局部坐标系中的目标点；最后使用一个逆变换，将局
部坐标系中的目标点转换到全局坐标系中。 坐标系
的平移算法相对简单， 本节仅介绍空间任意点绕过
原点旋转轴旋转的算法。
空 间 中 任 意 点 P [x y z ]，绕 过 原 点 的 向 量
R[n1 n2 n3]，旋 转 θ，得 到 目 标 点 P ′[x′ y′ z′]，其 中 旋 转 矩 阵 如 下[5]：
计，通用性强、质量容易保证。 通用楔形管片拼装设计的关键是根据线路的平、竖曲线要素和偏差要求确定环宽和楔
形量，而每一环衬砌的偏差计算是通过排版来实现的。 文章对通用楔形管片排版的主要步骤和核心算法作了介绍，
其中包括平、竖曲线上的坐标法定点算法、线路上理想点的二分法求值算法，以及空间任意点绕任意轴旋转的计算
90（l+Ls） πR
]
軍 軍 軍 軍 軍軍
軍
Y=YHY+2Rsin(
90l πR
）
·sin[A1+ξ
90（l+Ls） πR
]
軍 軍 軍 軍軍 軍
（3）
式中 l— ——圆曲线上任意点至 YH 点的曲线长；
XHY、YHY— ——HY 点的坐标，可由（2）式求得。
3.3 第二缓和曲线（YH~HZ）上任意点的坐标
中，其轴线形成了一个旋转锥体，而旋转轴即为第 i
ω
环前进端面的法向量D i 。 根据管片上相邻两螺栓的
夹角 α 可求得 360/α 个试算点 Tj （也即前进端面中
心点）。 如果采用错缝拼装方式，则在实际排版过程
中尚需要剔除那些会形成通缝的试算点。
（4） 求 各 试 算 点 Tj 与 理 想 点 Bi+l 的 空 间 距 离 ， 距离最近的那个试算点即为第 i+1 环的实际点 Ai+1。
3 平、竖曲线的定点算法
线路的平面线形要素主要包括直线、 圆曲线和
缓和曲线。 在一般情况下， 一条曲线的半径始终是
不变的，通称单曲线。 为了适应特殊地形，有时需要
在一个曲线上采用几个不同的半径形成复曲线。 在
线 路 平 面 上 最 常 见 的 是 按 直 线 —缓 和 曲 线 —圆 曲
线—缓和曲线—直线顺序组合的单曲线，因此，限于
表 1 平曲线要素
Table 1 Elements of a plane curve
曲 线 要 素 值 /m
半径
缓和曲线 缓和曲线
切线长度 曲线长度
长度
参数
外距
1 600 480 480 465 1 000 1 450
185 544.059 395.328 783.2708 29.283
130
249.8 490.286 824.624 162.43
该区间隧道所在平曲线诸要素如表 1 所示，竖 曲线诸要素如表 2 所示。
通 用 楔 形 管 片 环 宽 1.5 m、外 径 6 m、厚 度 300 mm、 最小旋转角 22.5°、 区间隧道的起点桩号 K1+ 500、终 点 桩 号 K3+100。 试 算 了 四 个 楔 形 量 ，即 10 mm、20 mm、30 mm、40 mm，其最大理论偏差和保证 率为 95％偏差值如表 3 所示。 不难发现，楔形量大 小对偏差影响较大，过大或过小都会造成较大偏差。 从本工程的实际情况看，推荐采用 20 mm 楔形量比 较合理。
X=XHZ+x/cos(
30l2 πRLs
）·
cos（A2+180-ξ
30l2 πLs
軍
）軍 軍 軍 軍軍
軍
（4）
Y=YHZ+x/cos(
30l2 πRLs
）·sin（A2+180-ξ
30l2 πLs
）
軍 軍 軍 軍軍 軍
式中 l — ——第 二缓和曲线 上任意点至 HZ 点的曲
线长；
A2— — — 本 交 点 与 后 交 点 连 线 的 方 位 角 。
## $
6 排版软件的应用
以上述核心算法为基础，采用基于 Visual Basic 语言的 AutoCAD 二次开发 技 术 ， 本 文 作 者 开 发 了 “盾构隧道通用楔形管片排版程序”。根据排版流程， 程序划分为三个功能模块，即前处理模块、排版计算 模块、后处理模块。 限于篇幅，本文仅就一个区间隧 道的排版结果介绍其应用情况。
交点号
交点坐标 N (X) E (Y)
JD0 8 542.583 -1 723.0405 JD1 7 502.398 -1 091.932 JD2 6 619.640 -939.099 JD3 6 666.059 31.898 JD4 5 913.829 185.286 JD5 5 452.573 1 089.517 JD6 4 142.585 1 012.551 JD7 2 981.806 1 491.230
