浙江省高等教育自学考试(专升本)毕业论文题目：qv值及其统计分布的研究姓名：姚青华专业：数学教育指导教师：马新生联系地址：浙江省庆元县屏都镇蔡段村8号日期： 2009 年 9 月 3日目录1、引言及预备知识 (1)2、qv值的定义及其性质 (3)3、qv律的统计分布 (8)（1）qv值的计算机求解 (8)（2）qv值的统计规律 (10)4、qv值的应用 (13)参考文献 (16)qv 值及其统计分布的研究姚青华（浙江省 庆元县 屏都镇 蔡段村8号 323805）摘要：本文基于数论知识，对自然数的qv 值进行了初步研究. qv 值是对非零数的数码性质的研究，是非零数到集合{}1,2,3,4,5,6,7,8,9的多对一映射．作者给出了自然数qv 值、中数的定义,并讨论了相关的性质，运用数学归纳法证明了自然数的qv 值和该自然数在正整数范围关于模9同余. 因qv 值的定义仅与自然数的数码相关，扩充了数论中关于模9在小数、分数范围的应用.文章还运用qv 值的性质讨论了qv 值的计算机求解及求素数分布的计算机程序，然后运用概率论与数理统计的假设检验，得出在95%的置信水平下，素数关于模9的简化剩余类的分布是等概率的．最后，文中定义了标准无穷大的数学符号“ ”，运用qv 值理论解决了2111n ⋅⋅⋅个的中数问题，证明了费马数n F 下标n 为奇数时()5n qv F =，下标n 为大于0的偶数时()8n qv F =，从而说明了费马数没有含盖qv 值为1,2,4,7的素数. 关键词： qv 值; 假设检验；中数；素数1、引言及预备知识在一个雷雨交加的夜晚，雷鸣声惊醒了梦中的我，此时一串串数字侵入了我的脑海，我无意中发现这些数字的数码相加之后得到的新数比原数小了，再作同样的操作最终变成的数总与集合Q ({}1,2,3,4,5,6,7,8,9Q =)中的某一元素相对应．我将集合Q 中的元素命名为qv 值．数学中存在着丰富的美：简洁美、奇异美、对称美、统一美.因此,在中学数学的教学过程中,教师充分挖掘数学美的因素,并通过各种有效途径传授给学生,会对数学教学产生积极的影响，笔者发现qv 值在解某些数学题时体现了数学的简洁美，激发作者对qv 值进行系统的研究．定义1.1[]1 任何一个十进制n 位整数都可以表示成：1212101210101010n n n n n n a a a a a a a a ------⋅⋅⋅=⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯+其中011,,,n a a a -⋅⋅⋅称为数码，且09i a ≤≤，1(0,1,2,,1),0n i n a -=⋅⋅⋅-≠．定义1.2[]2 我们说，一个A 与A 间的一一映射φ是一个对于代数运算 和 来说的，A 与A 间的同构映射（简称同构），如果在φ之下，不管a 和b 是A 的哪两个元，只要,a a b b →→就有a b a b → ．定义1.3[]2 我们说，一个非空集合G 对于一个叫做乘法的代数运算来说作成一个群，如果Ⅰ．G 对于这个乘法来说是闭的；Ⅱ．结合律成立：()()a bc ab c = 对于G 的任意三个元,,a b c 都对； Ⅲ．对于G 的任意两个元,a b 来说，方程ax b =和ya b =都在G 里有解． 定义1.4[]2 若一个群G 的每一个元都是G 的某一个固定元a 的乘方，我们就把G 叫做循环群；我们也说，G 是由元a 所生成的，并且用符号 ()G a = 来表示，a 叫做G 的一个生成元．定义1.5[]2 一个群G 的唯一的能使ea ae a ==（a 是G 的任意元）的元e 叫做群G 的单位元．定义1.6[]2 我们看群G 的一个元a ．能够使得ma e =的最小的正整数m 叫做a 的阶．若是这样的一个m 不存在，我们说，a 是无限阶的．定理1.1[]2 假定G 是一个由元a 所生成的循环群．那么G 的构造完全可以由a 的阶来决定：a 的阶若是无限，那么G 与整数加群同构；a 的阶若是一个有限整数n ，那么G 与模n 的剩余类加群同构．假设检验的基本步骤[]3(1)根据实际问题提出原假设0H 及备择假设1H ．这里要求0H 与1H 有且仅有一个为真； (2)选取适当的检验统计量，并在原假设0H 成立的条件下确定该检验统计量的分布；(3)按问题的具体要求，选取适当的显著水平a ，并根据统计量的分布表，确定对应于a 的临界值，从而得到对原假设0H 的拒绝域W ；(4)根据样本值计算统计量的值，若落入拒绝域W 内，则认为0H 不真，拒绝0H ，接受备择假设1H ；否则，接受0H ．定理1.2[]3 当n →∞时，2χ的极限分布是自由度为1r -的2χ分布，即2(1)r χ-．2、qv 值的定义及其性质定义2.1 给定一个非零整数，将每个位置上的数码相加得到一个新数，又将这个新数重复相同的操作得到另一个新数，直到这个新数为个位数为止，最后的数码我们就称为这个非零整数数的qv 值；第i 个新数叫做这个数的第i 阶qv 值，如n 的第i 阶qv 值可表示为()i qv n ，n 的qv 值可表示为()qv n ．