《反比例函数的图象和性质》
教学目标： (一)教学知识点
1.进一步巩固作反比例函数的图象.
2.逐步提高从函数图象中获取信息的能力，探索并掌握反比例函数的主要性质.
(二)能力训练要求
1.通过画反比例函数图象，训练学生的作图能力.
2.通过从图象中获取信息.训练学生的识图能力.
3.通过对图象性质的研究，训练学生的探索能力和语言组织能力. (三)情感与价值观要求
让学生积极投身于数学学习活动中，有助于培养他们的好奇心与求知欲.经过自己的努力得出的结论，不仅使他们记忆犹新，还能建立自信心.由学生自己思考再经过合作交流完成的数学活动，不仅能使学生学到知识，还能使他们互相增进友谊.
教学重点：通过观察图象，概括反比例函数图象的共同特征，探索反比例函数的主要性质.
教学难点：从反比例函数的图象中归纳总结反比例函数的主要性质. 教学方法：教师引导学生类推归纳概括学习法. 教具准备：多媒体课件 教学过程：
Ⅰ.创设问题情境，引入新课
[师]上节课我们学习了画反比例函数的图象，并通过图象总结出当k ＞0时,函数图象的两个分支分别位于第一、三象限内；当k ＜0时，函数图象的两个分支分别位于第二、四象限内.并讨论了反比例函数y=x 4与y=-x
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的图象的异同点.
这是从函数的图象位于哪些象限来研究了反比例函数的.
我们知道在学习正比例函数和一次函数图象时，还研究了当k ＞0时，y
的值随x 的增大而增大，当k ＜0时，y 的值随x 值的增大而减小，即函数值随自变量的变化而变化的情况，以及函数图象与x 轴，y 轴的交点坐标.本节课我们来研究一下反比例函数的有关性质.
Ⅱ. 新课讲解 1.做—做
[师]观察反比例函数y=
x 2，y=x 4,y=x
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的形式，它们有什么共同点? [生]表达式中的k 都是大于零的. [师]大家的观察能力非同一般呐! 下面再用你们的慧眼观察它们的 图象，总结它们的共同特征.
(1)函数图象分别位于哪几个象限?
(2)在每一个象限内，随着x 值的增大.y 的值是怎样变化 的?能说明这是为什么吗？
(3)反比例函数的图象可能与x 轴相交吗?可能与y 轴相 交吗？为什么？
[师]请大家先独立思考，再互相交流得出结论. [生](1)函数图象分别位于第一、三象限内. (2)从图象的变化趋势来看，当自变量x 逐渐增大时， 函数值y 逐渐减小.
(3)因为图象在逐渐接近x 轴,y 轴，所以当自变量取很小或很大的数时，图象能与x 轴y 轴相交.
[师]大家同意他的观点吗? [生]不同意(3)小的观点. [师]能解释一下你的观点吗？ [生]从关系式y ＝
x
2
中看,因为x≠0，所以图象与y 轴不可能能有交点；
因为不论x 取任何实数，2是常数，y ＝x
2
永远也不为0，所以图象与x 轴心也不可能有交点.
[师]对于(1)和(3)我不需要再说什么了，因为大家都回答的非常棒，不面我再补充—下(2).观察函数y ＝
x
2
的图象，在第一象限我任取两点A （x 1,y 1），B(x 2,y 2)，分别向x 轴,y 轴作垂线，找到对应的x 1,x 2,y 1,y 2,因为在坐标轴上能比较出x 1与x 2,y 1与y 2的大小，所以就可判断函数值的变化随自变址的变化是如何变化的.山图可知x 1＜x 2,y 2＜y 1,所以在第一象限内有y 随x 的增大而减小.
同理可知在其他象限内y 随x 的增大而如何变化.大家可以分组验证上图中的其他五种情况.
[生]情况都一样. [师]能不能总结一下.
[生]当k>0时，函数图象分别位于第一、三象限 内，并且在每一个象限内，y 随x 的增大而减小. 2.议一议
[师]刚才我们研究了y ＝
x 2，y ＝x 4,y=x
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的图象的性质， 下面用类推的方法来研究y ＝-x 2，y ＝-x 4,y=-x
6
的图象 有哪些共同特征? [生](1)y=-
x 2，y=-x 4，y=-x
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中的k 都小于0，它们的图象都位于第二，四象限，所以当A<0时，反比例函数的图象位于第二、四象限内.
(2)在图象y=-
x
2
中，在第二象限内任取两点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),可知x 1>x 2，y 1>y 2，所以可以得出当自变量逐渐减小时，函数值也逐渐减小，即函数值y 随自变量x 的增大而增大.
(3)这些反比例函数的图象不可能与x 轴相交，也不可能与y 轴相交.
