∴∠ 1=∠ACF=36°．∵∠ C=90°，∴∠ BCF=90°﹣ 36°=54°．∵直线 a∥ b，∴CF∥b，∴∠ 2=∠BCF=54°．故答案为： 54°．15．在综合实践课上，六名同学做的作品的数量（单位：件）分别是：5， 7， 3，x， 6， 4；若这组数据的平均数是 5，则这组数据的中位数是5件．【考点】 W4：中位数； W1：算术平均数．【分析】本题可先算出x 的值，再把数据按从小到大的顺序排列，根据中位数定义求解．【解答】解：由平均数的定义知，得x=5，将这组数据按从小到大排列为3， 4， 5， 5， 6， 7，由于有偶数个数，取最中间两个数的平均数，其中位数为．16．若关于22有两个实数根2的最小值为．x 的方程 x +2mx+m+3m﹣ 2=0x1、 x2，则 x1（ x2+x1）+x2【考点】 AB：根与系数的关系；H7：二次函数的最值．【分析】由题意可得△ =b2﹣ 4ac ≥ 0，然后根据不等式的最小值计算即可得到结论．【解答】解：由题意知，方程22有两个实数根，x +2mx+m+3m﹣ 2=0则△ =b2﹣4ac=4m2﹣ 4（ m2+3m﹣ 2） =8﹣ 12m≥ 0，∴ m≤，2∵ x1（ x2+x1） +x22=（ x2+x1）﹣ x1x222=（﹣ 2m）﹣（ m+3m﹣ 2）2=3（ m2﹣ m+ ﹣）+2=3（ m﹣）2+；∴当 m= 时，有最小值；∵＜，∴m= 成立；∴最小值为；故答案为：．17．如图，在扇形OAB中，∠ AOB=110°，半径OA=18，将扇形OAB沿过点 B 的直线折叠，点O恰好落在上的点 D处，折痕交OA于点 C，则的长为5π．【考点】 MN：弧长的计算；PB：翻折变换（折叠问题）．【分析】如图，连接OD．根据折叠的性质、圆的性质推知△ODB 是等边三角形，则易求∠AOD=110°﹣∠DOB=50°；然后由弧长公式弧长的公式l=来求的长．根据折叠的性质知，OB=DB．又∵ OD=OB，∴OD=OB=DB，即△ ODB是等边三角形，∴∠ DOB=60°．∵∠ AOB=110°，∴∠ AOD=∠ AOB﹣∠ DOB=50°，∴的长为=5π ．故答案是： 5π ．18．如图，在Rt△ AOB中，直角边OA、OB分别在 x 轴的负半轴和y 轴的正半轴上，将△AOB绕点 B 逆时针旋转 90°后，得到△ A′O′B，且反比例函数y=的图象恰好经过斜边A′B的中点 C，若 S ABO=4，tan ∠ BAO=2，则 k= 6．【考点】 R7：坐标与图形变化﹣旋转；G5：反比例函数系数k 的几何意义； T7：解直角三角形．【分析】先根据 S△ABO=4，tan ∠ BAO=2求出 AO、BO的长度，再根据点 C为斜边 A′B的中点，求出点 C 的坐标，点 C 的横纵坐标之积即为 k 值．【解答】解：设点 C 坐标为（ x， y），作 CD⊥BO′交边BO′于点 D，∵tan ∠BAO=2，∴=2，∵S△ABO= ?AO?BO=4，∴AO=2， BO=4，∵△ ABO≌△ A'O'B ，∴A O=A′O′=2，BO=BO′=4，∵点 C为斜边 A′B的中点， CD⊥BO′，∴CD= A′O′=1， BD= BO′=2，∴x=BO﹣ CD=4﹣1=3， y=BD=2，∴k=x?y=3?2=6．故答案为6．19．如图，在平行四边形ABCD中，点 E 是边 AD的中点， EC交对角线 BD于点 F，若 S△DEC=3，则 S△BCF= 4．【考点】 S9：相似三角形的判定与性质；L5：平行四边形的性质．【分析】根据平行四边形的性质得到AD∥ BC和△ DEF∽△ BCF，由已知条件求出△DEF的面积，根据相似三角形的面积比是相似比的平方得到答案．