建立空间直角坐标系，解立体几何高考题立体几何重点、热点：求线段的长度、求点到平面的距离、求直线与平面所成的夹角、求两异面直线的夹角、求二面角、证明平行关系和垂直关系等．常用公式：1、求线段的长度：AB AB x2y2z2x2x12y2y12z2z12|PM n|2、求P点到平面的距离：PN ，（N为垂足，M为斜足，n 为平面的法向量）|n||PM n|3、求直线 l 与平面所成的角：|sin |，（PM l , M , n 为的法向量）|PM| |n||AB CD|4、求两异面直线AB 与CD的夹角：cos|AB| |CD||n1 n2 |5、求二面角的平面角：|cos | ，（n1，n2为二面角的两个面的法向量）|n1| |n2 |S射影6、求二面角的平面角：cos ，（射影面积法）S7、求法向量：①找；②求：设a,b 为平面内的任意两个向量，n （ x, y,1）为的法向量，a n 0则由方程组，可求得法向量n ．b n 0高中新教材9（B）引入了空间向量坐标运算这一内容，使得空间立体几何的平行﹑垂直﹑角﹑距离等问题避免了传统方法中进行大量繁琐的定性分析，只需建立空间直角坐标系进行定量分析，使问题得到了大大的简化。

而用向量坐标运算的关键是建立一个适当的空间直角坐标系。

一﹑直接建系。

当图形中有互相垂直且相交于一点的三条直线时，可以利用这三条直线直接建系。

例1. （2002 年全国高考题）如图，正方形ABCD﹑ABEF的边长都是1，而且平面ABCD﹑ABEF互相垂直。

点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM=BN（=a0 a 2 ）。

（1）求MN的长；（2）当a 为何值时，MN的长最小；（3）当MN最小时，求面MNA与面MNB所成二面角α的大小。

解：（1）以B为坐标原点，分别以BA﹑BE﹑BC为x﹑y﹑z 轴建立如图所示的空即M﹑N 分别移动到AC﹑BF的中点时，MN的长最小，最小值为2 （3）取MN的中点P，连结AP﹑BP，因为AM=A，N BM=B，N 所以AP⊥MN，BP⊥MN，∠ APB即为二面角α的平面角。

1 1 1 1MN的长最小时M（，0，）,N （，，0）2 2 2 2（1）求 BN 的长； （2） 求 cos BA 1, CB 1 ；（3）求证： A 1B ⊥C 1M 解：建立如图所示的空间直角坐标系 C-xyz ，则 C （0，0，0），B （0，1，0）， 11N （1，0，1），A 1（1，0，2），B 1（0，1，2），C 1（0，0，2），M （1， 1，2）2211由中点坐标公式 P （ 1， 124 -1），PA =( 1，- 1， 24 1 ), 又 A ( 1， 0， 40），B 0，0，0）PB =(-1， 4 13例 2. （1991 年全国高考题 ）如图，已知 ABCD 是边长为 4 的正方形， AB ﹑AD 的中点， GC ⊥面 ABCD ，且 GC=2，求点 B 到平面 EFG 的距离解： 建立如图所示的空间直角坐标系 由题意 C （ 0，0，0），G （0，0，2）， ∴ 面 MNA 与面 MNB 所成二面角 α的大小为 π -arccosC-xyz ，E （2，4，0），F （4，2，），E ﹑F 分别是 B （0，4，0） cos1 3GC∴ GE =（2，4，-2 ）， GF =（4，2， -2），BE =（2，0，0）例 3. （2000 年二省一市高考题 ） 在直三棱柱 ABC- A 1B 1C 1 中 CA=CB=，1∠BCA=900，棱 A A 1=2，M ﹑N 分别是 A 1B 1﹑A 1 A 的中点。

x1）BN =（1，-1，1）， 故 BN = 3； 2）CB 1 =（0，1，2），BA 1 =（1，-1 ， 2）A 1B ⊥C 1M二﹑利用图形中的对称关系建系 。

有些图形虽然没有互相垂直且相交于一点的三条直线，但是图形中有一定的对 称关系（如：正三棱锥﹑正四棱锥﹑正六棱锥等） ，我们可以利用图形的对称性建立 空间直角坐标系来解题。

例 4. （2001 年二省一市高考题 ） 如图，以底面边长为 2a 的正四棱锥 V-ABCD 底面 中心 O 为坐标原点建立空间直角坐标系 O-xyz ，其中 Ox ∥BC ，Oy ∥AB ，E 为 VC 的中点， 高 OV 为 h 。

∴ cos BA 1 , CB 1 =BA 1 CB 1BA1CB16 5 103) A 1B=（-1， 1，-2），C 1M 11=( ， ，0)1）求 cos BE,DE ； （2）记面BCV 为α，面 DVC 为β，若∠ BED 是二面角α -VC-β 的平面角，求∠ BED 。