[师]通过我们刚才的讨论，可以得出如下结论： 反比例函数y ＝
x
k
的图象，当k>0时，在每一象限内，y 的值随x 值的增大而减小；当k<0时，在每一象限内，y 的值随x 值的增大而增大.
3.想一想
(1)在一个反比例函数图象任取两点P 、Q ，过点Q 分别作x 轴，y 轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S 1；过点Q 分别作x 轴y 轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S 2，S 1与S 2有什么关系?为什么?
(2)将反比例函数的图象绕原点旋转180°后.能与原来的图象重合吗? [师]在下面的图象上进行探讨.
[生]设P(x 1,y 1)，过P 点分别作x 轴，y 轴的平行线，与 两坐标轴围成的矩形面积为S 1，则S 1=｜x 1｜·｜y 1｜=｜x 1y 1｜. ∵(x 1,y 1)在反比例函数y ＝x k 图象上，所以y 1＝1
x k
，即x 1y 1＝k. ∴S 1＝｜k ｜.
同理可知S 2＝｜k ｜， 所以S 1＝S 2
[师]从上面的图中可以看出，P 、Q 两点在同一支曲线上， 如果P ，Q 分别在不同的曲线，情况又怎样呢?
[生]S 1＝｜x 1y 1｜=｜k ｜， S 2=｜x 2y 2｜=｜k ｜.
[师]因此只要是在同一个反比例函数图象上任取两点P 、Q.不管P 、Q 是在同一支曲线上，还是在不同的曲线上.过P 、Q 分别作x.轴，y 轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S 1，S 2，则有S 1＝S 2.
(2)将反比例函数的图象绕原点旋转180°后，能与原来的图象重合，这个问题在上节课中我们已做过研究.
Ⅲ.课堂练习 P 137
Ⅳ.课时小结
本节课学习了如下内容. 1.反比例函数y ＝
x
k
的图象，当k0时，在第一、三象限内，在每一象限内，y 的值随，值的增大而减小；当k<O 时，图象在第二、四象限内，y 的值随x 值的增大而增大.
2.在一个反比例函数图象上任取两点P ，Q ，分别过P ，Q 作x 轴、y 轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S 1,S 2，则有S 1＝S 2.
3.将反比例函数的图象绕原点旋转180°后,能与原来的图形重合.即反比例函数是中心对称图形.
4.反比例函数的图象既不能与x 轴相交也不能与y 轴相交,但是当x 的值越来越接近于0时，y 的值将逐渐变得很大；反之，y 的值将逐渐接近于0.因此，图象的两个分支无限接近；轴和y 轴，但永远不会与x 轴和y 轴相交.
Ⅴ.课后作业 习题5.3 Ⅵ.活动与探究
反比例函数图象与三等分角
历史上，曾有人把三等分角问题归结为下面的作图问题.
任取一锐角∠POH，过点P 作OH 的平行线，过点O 作直线，两线相交于点M,OM 交PH 于点Q ，并使QM=20P ，设N 为OM 的中点.
∵NP=NM＝OP,∴∠1＝∠2=2∠3. ∵∠4=∠3，∴∠1=2∠4.
∴∠MOH＝3
1
∠POH.
问题在于，如何确定线段OM 两端点的位置，并且保证O ，Q ，M 在同一条直线上?事实上，用尺规作图无法解决这一问题.那么,退而求其次，能不能借
助一些特殊曲线解决这一问题呢?
帕普斯(Pappus ，公元300前后)给出的一种方法是：如下图，将给定的锐角∠AOB 置于直角坐标系中，角的一边OA 与y ＝
x
1
的图象交于点P ，以P 为圆心；以2OP 为半径作弧交图象于点R.分别过点P 和B 作x 轴和y 轴的平行线，两线相交于点M ，连接OM 得到∠MOB.
(1)为什么矩形PQRM 的顶点Q 在直线OM 上?
(2)你能说明∠MOB＝3
1
∠AOB 的理由吗?
(3)当给定的已知角是钝角或直角时，怎么办? 解：(1)设P 、R 两点的坐标分别为P(a 1，
11a ),R(a 2, 21a )则Q(a 1，2
1
a )，M(a 2,
1
1
a ）. 设直线OM 的关系式为y ＝kx. ∵当x ＝a 2时，y=
1
1
a ∴
11a =ka 2,∴k=211a a .∴y=2
11a a x. 当x=a 1时，y=
2
1
a ∴Q(a 1，
2
1
a )在直线OM 上.
(2)∵四边形PQRM 是矩形. ∴PC=
2
1
PR=CM.∴∠2＝2∠3. ∵PC=OP，∴∠1＝∠2， ∵∠3=∠4，∴∠1=2∠4，
即∠M OB=3
1
∠AOB.
(3)当给定的已知角是钝角或直角时，钝角或直角的一半是锐角，该锐角可以用此方法三等分.。