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2018北京各区初中数学二模分类汇编27号题及答案

2018北京各区初中数学二模分类汇编27号题及答案2018北京各区初中数学二模分类汇编27号题及答案门头沟 27. 如图,在正方形ABCD 中,连接BD ,点E 为CB 边的延长线上一点,点F 是线段AE 的中点,过点F 作AE 的垂线交BD 于点M ,连接ME 、MC .(1)根据题意补全图形,猜想MEC ∠与MCE ∠的数量关系并证明;(2)连接FB ,判断FB 、FM 之间的数量关系并证明.西城27. 如图1,在等边三角形ABC 中,CD为中线,点Q 在线段CD 上运动,将线段QA 绕点Q 顺时针旋转,使得点A 的对应点E 落在射线BC 上,连接BQ ,设∠DAQ =α (0°<α<60°且α≠30°). (1)当0°<α<30°时,①在图1中依题意画出图形,并求∠BQE (用含α的式子表示);F A平谷27.正方形ABCD的对角线AC,BD交于点O,作∠CBD的角平分线BE,分别交CD,OC于点E,F.O (1)依据题意,补全图形(用尺规作图,保留作图痕迹);(2)求证:CE=CF;(3)求证:DE=2OF.顺义27.在等边ABC△外侧作直线AM,点C关于AM 的对称点为D,连接BD交AM于点E,连接CE,CD,AD.(1)依题意补全图1,并求BEC的度数;(2)如图2 ,当30MAC ∠=︒时,判断线段BE 与DE之间的数量关系,并加以证明;(3)若0120MAC ︒<∠<︒,当线段2DE BE =时,直接写出MAC ∠的度数.图1MCBA东城27.如图所示,点P 位于等边ABC △的内部,且∠ACP =∠CBP . (1) ∠BPC 的度数为________°;(2) 延长BP 至点D ,使得PD =PC ,连接AD ,CD .图2MEDCBA①依题意,补全图形; ②证明:AD +CD =BD ;(3) 在(2)的条件下,若BD 的长为2,求四边形ABCD 的面积.房山27. 已知AC =DC ,AC ⊥DC ,直线MN 经过点A ,作DB ⊥MN ,垂足为B ,连接CB . (1)直接写出∠D 与∠MAC 之间的数量关系;(2)① 如图1,猜想AB ,BD 与BC 之间的数量关系,并说明理由;② 如图2,直接写出AB ,BD 与BC之间的数量关系;(3)在MN 绕点A 旋转的过程中,当∠BCD =30°,BD = 2 时,直接写出BC 的值.C ADBN昌平27.如图,在△ABC 中,AB =AC >BC ,BD 是AC 边上的高,点C 关于直线BD 的对称点为点E ,连接BE .(1) ①依题意补全图形;②若∠BAC =α,求∠DBE 的大小(用含α的式子表示);(2) 若DE =2AE ,点F 是BE 中点,连接AF ,BD =4,求AF 的长.D CBADCBA(备用图)海淀27.如图,在等边ABC △中, ,D E 分别是边,AC BC 上的点,且CD CE = ,30DBC ∠<︒ ,点C 与点F 关于BD 对称,连接,AF FE ,FE 交BD 于G .(1)连接,DE DF ,则,DE DF 之间的数量关系是 ; (2)若DBC α∠=,求FEC ∠的大小;(用α的式子表示)(2)用等式表示线段,BG GF 和FA 之间的数量关系,GF EDCBA并证明.石景山27.在△ABC 中,∠ABC =90°,AB =BC =4,点M 是线段BC 的中点,点N 在射线MB 上,连接AN ,平移△ABN ,使点N 移动到点M ,得到△DEM (点D 与点A 对应,点E 与点B 对应),DM 交AC 于点P .(1)若点N 是线段MB 的中点,如图1.① 依题意补全图1;② 求DP 的长; (2)若点N 在线段MB 的延长线上,射线DM 与射线AB 交于点Q ,若MQ =DP ,求CE 的长.怀柔27.在△ABC 中,AB=BC =AC ,点M 为直线BC 上一个动点(不与B ,C 重合),连结AM ,将线段AM 绕点M 顺时针旋转60°,得到线段MN ,连结NC .