三角形【知识梳理】三角形1、三角形基础知识三边关系边角关系2、三角形的分类3、等腰三角形4、三角形的全等5、三角形的相似6、直角三角形与锐角三角函数【知识重温】1、三角形的概念及相关：表示：三线：（高线、中线、角平分线）中位线：2、三角形基本性质：①三边关系： a： b：②内角和定理：三角形三个内角之和为180°.推论：直角三角形两锐角。

③外角性质：三角形一外角= 。

④稳定性：3、三角形的分类：按角分类：按边分类：4、等腰三角形的性质性质1：等边⇔等角性质2：等腰三角形⇔三线合一【能力训练】1、（07浙江义乌）如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，已知DE=6cm，则BC=_____cm.2、（07年娄底市）如图，在Rt△ABC中，∠C＝40º，AC∥BD，则∠ABD＝__________。

CA3、如图（5）BC ⊥ED 于点M ，∠A=27°，∠D=20°，则∠B= °，∠ACB= °4、已知三角形三边长为3，4，则第三边为 ，若该边为偶数有 个。

5、等腰三角形的两边长分别为4和9，则第三边长为 ．6、（08重庆）已知一等腰三角形两内角之比为1∶4，则其顶角的度数为（ ）A ）200B ）1200C ）200或1200D ）3607、等腰△ABC 中，AB=AC ，∠B=60°，则∠A ＝_____8、 07年长沙） △ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，当BC=10cm 时，DE= cm 。

9、现有2cm 、4cm 、4cm 、8cm 长的四根木棒，任意选取三根组成一个三角形，那么可以组成三角形的个数为（ ）.A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个10、如图，ABC ∆中，∠C=90°，∠ABC=60°，BD 平分∠ABC ，若AD=6，则CD= 。

11、如图，在△ABC 中, AB=AC,点D 是BC 边的中点，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E 、F ． 求证：DE=DF ．12、如图，已知,36,AB AC A AB =∠=︒的中垂线MN 交AC 于点D ，交AB 于点M ，有下面4个结论： ①射线BD 是ABC ∠的角平分线； ②BCD ∆是等腰三角形； ③ABC ∆∽BCD ∆； ④AM D ∆≌BCD ∆。

（1）判断其中正确的结论是哪几个？ （2）从你认为是正确的结论中选一个加以证明。

13、化简求值：4()(2)(2)x y x x y x y -++-，其中122x y ==-，21DABC《三角形》2 三角形的全等 【知识重温】1、全等的概念全等形： 全等三角形： 表示： 对应角、边、线：2、全等的性质图形全等→对应线段相等 如： →对应角相等3、三角形全等的判定 （必要条件：至少有一组边对应相等） 通 用 判 定判定1：SSS 判断2：SAS 判定3：ASA 判定4：AASRt △ 特殊判定：HL4、证法小结： 证明角相等： 证明线段相等：① ② ③ ④⑤ ⑥ ①② ③证明线段a+ b= c【能力训练】1、（08天津）下列判断中错误．．的是（ ） A. 有两角和一边对应相等的两个三角形全等B. 有两边和一角对应相等的两个三角形全等C. 有一边对应相等的两个等边三角形全等2、如图，AE AD =，要使ABE ACD △≌△，需添加一个条件是 （只要写一个条件）． 3、（08浙江温州）已知：如图，12,.C D AC AD ∠=∠∠=∠=求证：.4、已知，如图AB ＝DE ，BF ＝CE 。

求证：（1）△ABC ≌△DEF ；OCEA DB（2）GF ＝GC 。

5、如图，AB DE =，AC DF =，AC DF ∥．求证：ABC DEF △≌△；6、（湖南怀化）如图，AB AD =，AC AE =，12∠=∠， 求证：BC DE =7、如图，在等边ABC △中，且BD AE =，AD 与CE 交于点F ．（1）求证：AD CE =；（2）求DFC ∠的度数．8、已知：如图，C 为BE 上一点，点A D ，分别在BE 两侧．AB ED ∥，AB CE =，BC ED =．求证：AC CD =．9、已知：如图，AB=CD ，BC=AD BE ⊥AC 于E ，DF ⊥AC 于F 求证：BE=DF 10、已知：如图，∠ABC=∠DCB ，AB=DC ， 求证：AE=DE11、已知：如图，点E 是正方形ABCD的边AB 上任意一点，过点D 作DF DE ⊥交BC 的延长线于点F ．求证：DE DF =．A B DE F C 12 A B D C EDAEF B CACE DBA EB CF D 1 23BC G HA E F《三角形》3 三角形的相似 【知识重温】1、相似的概念相似形： 相似三角形： 表示： （对应角、边、线）2、相似的性质图形相似→对应线段 如：111222==长短中长短中 →对应角相等 →周长比=相似比 →面积比=相似比23、三角形相似的判定 通 用 判 定判定1：“SSS ” 判断2：“SAS ” 判定3：“AA ” 判定4：平行Rt △ 特殊判定：“HL ”4、特殊的相似与特点： 全等形位似形【能力训练】 ◇相似的性质◇1、如图，在△ABC 中，DE∥BC，DE 分别与AB 、AC 相交于点D 、E ，若AD=4，DB=2，则DE∶BC 的值为___________ 。

