2020高三文科数学模拟试题及答案
一、选择题（5×10=50分）
1. 已知集合(){}03|<-=x x x P ，{}|22M x x =-<<，则P M =I （ ） A ．()0,2- B ．()2,0 C ．()3,2 D ．()3,2-
2．对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计,得到样本的茎叶图(如右图所示),则改样本的中位数、众数、极差分别是 ( )
A ．46,45,56
B ．46,45,53
C ．47,45,56
D ．45,47,53
3.等差数列{}n a 的前n 项的和为n S ，若205=S ，则142a a +=（ ）
A ． 9
B ．12
C ．15 D.18 4. “2<x ”是“062<--x x ”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件 D.既不充分也不必要条件 5. 已知ο160sin ,3log ,2
2
2===
c b a ，则c b a ,,的大小关系为（ ） A ．c b a << B.b c a << C.b a c << D.a b c <<
6. 已知βα,()π,0∈，51)sin(=
+βα，7
5
sin =β，则αcos 等于（ ）
A ．3529-
B ．3519- C.3529 D ．3529或35
19-
7．如图，如果MC ⊥菱形ABCD 所在的平面，
那么MA 与BD 的位置关系是（ ）
A ．平行
B ．垂直相交
C ．异面垂直
D ．相交但不垂直 8．为得到函数3cos(2)2
y x π
=-的图像，只需将函数3sin(22)y x =-的图像（ ）
A ．向左平移2个长度单位
B ．向右平移2个长度单位
C ．向左平移1个长度单位
D ．向右平移1个长度单位 9．抛物线y ＝x 2
上的点到直线2x －y －10＝0的最小距离为（ ） A ．
55
9 B ．0 C ．5
9
D ．55
10．设i 是虚数单位，复数
12ai
i
+-为纯虚数，则实数a 为 （ ） A ．12- B ．2- C ．1
2
D ．2
二、填空题（5×5=25分）
11．执行如图所示的程序框图，若输入n 的值为8，则输出s 的值为 ．
12．在ABC ∆中，若4,2
1
cos -=⋅-=AB AC A 且,则ABC ∆的
面积等于_____
13．若()f x 是R 上的奇函数，则函数2)1(-+=x f y 的图象必过定点
14．设实数y x ,满足,0
320420
2⎪⎩
⎪
⎨⎧≤-≥-+≤--y y x y x 则x y 的最大值是
15．抽取某地区若干户居民的月均用电量的数据，得到频率分布直方图如右图所示，若月均用电量在区间[110,120)上共有150户，则该地区的居民共有 户. 三、解答题（75分）
16．已知等比数列{}n a 中，128,252==a a ． （1）求通项n a ；
（2）若n n a b 2log =，数列{}n b 的n 项和为n S ，且
360=n S ，求n 的值
17．已知函数()sin(),(0,0,0)2
f x A x x R A π
ωϕωϕ=+∈>><<其中的图象与x 轴的交点
中，相邻两个交点之间的距离为2π，且图象上一个最低点为2(,2).3
π
- （1）求()f x 的解析式；
（2）当[,],()122
x f x ππ
∈时求的值域
C
A
B
D
M
18．已知：圆22:240C x y y +--=，直线m y mx l =+-1:.
（1）求证：对于任意的R m ∈，直线l 与圆C 恒有两个不同的交点； （2）若直线l 与圆C 交于A 、B 两点，17||=AB ，求直线l 的方程
19．设直线42-=x y 与抛物线x y 42=交于B A ,两点（点A 在第一象限） （1）求B A ,两点的坐标；
（2）若抛物线x y 42
=的焦点为F ，求AFB ∠cos 的值
20． 已知()(]ln ,0,f x ax x x e =-∈，其中e 是自然常数，.a R ∈ （1）当1a =时，求()f x 的单调区间和极值； （2）若()3f x ≥恒成立，求a 的取值范围.