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC， AD=BC，∴△ DEF∽△ BCF，∴，= （）2，∵E 是边AD的中点，∴ DE= AD= BC，∴=，∴△ DEF的面积 =S△DEC=1，∴= ，∴S△BCF=4；故答案为： 4．20．如图， CB=CA，∠ ACB=90°，点 D 在边BC上（与B、C 不重合），四边形ADEF为正方形，过点 F 作 FG⊥2① AC=FG；② S△FAB： S 四边形CBFG=1： 2；③∠ ABC=∠ ABF；④ AD=FQ?AC，其中正确的结论的个数是①②③④．【考点】 S9：相似三角形的判定与性质；KD：全等三角形的判定与性质；LE：正方形的性质．【分析】由正方形的性质得出∠ FAD=90°，AD=AF=EF，证出∠ CAD=∠ AFG，由AAS 证明△ FGA≌△ ACD，得出AC=FG，①正确；证明四边形CBFG是矩形，得出S△FAB=FB?FG= S 四边形CBFG，②正确；由等腰直角三角形的性质和矩形的性质得出∠证出△ ACD∽△ FEQ，得出对应边成比例，得出【解答】解：∵四边形 ADEF为正方形，∴∠FAD=90°， AD=AF=EF，∴∠ CAD+∠FAG=90°，∵FG⊥CA，∴∠ GAF+∠AFG=90°，∴∠ CAD=∠ AFG，ABC=∠ABF=45°，③正确；2D?FE=AD=FQ?AC，④正确．在△ FGA和△ ACD中，，∴△ FGA≌△ ACD（ AAS），∴AC=FG，①正确；∵ BC=AC，∴FG=BC，∵∠ ACB=90°， FG⊥ CA，∴FG∥BC，∴四边形CBFG是矩形，∴∠ CBF=90°， S△FAB=FB?FG= S 四边形CBFG，②正确；∵CA=CB，∠ C=∠CBF=90°，∴∠ ABC=∠ABF=45°，③正确；∵∠ FQE=∠ DQB=∠ ADC，∠E=∠C=90°，∴△ ACD∽△ FEQ，∴ AC：AD=FE： FQ，2∴AD?FE=AD=FQ?AC，④正确；故答案为：①②③④．三、解答题（本大题共 6 小题，共60 分）21．在“书香八桂，阅读圆梦”读书活动中，某中学设置了书法、国学诵读、演讲、征文四个比赛项目（每人只参加一个项目），九（ 2）班全班同学都参加了比赛，该班班长为了了解本班同学参加各项比赛的情况，收集整理数据后，绘制以下不完整的折线统计图（图1）和扇形统计图（图2），根据图表中的信息解答下列各题：（1）请求出九（ 2）全班人数；（2）请把折线统计图补充完整；（3）南南和宁宁参加了比赛，请用“列表法”或“画树状图法”求出他们参加的比赛项目相同的概率．【考点】X6：列表法与树状图法；VB：扇形统计图；VD：折线统计图．【分析】（ 1）由演讲人数 12 人，占 25%，即可求得九（ 2）全班人数；（ 2）首先求得书法与国学诵读人数，继而补全折线统计图；（ 3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与他们参加的比赛项目相同的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：（ 1）∵演讲人数12 人，占 25%，∴出九（ 2）全班人数为：12÷ 25%=48（人）；（2）∵国学诵读占50%，∴国学诵读人数为：48× 50%=24（人），∴书法人数为： 48﹣24﹣ 12﹣ 6=6（人）；补全折线统计图；18（3）分别用A，B，C，D表示书法、国学诵读、演讲、征文，画树状图得：∵共有 16 种等可能的结果，他们参加的比赛项目相同的有 4 种情况，∴他们参加的比赛项目相同的概率为：=．