2 通用楔形管片排版的主要步骤
图 1 为通用楔形管片排版原理示意图。
图 1 通用楔形管片排版原理示意 Fig.1 Typesetting principle for universal wedge segments
通用楔形环管片的排版步骤可概括如下： （1） 第 i 环拼装后，即确定了第 i 环前进端面中
xk+1=
1 2
（ak+
bk）为方程的数值解[4]。 对于初始区间（a0，b0）可根据
前一环 的理想点 桩号 Pi 和管片 环宽 B，然后用 （Pi+
0.75B,Pi+1.25B)进行界定。
图 2 二分法数值求解原理 Fig.2 Principle of bisection numerical solution
3.4 竖曲线内任意点的高程
竖曲线的形式有抛物线或圆曲线， 前者应用较
多，本文只介绍二次抛物线型竖曲线。竖曲线上任意
点的高程— ——Z 坐标，可由下式求得：
Z=Z1+
2 2R
p2+i1 p
（5）
式中 Z1— ——竖曲线起点的高程， 可根据前一交点
的高程和坡度值计算；
R— ——抛物线曲率半径；
p— — — 计 算 点 与 竖 曲 线 起 点 的 线 路 水 平 距 离 ；
篇幅本文以单曲线为例介绍平曲线的坐标法定点算 法[3]。
首先介绍曲线上任意点的切线横距 x 的表达
式：
x=l-
l5 40R2L2s
+
3
l9 456R4L4s
- 599
l13 040R6L6s
+Λ
（1）
式中 l— ——缓 和曲线上任 意点至 ZH（或 HZ）点 的
曲线长；
Ls— ——缓和曲线长度； R— ——圆曲线半径。
现代隧道技术
MODERN TU NNELLING TECHNOLOGY
盾构隧道通用楔形管片排版系统的核心算法研究
文 章 编 号 ：1009-6582（2008）05-0034-04
盾构隧道通用楔形管片排版系统的核心算法研究
李伟平 郑国平
（浙江省交通规划设计研究院, 杭州 310006）
摘 要 盾构隧道通用楔形管片是通过前后两环的相对旋转来拟合线路中的直线和曲线要素， 简化了模板设
盾构隧道通用楔形管片排版系统的核心算法研究
现代隧道技术
MODERN TUN NELLING TECHNOLOGY
心的实际点 Ai（此点通常情况下是偏离隧道理论线
ω
ω軍
路的）、端面法向量D i 、楔形面法向量n i。 所谓楔形
面是指通过管片轴线以及管片上楔形量最大和最小
点的平面。
（2） 根据第 i 环实际点和环宽， 即可在隧道理
3.1 第一缓和曲线（ZH~HY）上任意点的坐标
X=XZH+x/cos(
30l2 πRLs
）
·
cos（A1+ξ
30l2 π Ls
）
軍 軍 軍 軍 軍軍
軍
（2）
Y=YZH+x/cos(
30l2 πRLs
）
·sin（A1+ξ
30l2 π Ls
）
軍 軍 軍 軍軍 軍
式中 l — ——圆曲线上任意点至 HY 点的曲线长；
n12+(1-n12)cosθ n1n2(1-cosθ)+n3sinθ n1n3(1-cosθ)-n2sinθ
! #
#
n1n2+(1-cosθ)-n3sinθ
2
2
n2 +(1-n2 )cosθ
n2n3(1-cosθ)+n1sinθ
#
"#（6）
#
#
2
2
#
n1n3+(1-cosθ)+n2sinθ n2n3+(1-cosθ)-n1sinθ n3 +(1-n3 )cosθ
5 空间任意点绕任意轴旋转的计算机 图形学算法
如楔形管片排版步骤 3 所述， 第 i+1 环的前进 端面中心试算点是通过绕第 i 环前进端面的法向量 形成的。空间中一点绕坐标轴旋转的算法比较简单， 但如果旋转所绕的轴不是坐标轴，而是一根任意轴， 则变换过程比较复杂。 首先，需要平移空间坐标，使 原点坐标与旋转轴的起点重合， 得到一个局部坐标 系；然后将局部坐标中的空间点绕旋转轴旋转，得到
130
国内大型盾构隧道已经开始使用通用楔形管 片，如长江南京段上游过江通道隧道工程等。 戴仕敏 等学者研究了其设计理念和特点，采用全圆周错缝拼 装的施工方法，以及施工中控制管片质量的方法[1]；王 腾飞等学者则对通用楔形环空间线路拟合原理和线 路 纠 偏 原 理 进 行 过 研 究 [2]。
通用楔形管片拼装设计的关键是根据线路的 平、竖曲线要素和偏差要求确定环宽和楔形量，而每 一环衬砌的偏差计算是通过排版来实现的。 本文拟 对通用楔形管片拼装排版的主要步骤和核心算法作