21． 如图，在平面四边形ABCD 中，已知45,90,A C ∠=∠=o o 105ADC ∠=o ,AB BD =,现将四边形ABCD 沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BDC ，设点F 为棱AD 的中点． （1）求证：DC ⊥平面ABC ；
（2）求直线BF 与平面ACD 所成角的余弦值．
B
A
F
C
D
A
BA CA
D
参考答案
BABAC DCCAD 11．8 12．32 13．)2,1(-- 14．2
3
15.500 16．解：322-=n n a ，20=n 17．解：（1）由最低点为2(
,2)23
M A π
-=得
由x 轴上相邻的两个交点之间的距离为2π，得2,,222T T T
ππ
πω====即
由点2(,2)3M π-在图象上得242sin(2)2,33ππ
ϕϕ⨯+=-即sin(+)=-1
4232k ππϕπ∴+=-，得12()6
k k Z πϕπ1=-∈， 又(0,),2πϕ∈∴66ππ
ϕ=,于是f(x)=2sin(2x+)
（2）7[,],2[,],122636
x x πππππ
∈∴+Q
当2,()626x f x πππ
+
=
,即x=时取得最大值2， 当72,,()662
x x f x πππ+==即时取得最小值-1，
故)(x f 的值域为[-1，2]
18．解、；（1）直线l 恒过定点(1,1)，且点(1,1)在圆内，所以直线与圆恒有两个交点. 6分
（2
）23
3
m π
π
αα==
=
或；-----12分 19．解：（1）由⎩⎨⎧-==4
242x y x
y 消y 得 0452=+-x x …（3分）
解出11=x ，42=x ，于是，21-=y ，42=y
因为点A 在第一象限，所以B A ,两点的坐标分别为)4,4(A ，)2,1(-B ………（6分） （2）抛物线x y 42=的焦点为)0,1(F ，由（Ⅰ）知，)4,4(A ，)2,1(-B ， 于是，5
4
25)2,0()4,3(||||cos -=⨯-⋅=⋅⋅=
∠FB FA AFB ……（12分）
20.解：（1） ()'11
ln ()1x f x x x
f x x x
-=-=-
=
Q ∴当01x <<时，()'0f x <，此时()f x 为单调递减；当1x e <<时，()'0f x >，此时()f x 为单调递增. ∴当()f x 的极小值为()11f =，()f x 无极大值
（2）法一：∵()(]ln ,0,f x ax x x e =-∈，∴ln 3ax x -≥在(]0,x e ∈上恒成立，
即3
ln x a x
x ≥+
在(]0,x e ∈上恒成立， 令3ln ()x
g x x x =+，(]0,x e ∈， ∴'222
31ln 2ln ()x x
g x x x x -+=-+=-
令'()0g x =，则21
x e
=，
当210x e <<时，()'0f x >，此时()f x 为单调递增，当21
x e e
<<时，()'0f x <，此时()
f x 为单调递减， ∴222max 21
()()32g x g e e e e
==-=，∴2a e ≥.
21．（1）证明：在图甲中∵AB BD =且45A ∠=o ∴45ADB ∠=o ,90ABD ∠=o 即AB BD ⊥
在图乙中，∵平面ABD ⊥平面BDC ， 且平面ABD I 平面BDC ＝BD
∴AB ⊥底面BDC ，∴AB ⊥CD ．
又90DCB ∠=o ，∴DC ⊥BC ,且AB BC B =I ∴DC ⊥平面ABC ．
（2）解：作BE ⊥AC ，垂足为E 。

由（1）知平面ABC ⊥平面ACD ，又平面ABC ⋂平面ACD=AC ，∴BF ⊥平面ADC ， ∴AFE ∠即为直线BF 与平面ACD 所成角 设CD a =得
AB=2,BD a BC ==，
∴BE =
，BF =
，FE =
∴cos BFE ∠==∴直线BF 与平面ACD
所成角的余弦值为7。