22．甲、乙两条轮船同时从港口 A 出发，甲轮船以每小时30 海里的速度沿着北偏东60°的方向航行，乙轮船以每小时15 海里的速度沿着正东方向行进， 1 小时后，甲船接到命令要与乙船会合，于是甲船改变了行进的速度，沿着东南方向航行，结果在小岛 C 处与乙船相遇．假设乙船的速度和航向保持不变，求：（ 1）港口 A 与小岛 C 之间的距离；（ 2）甲轮船后来的速度．【考点】 TB：解直角三角形的应用﹣方向角问题．【分析】（ 1）根据题意画出图形，再根据平行线的性质及直角三角形的性质解答即可．（ 2）根据甲乙两轮船从港口 A 至港口 C 所用的时间相同，可以求出甲轮船从 B 到 C 所用的时间，又知BC间的距离，继而求出甲轮船后来的速度．【解答】解：（ 1）作 BD⊥AC于点 D，如图所示：由题意可知：AB=30× 1=30 海里，∠ BAC=30°，∠ BCA=45°，在Rt △ABD中，∵AB=30海里，∠ BAC=30°，∴ BD=15海里， AD=ABcos30°=15海里，在Rt △BCD中，∵BD=15海里，∠ BCD=45°，∴ CD=15海里， BC=15 海里，∴AC=AD+CD=15 +15 海里，即 A、 C间的距离为（ 15+15）海里．（ 2）∵ AC=15+15（海里），轮船乙从 A 到 C的时间为=+1，由 B 到 C 的时间为+1﹣ 1=，∵ BC=15海里，∴轮船甲从 B 到 C 的速度为=5（海里/小时）．23．某批发市场有中招考试文具套装，其中 A 品牌的批发价是每套20 元， B 品牌的批发价是每套25 元，小王需购买 A、 B 两种品牌的文具套装共 1000套．（1）若小王按需购买 A、B 两种品牌文具套装共用 22000 元，则各购买多少套？（2）凭会员卡在此批发市场购买商品可以获得8 折优惠，会员卡费用为 500 元．若小王购买会员卡并用此卡按需购买1000 套文具套装，共用了y 元，设 A 品牌文具套装买了x 包，请求出y 与 x 之间的函数关系式．（ 3）若小王购买会员卡并用此卡按需购买1000 套文具套装，共用了20000 元，他计划在网店包邮销售这两种文具套装，每套文具套装小王需支付邮费8 元，若 A 品牌每套销售价格比 B 品牌少 5 元，请你帮他计算， A 品牌的文具套装每套定价不低于多少元时才不亏本（运算结果取整数）？【考点】 FH：一次函数的应用．【分析】（ 1）设小王需购买 A、B 两种品牌文具套装分别为x 套、 y 套，则，据此求出小王购买 A、B 两种品牌文具套装分别为多少套即可．（ 2）根据题意，可得y=500+0.8 ×[20x+25]，据此求出 y 与 x 之间的函数关系式即可．（ 3）首先求出小王购买A、 B 两种品牌文具套装分别为多少套，然后设 A 品牌文具套装的售价为z 元，则 B 品牌文具套装的售价为z+5 元，所以 125z+875（ z+5）≥ 20000+8× 1000 ，据此求出 A品牌的文具套装每套定价不低于多少元时才不亏本即可．【解答】解：（ 1）设小王够买 A 品牌文具 x 套，够买 B 品牌文具 y 套，根据题意，得：，解得：，答：小王够买 A 品牌文具600 套，够买 B 品牌文具400 套．（2） y=500+0.8[20x+25]=500+0.8 =500+20000﹣4x=﹣ 4x+20500，∴ y 与 x 之间的函数关系式是：y=﹣4x+20500 ．（3）根据题意，得：﹣ 4x+20500=20000，解得： x=125，∴小王够买 A 品牌文具套装为125 套、够买 B 品牌文具套装为875 套，设 A 品牌文具套装的售价为z 元，则 B 品牌文具套装的售价为（z+5）元，由题意得： 125z+875（ z+5）≥ 20000+8× 1000，解得： z≥ 23.625 ，答： A 品牌的文具套装每套定价不低于24 元时才不亏本．