2、 AB ：AC=2：5，以AB ，AC 为直径画圆，则小圆面积与大圆面积比为________ 。

3、如图，已知等腰△ABC 的面积为8cm 2，点D 、E 分别是AB 、AC 边中点，则梯形DBCE 的面积为______ cm 2．4、将一副三角板按图叠放，则△AOB 与△DOC 的面积之比等于___________ 。

5、同一时刻，小明身高 1.5米，影长1米，一棵槟榔树影长为5米，树高是 米.6、如图，为测量学校旗杆的高度，小东用长为3.2m 的竹竿做测量工具．移动竹竿，全竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点，此时，竹竿与这一点相距8m ，与旗杆相距22米，则旗杆的高为_____________m7、两个相似三角形，相似比为7∶2，其中一个三角形的面积是14，则另一三角C形面积是________。

8、如图，王芳同学跳起来把一个排球打在离地2m远的地上，然后反弹碰到墙上，如果她跳起击球时的高度是1.8m，排球落地点离墙的距离是6m，假设球一直沿直线运动，球能碰到墙面离地多高的地方？◇三角形相似的判定◇9、如图,已知:DE∥BC,EF ∥AB,则图中有_____对三角形相似.10、如图,P是△ABC中AB边上的一点,要使△ACP和△ABC相似,则可添加一个条件:________________________________11、如图，在正方形网格上有6个斜三角形．①△ABC，②△BCD，③△BDE，④△BFG，⑤△FGH，⑥△EFK，其中②～⑥中，与三角形①相似的是（）12、如图,在大小为4×4的单位正方形方格中, ∆ABC的顶点A、B、C在单位正方形的顶点上，请在图中画出一个∆A1B1C1 与∆ABC相似（相似比不为1），且顶点都在单位正方形的顶点上.◇三角形相似的应用◇13、如图，已知正方形ABCD，P为DC 上一点（D、C除外），连结AP，将△APD绕点D逆时针旋转90°，得到△CED，直线EC交直线AP于G.求证：AE·ED=EG·CE. 14、如图，在矩形ABCD中，4AB=，10AD=．直角尺的直角顶点P在AD上滑动时（点P与A D，不重合），一直角边经过点C，另一直角边AB交于点E．求证：“Rt RtAEP DPC△∽△”PAEBCDC BABD EFGH K⑤②①④⑥③AB CP如图，已知正方形ABCD ，P 为DC 上一点（D 、C 除外），连结AP ，将△APD 绕点D 逆时针旋转90°，得到△CED ，直线EC 交直线AP 于G.求证：AE ·ED=EG ·CE.如图，A B D E ，，，四点在O e 上，AE BD ，的延长线相交于点C ，直径AE 为8，12OC =，EDC BAO ∠=∠． （1）求证：CD CEAC CB=；《三角形》4 直角三角形与三角形函数的应用1、直角三角形及其性质 勾股定理：Rt △ ⇔ 直角边2 +另一直角边2 = 斜边2勾股数：其它定理：◇直角边×另一直角边= 斜边×斜边上的高（=面积的2倍）OCE DBA◇Rt△ 斜边上的中线是斜边的一半◇Rt△两锐角互余。

◇射影定理2、锐角三角函数名称定义记作30°45°60°角A的sinA角A的cosA角A的tanA3、解三角形及其应用求法◇已知两边◇已知一边一角◇已知一边一函数4、解三角形应用步骤①构建合适的Rt△②利用三角函数把已知和要求的联系起来③求解④据实际情况回答具体问题【能力训练】◇直角三角形及其性质◇1、如图,64、400分别为所在正方形的面积，则图中字母A所代表的正方形面积是 _________ 。

2、直角三角形两条直角边的长分别为5、12，则斜边上的高为。

3、如图，在由24个边长都为1的小正三角形的网格中，点P是正六边形的一个顶点，以点P为直角顶点作格点直角三角形（即顶点均在格点上的三角形），请你画出所有可能的Rt△，求出直角三角形的斜边长．P P P P◇锐角三角函数◇4、已知△ABC 中，∠C=90º，BC=2，AB=3,则=∠B cos _________。

5、计算◇ 解三角形及其应用◇6、已知:Rt △ABC 中,∠C=90°,cosA=,AB=15,则AC 的长是 。

7、已知斜坡的坡角︒=30α，则该斜坡的坡度为 。

8、半径为R 的圆内接正三角形边长是 ，边心距为 。

9、点P （3，1）求：(1) PO （2）α∠ 10、如图,天空中有一个静止的广告气球C,从地面A 点测得C 点的仰角为45°,从地面B 点测得C 点的仰角为60°.已知AB=20m.点C 和直线AB 在同一铅垂平面上,求气球离地面的高度(结果保留根号). 11、如图，两建筑物AB 和CD 的水平距离为30米，从A 点测D 点的俯角为30°，测C 点的俯角为60°，求的高． 12、去年山洪暴发，好几所学校被山体滑坡推倒教学楼，为防止滑坡，经勘测，当坡角不超过45°时，可以保山体不滑坡．某小学紧挨一座山坡，如图示，AF BC ∥，斜坡AB 长30米，60ABC ∠=°．改造后斜坡BE 与地面成45°角，求AE 至少是多少米？（精确到0.1米）。