图1N MA B C N M A B C 备用图BA A B第27第27(1)BC①依题意补全图1;②点M在线段BC上运动的过程中,∠MCN的度数是否确定?如果确定,求出∠MCN的度数;如果不确定,说明理由;(2)如果点M在线段CB的延长线上运动,依题意补全图2,在这个过程中,∠MCN的度数是否确定?如果确定,直接写出∠MCN的度数;如果不确定,说明理由.朝阳27.如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,M是BC的中点,延长AM到点D,AE= AD,∠EAD=90°,CE交AB于点F,CD=DF.(1)∠CAD= 度;(2)求∠CDF的度数;(3)用等式表示线段CD和CE之间的数量关系,并证明.丰台27.如图,正方形ABCD 中,点E 是BC 边上的一个动点,连接AE ,将线段AE绕点A 逆时针旋转90°,得到AF ,连接EF ,交对角线BD 于点G ,连接AG . (1)根据题意补全图形;(2)判定AG 与EF 的位置关系并证明;(3)当AB = 3,BE = 2时,求线段BG 的长.A B CE D答案门头沟 27.(本小题满分7分)(1)补全图形正确 ……………………………………………1分MEC∠=MCE ∠ ………………………………………2分 证明:连接AM∵点F 是AE 的中点,FM AE ⊥ ∴MA ME =∵点A 、点C 是关于正方形ABCD 对角线BD 所在直线的对称点∴MA MC =………………………………………3分 ∴ME MC = ∴MEC∠=MCE ∠………………………………………4分(2)数量关系:FB FM = ……………………5分∵点M 在正方形对角线上,可得MFCA DMAD MCD△≌△∴MAD ∠=MCD ∠ ∵MEC ∠=MCE ∠∴90MEC MAD DCM MCE ∠+∠=∠+∠=︒ ∵AD CE ∥ ∴180DAE CEA ∠+∠=︒ ∴90MAE MEA ∠+∠=︒ ∴90AME ∠=︒ ∴EMA△是等腰直角三角形……………………6分∴12FM AE = ∵12FB AE = ∴FB FM= ……………………7分西城27. 解:(1)当0°<α<30°时,①画出的图形如图9所示.…………… 1分∵ △ABC 为等边三角形,∴ ∠ABC=60°.∵ CD 为等边三角形的中线,MFCADQ 为线段CD 上的点, 由等边三角形的对称性得QA=QB .∵ ∠DAQ =α,∴ ∠ABQ =∠DAQ=α,∠QBE =60°-α.∵ 线段QE 为线段QA 绕点Q顺时针旋转所得,∴ QE = QA .∴ QB=QE .可得1802BQE QBE ∠=︒-∠1802(60)602αα=︒-︒-=︒+.……… 2分②3CE AC CQ+=.……………………………………………………… 3分证法一:如图10,延长CA 到点F ,使得AF=CE ,连接QF ,作QH ⊥AC 于点H .∵ ∠BQE =60°+2α,点E 在BC 上,∴ ∠QEC =∠BQE+图∠QBE =(60°+2α)+( 60°-α)=120°+α.∵点F在CA的延长线上,∠DAQ=α,∴∠QAF=∠BAF+∠DAQ=120°+α.∴∠QAF=∠QEC.又∵AF =CE,QA=QE,∴△QAF≌△QEC.∴QF=QC.∵QH⊥AC于点H,∴FH=CH,CF=2CH.∵在等边三角形ABC 中,CD为中线,点Q在CD上,∴∠ACQ=12ACB=30°,即△QCF为底角为30°的等腰三角形.图∴3cos cos30CH CQ HCQ CQ =⋅∠=⋅︒=. ∴CE AC AF AC CF +=+=23CH CQ==. 即3CE AC CQ+=. ………………………………………… 6分思路二:如图11,延长CB 到点G ,使得BG=CE ,连接QG ,可得△QBG ≌△QEC ,△QCG 为底角为30°的等腰三角形,与证法一同理可得CE AC BG BC CG +=+=3CQ=.