24．已知：如图，△ ABC内接于⊙ O，AB为直径，∠ CBA的平分线交 AC于点 F，交⊙ O于点 D， DE⊥ AB于点 E，且交 AC于点 P，连结 AD．（1）求证：∠ DAC=∠ DBA；（2）求证： P 是线段 AF 的中点；（3）连接 CD，若 CD﹦ 3，BD﹦ 4，求⊙ O的半径和 DE的长．【考点】 MR：圆的综合题．【分析】（ 1）利用角平分线的性质得出∠CBD=∠ DBA，进而得出∠ DAC=∠DBA；（2）利用圆周角定理得出∠ ADB=90°，进而求出∠ PDF=∠ PFD，则 PD=PF，求出 PA=PF，即可得出答案；（3）利用勾股定理得出 AB的长，再利用三角形面积求出DE即可．【解答】（ 1）证明：∵ BD平分∠ CBA，∴∠ CBD=∠ DBA，∵∠ DAC与∠ CBD都是弧 CD所对的圆周角，∴∠ DAC=∠ CBD，（2）证明：∵ AB为直径，∴∠ ADB=90°，∵ DE⊥AB 于 E，∴∠ DEB=90°，∴∠ 1+∠ 3=∠ 5+∠3=90°，∴∠ 1=∠ 5=∠ 2，∴PD=PA，∵∠ 4+∠ 2=∠ 1+∠3=90°，且∠ ADB=90°，∴∠ 3=∠ 4，∴PD=PF，∴PA=PF，即 P 是线段 AF 的中点；（ 3）解：连接CD，∵∠ CBD=∠ DBA，∴CD=AD，∵CD﹦3，∴ AD=3，∵∠ ADB=90°，∴ AB=5，故⊙ O的半径为 2.5 ，∵DE×AB=AD×BD，∴ 5DE=3× 4，∴ DE=2.4．即 DE的长为 2.4 ．25．如图 1，在正方形ABCD中， E、F 分别为 BC、 CD的中点，连接A E、 BF，交点为G．（1）求证： AE⊥ BF；（2）将△ BCF沿 BF 对折，得到△ BPF（如图 2），延长 FP 到 BA 的延长线于点 Q，求 sin ∠ BQP的值；（3）将△ ABE绕点 A 逆时针方向旋转，使边 AB 正好落在 AE上，得到△ AHM（如图 3），若 AM和 BF 相交于点N，当正方形ABCD的面积为 4 时，求四边形GHMN的面积．【考点】 LO：四边形综合题．【分析】（ 1）运用 Rt △ ABE≌ Rt △ BCF，再利用角的关系求得∠BGE=90°求证；（ 2）△ BCF沿 BF 对折，得到△ BPF，利用角的关系求出QF=QB，解出 BP，QB求解；（ 3）先求出正方形的边长，再根据面积比等于相似边长比的平方，求得S△AGN=，再利用 S 四边形GHMN=S△AHM﹣ S△AGN求解．【解答】（ 1）证明：如图1，∵E， F 分别是正方形 ABCD边 BC， CD的中点，∴ CF=BE，在 Rt △ABE和 Rt△ BCF中，∴Rt △ABE≌ Rt △ BCF（ SAS），∠ BAE=∠ CBF，又∵∠ BAE+∠BEA=90°，∴∠ CBF+∠BEA=90°，∴∠ BGE=90°，∴AE⊥BF．（ 2）解：如图2，根据题意得，FP=FC，∠ PFB=∠ BFC，∠ FPB=90°∵CD∥AB，∴∠CFB=∠ ABF，∴∠ABF=∠ PFB，∴QF=QB，令PF=k（ k＞ 0），则 PB=2k在Rt △BPQ中，设QB=x，∴ x2=（ x﹣k）2+4k2，∴ x=，∴ sin ∠BQP= ==．（3）解：∵正方形 ABCD的面积为 4，∴边长为 2，∵∠ BAE=∠ EAM， AE⊥BF，∴ AN=AB=2，∵∠ AHM=90°，∴ GN∥HM，∴=，∴=，∴S△AGN= ，∴ S 四边形GHMN=S△AHM﹣ S△AGN=1﹣=，∴四边形GHMN的面积是．