（注：0不是qv 值，qv 值也不会等于零）现在我们为集合Q 规定一个加法代数运算：()()()qv a qv b qv a b ⊕=⊕，为了更清楚，我们可作运算表由以上运算表可知，这样规定的加法运算是存在的，由于我们可以代入上表验证(()())()qv qv a qv b qv a b +=+这个等式是恒成立的．定理2.1 集合Q 对于上面规定的加法来说作成一个群，是一个由元(1)qv 所生成的循环群, 且与模9的剩余类加群同构．({}1,2,3,4,5,6,7,8,9Q =)证明：Ⅰ．两个qv 值对于上面规定的加法相加还是一个qv 值； Ⅱ． 因为()[()()]()()()qv a qv b qv c qv a qv b c qv a b c ⊕⊕=⊕⊕=⊕⊕[()()]()()()()qv a qv b qv c qv a b qv c qv a b c ⊕⊕=⊕⊕=⊕⊕这就是说()[()()][()()]()qv a qv b qv c qv a qv b qv c ⊕⊕=⊕⊕，所以结合律成立．Ⅲ．由运算表可知，对于Q 的任意两个元(),()qv a qv b 来说，方程()()qv a x qv b ⊕=和()()y qv a qv b ⊕=都在Q 里有解．综上所述，集合Q 对于上面规定的加法来说作成一个群.由运算表可知(1)qv 是Q 的一个生成元．Q 的每一个元可写成(),19qv i i ≤≤的样子，这样的一个元()(1)(1)(1)iqv i qv qv qv =⊕⊕⋅⋅⋅⊕，也就是说Q 是一个由元(1)qv 所生成的循环群．由运算表可知(9)qv 是Q 的单位元，因为单位元9(9)(1)(1)(1)qv qv qv qv =⊕⊕⋅⋅⋅⊕，也就说生成元(1)qv 的阶是9，由定理1.1可知Q 与模9的乘余类加群同构．证毕．性质2.1 如果一个非零整数被9整除则它的qv 值一定等于9，若余数为18 ，则qv 值是18 .证明：我们运用数学归纳法[]4证明()1当11(1,2,9)n k k =∈⋅⋅⋅时，11(mod9),()n k qv n k ≡=，显然成立．()2假设当n k =时，即119(1,1,2,9)k m k m k =+≥∈⋅⋅⋅，命题成立，就是1111(mod9),()()((9)())(9)n k qv n qv k qv qv m qv k qv k k ≡==+=+=那么，当1n k =+时，则当11,2,8k ∈⋅⋅⋅时，我们有1111(1)(mod9),()(1)((9)(1))(91)1n k qv n qv k qv qv m qv k qv k k ≡+=+=++=++=+当19k =时，我们有1(mod9),()(1)((9)(10))(91)1n qv n qv k qv qv m qv qv ≡=+=+=+=也就是说，当1n k =+时命题也成立．根据(1)和(2)，可知对于任何n N ∈命题都成立，证毕． 例如：613654868183896=⨯+，(6136548)(33)6qv qv ==性质2.2 qv （有限位数+9）＝原有限位数的qv 值.证明：设有限位数为n ，1119(19)n n r r =+≤≤，则1()qv n r =（由性质2.1可得）．因为1199(1)n n r +=++，所以1(9)qv n r +=（由性质2.１可得）． 因此，1(9)()qv n qv n r +==．证毕．例如：1≒19+=10≒10+=1; 2≒29+=11≒11+=2; 3≒39+=12≒12+=3;……; 9≒99+=18≒18+=9.（注：由于0没有以上性质所以说0不是qv 值，其中“≒”代表qv 运算符）性质 2.3 qv 值为6的整数一定不是素数;证明：设n 的qv 值为6，由性质2.1可知11963(32)n n n =+=+． 所以3|n ，由此可知qv 值为6的整数一定不是素数．证毕．性质 2.4 给定非零数以任何方法排列，并在排列过程中在任何位置上插入（去掉）数码9或数码0得到的新数的qv 值与原数的qv 值相等.证明：设给定数为1210n n n a a a a --=⋅⋅⋅，将n 上的数码以任何方法排列后为1n ，1n 的任何位置上插入（去掉）数码9或0后为2n ．由于加法满足交换律和结合律，所以有111()()qv n qv n =，1211()()9qv n qv n =±（当插入或去掉数码9时），1211()()qv n qv n =（当插入或去掉数码0时）． 由性质2.2可得 21()()()qv n qv n qv n ==．证毕．定理2.2 两个非零整数相乘的积的qv 值等于这两个数的qv 值的积的qv 值. 证明：设这两个数为m 、n ,其中119m m r =+，129n n r =+.12(1,9)r r ≤≤ 再设12339(19)rr a r r =+≤≤，则1112112111121121113(9)(9)9(9)9(9)mn m r n r m n r m n r rr m n r m n r a r =++=+++=++++由性质2.1可知3()qv mn r =，1()qv m r =,2()qv n r =,123()qv rr r =. 