(2)如图12,当30°<α<60°时,图113AC CE CQ-=.………………………… 7分平谷27.(1)如图 (1)FE DO(2)证明:∵BE 平分∠CBD ,∴∠CBE =∠DBE . ······ 2 ∵正方形ABCD 的对角线AC ,BD 交于点O ,∴∠BOC =∠BCD =90°.∵∠CBE +∠CEB =90°, ∠DBE +∠BFO =90°,∴∠CEB =∠BFO . ······ 3 ∵∠EFC =∠BFO , ∴∠EFC =∠CEB . ∴CF=CE . ········· 4 (3)证明:取BE 的中点M ,连接OM . ·· 5 ∵O 为AC 的中点,∴OM ∥DE , DE =2OM . ···· 6 ∴∠OMF =∠CEF .∵∠OFM =∠EFC =∠CEF ,∴∠OMF =∠OFM .∴OF=OM . ∴DE =2OF . (7)M FOy yxx E DMCBA顺义27.解:(1)补全图形如右图: …………………………………………………… 1分依题意显然可以得出AD =AC ,∠=∠=DAE CAE x ,∠=∠DEM CEM .∵等边ABC △, ∴AB =AC ,60∠=︒BAC . ∴AB =AD . ∴∠=∠=ABD ADB y . 在△ABD 中,2260180++︒=︒x y ,∴60+=︒x y .∴60∠=∠=+=︒DEM CEM x y . ∴60∠=︒BEC .………………………………………………………… 4分 (2)判断:2=BE DE .证明:∵30MAC ∠=︒,结合(1)中证明过程,显然可以得出30∠=︒ABD , 又∵等边ABC △, ∴60∠=︒ABC . ∴30∠=︒DBC . 又∵60∠=︒BEC ,∴90ECB.∠=︒∴2=BE CE.∵=CE DE,∴2=BE DE.(3)MAC.…………………………………………90∠=︒……………… 7分4东城27.解:(1)120°.---------------------------------------------------2分(2)①∵如图1所示.②在等边ABC△中,∠=︒,60ACB∴60.∠+∠=︒ACP BCP∵=∠∠,ACP CBP∴60.∠+∠=︒CBP BCP∴()180120.∠=︒-∠+∠=︒BPC CBP BCP∴18060.∠=︒-∠=︒CPD BPC∵=PD PC,∴CDP△为等边三角形.∵60ACD ACP ACP BCP ∠+∠=∠+∠=︒, ∴.ACD BCP ∠=∠ 在ACD △和BCP △中,AC BC ACD BCP CD CP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,,,∴()SAS ACD BCP △≌△. ∴.AD BP = ∴.AD CD BP PD BD +=+=-----------------------------------------------------------------4分(3)如图2,作BM AD ⊥于点M ,BN DC ⊥延长线于点N .∵=60ADB ADC PDC ∠∠-∠=︒, ∴=60.ADB CDB ∠∠=︒ ∴=60.ADB CDB ∠∠=︒ ∴3= 3.2BM BN BD ==又由(2)得,=2AD CD BD +=,ABD BCD ABCD S S S ∴△△四边形=+1122AD BM CD BN =+)3AD CD =+322=⨯ 3.=----------------------------------------------------------7分 房山27. 解:(1)相等或互补; (2)分(注:每个1分)(2)① 猜想:BD +AB =2BC …………………………………………………………3分如图1,在射线AM 上截取AE =BD ,连接CE .