26．如图，在矩形OABC中， OA=5，AB=4，点 D 为边 AB上一点，将△BCD沿直线CD折叠，使点 B 恰好落在边OA上的点 E 处，分别以 OC， OA所在的直线为x 轴， y 轴建立平面直角坐标系．（ 1）求 OE的长及经过 O，D， C 三点抛物线的解析式；（ 2）一动点 P 从点 C 出发，沿 CB 以每秒 2 个单位长度的速度向点 B 运动，同时动点 Q从 E 点出发，沿 EC 以每秒 1 个单位长度的速度向点 C 运动，当点P 到达点 B 时，两点同时停止运动，设运动时间为t 秒，当 t 为何值时， DP=DQ；（ 3）若点 N 在（ 1）中抛物线的对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点 N，使 M， N，C，E 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出M点坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（ 1）由折叠的性质可求得 CE、 CO，在 Rt△ COE中，由勾股定理可求得 OE，设 AD=m，在 Rt △ ADE中，由勾股定理可求得 m的值，可求得 D点坐标，结合 C、O两点，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）用 t 表示出 CP、 BP的长，可证明△ DBP≌△ DEQ，可得到 BP=EQ，可求得 t 的值；（3）可设出 N点坐标，分三种情况① EN为对角线，② EM为对角线，③ EC为对角线，根据平行四边形的性质可求得对角线的交点横坐标，从而可求得M点的横坐标，再代入抛物线解析式可求得M点的坐标．【解答】解：（ 1）∵ CE=CB=5， CO=AB=4，∴在 Rt△ COE中， OE===3，设AD=m，则 DE=BD=4﹣m，∵ OE=3，∴ AE=5﹣ 3=2，在 Rt △ADE中，由勾股定理可得222222AD+AE=DE，即 m+2 =（ 4﹣ m），解得 m= ，∴ D（﹣，﹣5），∵ C（﹣ 4， 0），O（ 0， 0），∴设过 O、 D、 C三点的抛物线为y=ax （ x+4），∴﹣ 5=﹣a（﹣+4），解得 a=，∴抛物线解析式为y= x（ x+4） = x2+x；（2）∵ CP=2t，∴ BP=5﹣ 2t ，∵ BD=，DE==，∴BD=DE，在Rt △DBP和 Rt△ DEQ中，，∴Rt △DBP≌ Rt △ DEQ（ HL），∴BP=EQ，∴5﹣ 2t=t ，∴t= ；（3）∵抛物线的对称轴为直线 x=﹣2，∴设 N（﹣ 2， n），又由题意可知 C（﹣ 4， 0）， E（ 0，﹣ 3），设 M（ m， y），①当 EN为对角线，即四边形 ECNM是平行四边形时，则线段 EN的中点横坐标为=﹣ 1，线段 CM中点横坐标为，∵ EN，CM互相平分，∴=﹣ 1，解得 m=2，又 M点在抛物线上，∴ y=× 22+ × 2=16，∴ M（ 2， 16）；②当 EM为对角线，即四边形ECMN是平行四边形时，则线段 EM的中点横坐标为，线段 CN中点横坐标为=﹣ 3，∵ EM，CN互相平分，∴ =﹣ 3，解得 m=﹣6，又∵ M点在抛物线上，∴ y=×（﹣ 6）2+×（﹣ 6） =16，∴ M（﹣ 6， 16）；③当 CE为对角线，即四边形EMCN是平行四边形时，则 M为抛物线的顶点，即M（﹣ 2，﹣）．综上可知，存在满足条件的点M，其坐标为（ 2， 16）或（﹣ 6，16）或（﹣ 2，﹣）．。