一笔画问题（A级）
知识框架
如果用笔在纸上连续不断又不重复，一笔画成某种图形，这种图形就叫一笔画。

那么是不是所有的图形都能一笔画成呢？这一讲我们就一起来学习一笔画的规律。

能否一笔画成，先看是不是连通图形，不连通图形一定不能一笔画成。

连通图形，关键在于判别奇点、偶点的个数。

一、只有偶点，可以一笔画，并且可以以任意一点作为起点。

二、只有两个奇点，可以一笔画，但必须以这两个奇点分别作为起点和终点。

三、奇点超过两个，则不能一笔画。

对于一些比较复杂的路线问题，可以先转化为简单的几何图
形，然后根据判定是否能一笔画的方法进行解答。

例题精讲
【例1】下面这些图形，哪个能一笔画？哪个不能一笔画？
（1）（2）（3）（4）
【例2】下面这些图形，哪个能一笔画？哪个不能一笔画？
（1）（2）（3）（4）
【例3】下面的各个小图形都是由点和线组成的．请你仔细观察后回答：
①标出与一条线相连的有哪些点?【写①】
②标出与二条线相连的有哪些点?【写②】
③标出与三条线相连的有哪些点?【写③】
④标出与四条线或四条以上的线相连的有哪些点?【写④】
【例4】下面各图能否一笔画成？
（1）（2）（3）【例5】下面这几个字都能一笔写出来吗?
【例6】下面这几个字母都能一笔写出来吗?
【例7】下面的图形，哪些能一笔画出？哪些不能一笔画出？
【例8】下图中，至少要画几笔才能画成？
【随练1】德国有个城市叫哥尼斯堡．城中有条河，河中有个岛，河上架有七座桥，这些桥把陆地和小岛连接起来，这样就给人们提供了一个游玩的好去处(见下图)．俗话说，“人是万物
之灵”，他们就是在游玩时候想出了这样一个问题：
如果在陆地上可以随便走，而对每座桥只许通过一次，那么一个人要连续地走完这七座桥怎么个
走法?
好动脑筋的小朋友请先不要接着往下读，你也试一试，走一走．
A
B C
D
课堂检测
【随练2】 在我国著名数学家陈景润写的《数学趣谈》一书中，有下面的这样一道题，大意是说：
在法国的首都巴黎有一条河，河中有两个小岛，那里的人们建了15座桥把两个小岛和河岸连接起来，如下图所示，请你说一说，从任一岸出发，一次连续地通过所有的桥到达另一岸，可能吗?(每座桥只能走一次
)
【作业1】 下面的图形都是由点和线组成的．请你仔细观察后回答：
①与一条线相连的有哪些点? ②与三条线相连的有哪些点?
③与四条线或四条以上的线相连的有哪些点?
P
O
N
M
L
K
J
I
H
G
F
E
D
C
B
A
【作业2】 下面各图能否一笔画成？
（1） （2） （3） （4）
家庭作业
【作业3】下面这几个字母都能一笔写出来吗?
【作业4】下面这几个字都能一笔写出来吗?
【作业5】下图中，至少要画几笔才能画成？
教学反馈
老师对本次课的评价
○特别满意（积分3分）○满意（积分2分）○一般（积分1分）注：积分满100分，有惊喜礼品。

课堂反馈：
家长意见及建议
家长签字：
1.一笔画与多笔画(B)
知识框架
一、一笔画的认识
所谓图的一笔画，指的就是：从图的一点出发，笔不离纸，遍历每条边恰好一次，即每条边都只画一次，不准重复.从上图中容易看出：能一笔画出的图首先必须是连通图.但是否所有的连通图都可以一笔画出呢？下面，我们就来探求解决这个问题的方法。