解：（1）由题意 B （ a ，a ，0），D （-a ， -a ，E （ a a223a a ，h∴ BE =( -，）22 2cos BE,DEBE DE BE DE1 4 30A 1B?C 1M = -1 ×1+1× 1+(-2) ×0=022h）2DE =a2，3a，h2， 2zCyVAB5a22=6a 2 h 2 =10 a 2 h22） ∵ V （0，0，h ），C （-a ，a ，0）∴ VC =（ -a ，a ， - h ）又 ∠BED 是二面角 α-VC-β的平面角∴ BE ⊥ VC ， DE ⊥ VC2 2 2 2 2 3a a h 2 h 2 h 即 BE · VC = - - = a - =0， a = 2 2 2 2 21即∠ BED=π-arccos3三﹑利用面面垂直的性质建系。

有些图形没有互相垂直且相交于一点的三条直线，但是有两个互相垂直的平面， 我们可以利用面面垂直的性质定理， 作出互相垂直且相交于一点的三条直线， 建立空 间直角坐标系。

例 5. （2000 年全国高考题 ） 如图，正三棱柱 ABC- A 1B 1C 1 的底面边长为 a ，侧棱 长为2a 。

（1） 建立适当的坐标系，并写出 A ﹑B ﹑A 1﹑C 1 的坐标； （2） 求 AC 1与侧面 AB B 1A 1所成的角。

解：（1）如图，以点 A 为坐标原点，以 AB 所在直线为 y 轴，以 AA 1所在直线为 z 轴，以经过原点且与 ABB 1A 1垂直的直线为 x 轴，建立如图所示的空间直角坐标系。

由已知得：A （0，0，0），B （0，a ，0），A 1（0，0， 2 a ），C 1（- 3 a ，a ， 2a ）223a3a5a代入 cos BE,DE =6a 2 h 10 a 2 h 22）取 A 1B 1的中点 M ，于是有 M （0， ， 2 a ），连 AM ﹑MC 1 有2 MC 1 =（-a ，0，0），且 AB =（ 0，a ，0）， AA 1 =（ 0， 0， 2 a ）12 1由于MC 1 · AB =0， MC 1 · AA 1 =0，故 MC 1⊥平面 AB B 1A 1 。

∴ A C 1与 AM 所成的角就是 AC 1与侧面 AB B 1A 1所成的角。

∵ AC 1 =(- 3a ， a， 2a )， AM =(02222AC 1 ·AM =0+a +2a 2 = 9a14 42∴ AC 1与 AM 所成的角，即 AC 1与侧面 AB B 1A 1所成的角为 30o 。

例 6. （2002 年上海高考题 ） 如图，三棱柱 OAB- O 1A 1B 1 ，平面 OBB 1O 1⊥平面 OAB ， ∠O 1OB=600, ∠AOB=900，且 OB= OO 1=2，OA= 3 。

求：（1）二面角 O 1–AB –O 的大小；（2）异面直线 A 1B 与 A O 1所成角的大小。

（结果用反三角函数值表示）解： （1）如图，取 OB 的中点 D ，连接 O 1D ，则 O 1D ⊥OB ∵ 平面 OBB 1O 1 ⊥平面 OAB ，∴ O 1D ⊥面 OAB ，过 D 作 AB 的垂线，垂足为 E ，连结 O 1E ， 则 O 1E ⊥∠DEO 1 为二面角 O 1–AB-O 的平面角。

由题设得 O 1D= 3a ， a2， 2a ),= 3a ，3∴ cos AC 1, AM = 4= 3∴ cos AC 1,AM =3a3a=2sin ∠OBA= OA = 21OA 2 OB 2 7∴ DE=DBsin ∠ OBA= 217∵ 在 Rt ΔO 1DE 中， tan ∠DE O 1= 7∴ ∠ DE O 1=arctan 7 ，即二面角 O 1–AB –O 的大小为 arctan 7 。

2）以 O 为原点，分别以 OA ﹑OB 所在直线为 x ﹑ y 轴，过点 O 且与平面 AOB 垂直的直线为 z 轴，建立空间直角坐标系。

则 O （0，0，0），O 1（0，1， 3），A （ 3 ，0，0）， A 1（ 3，1， 3），B （0，2，0），则 A 1B=（- 3 ，1，- 3 ），O 1A =（ 3 ，-1，- 3 ）1故异面直线 A 1B 与 A O 1所成角的大小arccos 1。

7cos 〈 A 1B ， O 1A 〉=A 1B O 1 A A 1B O 1A3 1 3 17 7 =- 7。