又∵∠D =∠EAC ,CD =AC ∴△BCD ≌△ECA∴BC =EC ,∠BCD =∠ECA ∵AC ⊥CD ∴∠ACD =90°即∠ACB +∠BCD =90°∴∠ACB +∠ECA =90° 即∠ECB =90° ∴BE =2BC ∵AE +AB =BE =2BC∴NM图1E ADBBD +AB =2BC ……………………………………………………………4分② A B -BD =2BC ……………………………………………………………5分 (3)BC =3+1 或3-1 ……………………………………………………………7分昌平27.如图,在△ABC 中,AB =AC >BC ,BD 是AC 边上的高,点C 关于直线BD 的对称点为点E ,连接BE . (1)①补全图形;②若∠BAC =α,求∠DBE 的大小(用含α的式子表示);(2)若DE =2AE ,点F 是BE 中点,连接AF ,BD =4,求AF 的长.(1)解:①如图. ……………………… 1分 ②∵ AB =AC ,∠BAC =α,∴∠ABC =∠ACB =90°-12α.∵点C 关于直线BD 的对称点为点E ,BD 是AC 边上的高.D C BA E∴ BD ⊥CE ,CD =DE . ∴ BE =BC .∴∠BEC =∠ACB =90°-12α. …………………… 2分∴∠DBE =12α.……………… 3分(2)解:作FG ⊥AC 于G , ∵BD ⊥CE ,∴FG ∥BD∵点F 是BE 中点,∴EG =DG .∴1FG=BD 2…………4分∵DE =2AE ,∴AE =EG =DG .……………… 5分设AE =EG =DG=x ,则CD =DE=2x ,AC =5x ,∴AB=AC =5x .∴BD =4x . ∵BD =4,∴x =1.……………… 6分∴AG =2.∵1FG=BD 2=2,∴AF=22………………7分海淀 27.(1)DE DF =;(2)解:连接DE ,DF , ∵△ABC 是等边三角形, ∴60C ∠=︒.EABCDFG GFEDCBA∵DBC α∠=, ∴120BDC α∠=︒-.∵点C 与点F 关于BD 对称,∴120BDF BDC α∠=∠=︒-,DF DC =. ∴1202FDC α∠=︒+. 由(1)知DE DF =.∴F ,E ,C 在以D 为圆心,DC 为半径的圆上.∴1602FEC FDC ∠=∠=︒+α.(3)BG GF FA =+.理由如下: 连接BF ,延长AF ,BD 交于点H , ∵△ABC 是等边三角形,∴60ABC BAC ∠=∠=︒,AB BC CA ==. ∵点C 与点F 关于BD 对称, ∴BF BC =,FBD CBD ∠=∠. ∴BF BA =. ∴BAF BFA ∠=∠. 设CBD α∠=, 则602ABF α∠=︒-. ∴60BAF α∠=︒+. ∴FAD α∠=.∴FAD DBC ∠=∠. 由(2)知60FEC α∠=︒+. ∴60BGE FEC DBC ∠=∠-∠=︒. ∴120FGB ∠=︒,60FGD ∠=︒.四边形AFGB 中,360120AFE FAB ABG FGB ∠=︒-∠-∠-∠=︒. ∴60HFG ∠=︒.∴△FGH 是等边三角形. ∴FH FG =,60H ∠=︒. ∵CD CE =,HGFEDCBA∴DA EB =.在△AHD 与△BGE 中,,,.AHD BGE HAD GBE AD BE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△△AHD BGE ≅. ∴BG AH =.∵AH HF FA GF FA =+=+, ∴BG GF FA =+.石景山27.解:(1)①如图1,补全图形. ………………… 1分② 连接AD ,如图2.在Rt △ABN 中,∵∠B =90°,AB =4,BN =1, ∴17=AN .∵线段AN 平移得到线段DM , ∴DM =AN =17,AD =NM =1,AD ∥MC ,∴△ADP ∽△CMP .∴21==MC AD MP DP . ∴317=DP .………………… 3分(2)连接NQ ,如图3.由平移知:AN ∥DM ,且AN =DM .