什么样的图形能一笔画成呢？这就是一笔画问题，它是一种有名的数学游戏.所谓一笔画，就是从图形上的某点出发，笔不离开纸，而且每条线都只画一次不准重复.
我们把一个图形中与偶数条线相连接的点叫做偶点.相应的把与奇数条线相连接的点叫做奇点.
二、一笔画问题
（1）能一笔画出的图形必须是连通的图形；
（2）凡是只由偶点组成的连通图形.一定可以一笔画出．画时可以由任一偶点作为起点.最后仍回到这点；
（3）凡是只有两个奇点的连通图形一定可以一笔画出.画时必须以一个奇点作为起点.以另一个奇点作为终点；
（4）奇点个数超过两个的图形，一定不能一笔画．
三、多笔画问题
我们把不能一笔画成的图，归纳为多笔画.多笔画图形的笔画数恰等于奇点个数的一半.事实上，对于任意的连通图来说，如果有2n个奇点（n为自然数），那么这个图一定可以用n笔画成.
重难点
（1）知道什么样的的是奇点？什么样的点是偶点。

（2）知道什么样的图形可以一笔画出。

（3）不能一笔画出的图形叫做多笔画图形，多笔画图形的笔画数与什么有关呢？
【例 1】 我们把一个图形上与偶数条线相连的点叫做偶点，与奇数条线相连的点叫做奇点．下图中，哪些
点是偶点？哪些点是奇点？
J O
I H
G F
E
D C
B
A
【巩固】 下图中，哪些点是奇点，哪些点是偶点？
G
F E D C
B
A
【例 2】 观察下面的图形，说明哪些图可以一笔画完，哪些不能，为什么？对于可以一笔画的图形，指明
画法.
例题精讲
【巩固】 下面的图形，哪些能一笔画出？哪些不能一笔画出？
【例 3】 同学们野营时建了9个营地，连接营地之间的道路如图所示，贝贝要给每个营地插上一面旗帜，
要求相邻营地的旗帜色彩不同，则贝贝最少需要
种颜色的旗子，如果贝贝从某营地出发，不走重复路线就 （填“能”或“不能”）完成任务.
【例 4】 右图是某展览厅的平面图，它由五个展室组成，任两展室之间都有门相通，整个展览厅还有一个
进口和一个出口，问游人能否一次不重复地穿过所有的门，并且从入口进，从出口出？
【巩固】 右图是某展览馆的平面图，一个参观者能否不重复地穿过每一扇门？如果不能，请说明理由．如
果能，应从哪开始走？
E C
D
B A
【例 5】下图中的线段表示小路，请你仔细观察，认真思考，能够不重复的爬遍小路的是甲蚂蚁还是乙蚂蚁？该怎样爬？
乙
甲【例 6】邮递员叔叔向11个地点送信一次信，不走重复路，怎样走最合适？
【例 7】（2010年第8届走美杯3年级初赛第6题）有16个点排成的44
方阵。

如图，请不间断地一笔画出6条直线经过每个点，且最后回到起点
【例 8】观察下面的图，看各至少用几笔画成？
（1）
A
E
D
H
C
F
G
B
（2）（3）【例 9】下图中不能一笔画成，请你在下图中添加最少的线段，将其改成一笔画的图形，并画出路线图．
B
G
F
C
H
D
E
A
【例 10】（2009“数学解题能力展示"读者评选活动四年级初赛6题）如图所示，某小区花园的道路为一个长480米，宽200米的长方形；一个边长为260米的菱形和十字交叉的两条道路组成．一天，王大爷A处进入花园，走遍花园的所有道路并从A处离开．如果他每分钟走60米，那么他从进
入花园到走出花园最少要用分．
A 【随练1】下图是国际奥委会的会标，你能一笔把它画出来吗？
【随练2】下面的图形都能一笔画成，请标出起点（A）和终点（B）。

【作业1】下面图形能不能一笔画成？若果能，应该怎样画？
（1）（2）（3）
课堂检测
家庭作业
Just for you !慎审题多思考多总结
【作业2】下列各图至少要用几笔画完？
【作业3】游人在林间小路（如右图）上散步，问能否一次不重复地走遍所有的路后回到出发点？如不能，应选择怎样的路线才能使全程最短，其最短路程是多少？
【作业4】一辆清洁车清扫街道，每段街道长1公里，清洁车由A出发，走遍所有的街道再回到A.怎样走路程最短，全程多少公里？。