所以，123(()())()()qv qv m qv n qv rr r qv mn ⋅=== 即 ()(()())qv mn qv qv m qv n =．证毕． 例1：(53168(8904)(21)3qv qv qv ⨯==）＝ 运用定理2.2我们同样可以得出答案3(53168)((53)(168))(86)(48)(12)3qv qv qv qv qv qv qv ⨯=⨯=⨯===定理2.3 当一个整数的qv 值为3、6或9时，则这个数一定能被3整除. 证明：设()3,()6,()9,qv a qv b qv c ===则由性质2.1可将a 、b 、c 分别表为11933(31)a a a =+=+，11963(32)b b b =+=+，11993(33)c c c =+=+．因此 3|a ，3|b ，3|c ．由此可知当一个整数的qv 值为3、6或9时，则这个数一定能被3整除. 证毕．例2 试证1117632、546、均能被3整除 证明：因为(111)3;((7632)9qv qv qv ==546)=6;由定理2知1117632、546、均能被3整除 推论2.1 qv 值为3、6或9的偶数皆被6整除.证明：设()3,()6,()9,qv a qv b qv c ===由定理2.3知3|a ，3|b ，3|c ． 因为a 、b 、c 都是偶数，所以2|a ，2|b ，2|c ． 又因为 (2,3)1=，由文献[5]第一章第三节中的定理12可得6|a ，6|b ，6|c ．证毕．定理2.4 当一个正整数减去它的任何阶qv 值之后皆被9整除.证明：设这个正整数为n ，()(1,2,,9)qv n k k =∈⋅⋅⋅，()i qv n 是n 的第i 阶qv 值． 显然，(())i qv qv n k =．由性质2.1我们可知9n a k =+，()9i qv n b k =+． 所以()9()i n qv n a b -=-，即9|(())i n qv n -．由n 和i 取值的任意性可知命题成立，证毕．例 3 377的第一阶qv 值为17，第二阶qv 值为8，由定理3我们可知9|(37717)-，9|(3778)-定理2.5 qv 值为9的整数一定能被9整除.证明：设()9qv n =，由性质2.1可将n 表示为999(1)n a a =+=+． 即 9|n ，证毕．例4 21111na =⋅⋅⋅ ，2222nb =⋅⋅⋅，z a b =-，其中n N ∈. 求证：9|z . 解法1：提取公因式法211112222n nz =⋅⋅⋅-⋅⋅⋅ 299999999299n n⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-⨯()21[1012101]9n n =--⨯- ()211021019n n⎡⎤=-⨯+⎢⎥⎣⎦ ()211019n =- 21013n⎛⎫-= ⎪⎝⎭ 299993n⋅⋅⋅⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭23333n ⎛⎫=⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭231111n ⎛⎫=⨯⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭ 291111n ⎛⎫=⨯⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭ 所以9|z .解法2：因为()()(2)(2)0qv a qv b qv n qv n -=-=而()()qv z qv a b =-，0z ≠所以()9qv z =，由定理2.5知 9|z .例5 把任意一个三位正整数的数字顺序倒过来（如741倒过来为147），求证这样的三位正整数与原三位数的差一定是9的倍数.证明：若这个数是回文数，则它们的差为0，显然是9的倍数.若这个数不是回文数，我们设该数为a ，数字顺序倒过来之后为b ，显然有0b a -≠ 因为顺序倒过来之后未能改为它们的qv 值，所以()()0qv b qv a -=．而0b a -≠，由性质2.1知()9qv b a -=．由定理2.5知不是回文数的三位正整数与原三位数的差也是9的倍数，证毕.定理2.6 给定任一有限位非零数，将数码分为m 组，然后将这m 组的qv 值相加得到一个新数，则这新数的qv 值与该有限位数的qv 值相同.（这里已将数扩充到有限位小数范围）证明：因为加法满足交换律和结合律，所以将数码分组求值并不影响最终的qv值，故命题成立．例如：3.141592653589793238462643383279. 现在我们按数码分为9组，11;2222;3333333;444;555;666;77;888;9999它们的qv值分别是2;8;3;3;6;9;5;6;9.qv=．那么它们的qv值相加得到新数51，(51)6==．