图图∵MQ DP =, ∴PQ DM =.∴AN ∥PQ ,且AN =PQ . ∴四边形ANQP 是平行四边形. ∴NQ ∥AP . ∴45BQN BAC ∠=∠=︒. 又∵90NBQ ABC ∠=∠=︒ ∴BN BQ =. ∵AN ∥MQ ,∴AB NBBQ BM=. 又∵M 是BC 的中点,且4AB BC ==,∴42NBNB =. ∴22NB =舍负). ∴22ME BN ==∴222CE =.………………… 7分(2)法二,连接AD ,如图4. 设CE 长为x ,∵线段AB 移动到得到线段DE , ∴4+==x BE AD ,AD ∥BM . ∴△ADP ∽△CMP .∴24x MC AD MP DP +==.P NQDEMAC BPN QDEMAC B图NABP ∵MQ =DP ,∴xxMP DP DP QD MQ 21042++=+=. ∵△QBM ∽△QAD ,∴xAD BM QD MQ +==42. 解得222-=x .∴222-=CE .………………… 7分27. (1)①补全图形,如图:…………………………………………….………………….…………………………………1分 ②点M 在线段BC 上运动的过程中,∠MCN 的度数确定,为120°理由如下:在AB 上取点P ,使得BP=BM ,连结PM ……………………………………………………2分∵BP =BM ,∠B =60º,NAB∴△BPM 是等边三角形. ∴∠BPM =∠BMP =60º. ∴∠APM =120º. ∴∠PAM +∠AMP =60º.∴∠PAM +∠AMP +∠BMP =120º. 即∠PAM +∠AMB =120º. ∵AB=BC , ∴AP=MC .∵∠AMN =60º, ∴∠AMB +∠NMC =120º.∴∠PAM =∠NMC . 又∵AM=MN , ∴△APM ≌△NMC .∴∠MCN =∠APM =120º………………5分 (2)补全图形,如图……………………………………………………………….………………………6分 ∠MCN =60º……………………………………………………………….……………………7分 朝阳27.解:(1)CABM45 ……………………………………………………………………………………1分(2)解:如图,连接DB.∵90,°,M是BC的中=∠=AB AC BAC点,∴∠BAD=∠CAD=45°.∴△BAD≌△CAD. ………………………………2分∴∠DBA=∠DCA,BD = CD.∵CD=DF,∴B D=DF. ………………………………………3分∴∠DBA=∠DFB=∠DCA.∵∠DFB+∠DFA=180°,∴∠DCA+∠DFA=180°.∴∠BAC+∠CDF=180°.∠CDF =90°.…………………………………………………………………………4分(3)CE=)21CD. ………………………………………………………………………5分证明:∵90∠=°,EAD∴∠EAF=∠DAF=45°.∵AD=AE,∴△EAF≌△DAF. ……………………………………………………………………6分∴DF=EF.由②可知,CF2CD.∴CE=)21C D. ………………………………………………………………7分丰台27.解:(1)图形补全后如图…………………1分D CG(2)结论:AG⊥EF.…………………2分证明:连接FD,过F点FM∥BC,交BD的延长线于点M.∵四边形ABCD是正方形,∴AB=DA=DC=BC,∠DAB=∠ABE=∠ADC=90°,54321H M G F B D C E ∠ADB =∠5=45°.∵线段AE 绕点A 逆时针旋转90°,得到AF ,∴AE=AF ,∠FAE =90°. ∴∠1=∠2. ∴△FDA ≌△EBA .…………………3分 ∴∠FDA =∠EBA =90°,FD=BE .∵∠ADC =90°, ∴∠FDA +∠ADC =180°。

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