qv qv(3.141592653589793238462643383279)(150)6显然新数51的qv值与该数的qv值相同．3、qv律的统计分布（1）qv值的计算机求解运用性质1我们可以编写如下的VB程序[6]来求自然数的qv值，Private Sub Form_Click()Dim m As Integer, n As Longn = InputBox("Please enter a positive integer")While n < 1If n < 1 ThenMsgBox ("just now you enter isn't positive integer ")n = InputBox("Please enter a positive integer")End IfWendm = n Mod 9If m < 1 Thenm = 9End IfPrint "qv("; n; ")"; "="; mEnd Sub现在我们来研究4000以下10以上的素数的qv律来推测总体的分布情况.先计算二位以上的素数qv值，其实不难便可计算出它的值与模9的简化剩余系相同，即它们的值为1,2,4,5,7,8 .由于在素数的qv数与模9的简化剩作系相同，因此以下样本可由VB或C等程序统计得出．VB程序如下：Private Sub Form_Click()Dim a(9)Dim d, sum As LongFor i = 0 To 9a(i) = 0Next iFor n = 11 To 4000 Step 2k = Int(Sqr(n))i = 2swit = 0While i <= k And swit = 0If n Mod i = 0 Thenswit = 1Elsei = i + 1End IfWendIf swit = 0 Thensum = sum + 1d = n Mod 9a(d) = a(d) + 1End IfNext nFor i = 0 To 9Print "a("; i; ")="; a(i): PrintNext iPrint "sum="; sumEnd Sub如果用C程序[7]编写如下：#include "stdio.h#include "conio.h"#include "math.h"ain()m{int a[9],b,i,swit;long sum=0,m,k;for(i=0;i<9;i++)a[i]=0;for(m=11;m<=4000;m++) { k=(long)sqrt(m+1); swit=0;for(i=2;i<=k&&swit==0;i++) if(m%i==0) swit=1; if(swit==0) { sum++; b=m%9; a[b]++; } }for(i=0;i<9;i++)printf("qv(%d) have %d\n",i+1,a[i]); printf("\nThe total is %d",sum); getch();}（2）qv 值的统计规律由以上程序我们知在4000以下10以上的素数的总数量n 为546及qv 数的分布情况：解：原假设 0H 为: {}1/6i p x a == (1,2,,6)i =⋅⋅⋅此时，2χ统计量为：2621()/i i i i m np np χ==-∑ 222=(92-91)/91+(94-91)/91++(90-91)/91⋅⋅⋅0.21978021978≈20.05<<x (5)11.07=.所以接受0H ，即可认为素数关于模9的剩余类关于124578、、、、、的数字服从等概率分布或者说二位以上的素数的qv 值在124578、、、、、上服从等概率分布. 现在我们只要稍加改动程序即可得到更大一点的样本，65535以下且大于10的素数的qv 值的分布情况：解：原假设 0H 为；0H : {}1/6i p x a == (1,2,,6)i =⋅⋅⋅ 此时，2χ统计量为：2621()/i i i i m np np χ==-∑222(10793269/3)/(3269/3)(10943269/3)/(3269/3)(10933269/3)/(3269/3)=-+-+⋅⋅⋅+-0.164576323≈20.05<<x (5)11.07=.所以接受0H ，即可认为素数关于模9的剩余类关于124578、、、、、的数字服从等概率分布或者说二位以上的素数的qv 值在124578、、、、、上服从等概率分布.同样操作可得到131070以下且大于10的素数的qv 数的分布情况：解：原假设 0H 为；0H : {}1/6i p x a == (1,2,,6)i =⋅⋅⋅ 此时，2χ统计量为：2621()/i i i i m np np χ==-∑22(20342041)/2041(20552041)/2041=-+⋅⋅⋅--0.20088192062≈20.05<<x (5)11.07=所以接受0H ，即可认为素数关于模9的剩余类关于124578、、、、、的数字服从等概率分布或者说二位以上的素数的qv 数在124578、、、、、上服从等概率分布。