解： yst W1 y1 W2 y2
23560 15180 148420 9856 10585.39
171980
171980
3、分层随机抽样中，总体比例P的简单估计 设Ph的简单估计为ph，则
L
Wh 2
h1
•1 fh nh
Sh2
L
Wh 2
h1
•1 fh nh
•
Nh Nh 1
PhQh
10
层 居民
户总 数
1
样本户奶制品年消费支出 23456789
1 200 10 40 0 110 15 10 40 80 90 0 2 400 50 130 60 80 100 55 160 85 160 170 3 750 180 260 110 0 140 60 200 180 300 220 4 1500 50 35 15 0 20 30 25 10 30 25
4627
42
45岁以上
5366
50
总计
35050
320
试估计总体中会计算机者占的比例。
样本中会使 用计算机的
人数
24 12
22
11
4
解：
5
(1) pst Wh ph 0.2286
h1
(2)v( pst )
5
Wh2 (1
h1
fh)
ph (1 ph ) nh 1
0.000534
(3)P置信度为95%的置信区间为：
Vmin ( yst )
L Wh2Sh2
n h1
h
L Wh2Sh2 h1 N
L
( WhSh
h1
L
ch )( WhSh / h1
n
ch )
L
Wh Sh2
h1 N
特例：Neyman分配：
指每层抽取一个单元费用相同（ch c, h 1,, L）时的最优分配。
nh
n
Wh S h
L
, h 1,2,, L
L
6.45, n3 n
W3 s3
L
23.53
Wh sh
Wh sh
h 1
h 1
n4 n
W4 s4
L
7.23
Wh sh
h 1
各层样本量为3、6、24、7。
4.4 样本总量的确定
1.在分层随机抽样中，影响样本总量n的因素： （1）只讨论对总体参数的精度要求； （2）样本量的分配形式。 2.在估计总体均值时，若精度要求给定，样本总量n的确定公式：
u1 2
s
(
y
st
)
2.总体总和Y的估计：
Yˆ
L
Yˆh
L
NhYˆh L
Nh yh
h1
h1
h1
方差V（Yˆ）
L
V（Yˆh）
h1
L h1
N h 2V（yh）
L h1
Nh2
1 fh nh
Sh2
例4.２：调查某地区的居民奶制品年消费支出，以居民户为抽样单元， 根据经济及收入水平将居民户分为４层，每层按简单随机抽样抽 取１０户，调查数据如下，估计该地区居民奶制品年消费总支出 及估计的标准差。表：样本户奶制品年消费支出
4.1.2分层抽样的适用场合： （1）不仅需要估计总体参数，也需要估计各层
参数。 （2）便于管理，按现成的地理分布或行政划分
来分层。 （3）希望样本中能包含各个部分，以增加代表
性。 （4）把一个内部差异很大的总体分成几个内部
比较相似的子总体（层）进行分层抽样，可以 提高估计量的精度。如果有极端值，也可以把 它们分离出来形成一层。
解：
y1 39.5
各层样本均值及方差为：y2 105 y3 165
y4 24
s12 1624.722 s22 2166.667 s32 8205.556 s42 193.333
L
(1)Yˆ Nh yh h 1
200 39.5 400 105 750 165 1500 24
sh2
1 nh 1
nh
（yhi
i 1
yh）2
一、分层抽样中
若对任一层，假设为第h层，都有Yˆh NYˆh，
L
Y Yh
h1
(1)Yˆ L Yˆh L NhYˆh
h1
h1
方差V（Yˆ）
L
V（Yˆh）
L
N h 2V（Yˆh）
h1
h1
L
(2)Yˆst
Yˆh
h1
N
L h1
Nh N
Yˆh
Wh S h
h1
在Neyman分配下,Yˆ的方差达到最小值Vm（in yst）：
Vm（in yst）
1（ n
h
Wh
S
）2
h
1 N
Wh 2 S h 2
h
例.在例4.3中，样本量仍为n=550。
城镇居民23560户，农村居民148420户。
城镇居民与农村居民的年收入的标准差分别为 S1=3000元,S2=2500元。 对城镇居民与农村居民抽样平均每户的费用比 为1：2，
2166.667 6.5330
W3s3
750 2850
8205.556 23.8380
1500 W4s4 2850 193.333 7.3181
L
Whsh 40.51775 h 1
n1 n
W1s1
L
Wh sh
40 2.8286 2.79 40.51775
h1
n2 n
W2 s2
试求城镇与农村两层比例分配与最优分配的 样本量。
又若不考虑费用因素，那么最优分配的结果 如何？
例3.２：调查某地区的居民奶制品年消费支出，以居民户为抽样单元， 根据经济及收入水平将居民户分为４层，每层按简单随机抽样抽 取１０户，调查数据如下，估计该地区居民奶制品年消费总支出 及估计的标准差。表：样本户奶制品年消费支出
209650
(2)Yˆ的方差V (Yˆ)的估计：
v(Yˆ )
v(Nyst )
L h 1
Nh2
•
1
f nh
h
sh
2
5.39 108
s(Yˆ) v(Yˆ) 23208
（3）该地区居民奶制品年消费总支出的置信度为95%的置信区间为
Yˆ
u1 2
s(Yˆ ), Yˆ
u1 2
s(Yˆ )
164162，255138
h1 N
对给定的n
，估计量的方差为
h
V
L h1
Wh
2
1
f nh
h
Sh2
L h1
Wh
2
(
1 nh
1 Nh
)
Sh
2
L Wh2Sh2 L WhSh2
n h1
h
h1 N
(
L h1
WhSh nh
2 L
)(
h 1
2
Chnh )
在最优分配中，Yˆ的方差达到最小值Vmin ( yst )：
yhi
y
1 f
n
l
Wh S h2
h1
1 n
f
l
S
2 w
,
其中S
2 w
Wh S h2为各层方差按层权的加权平均。
h1
例：假设某公司欲估计某类产品的用户的每年平均支出。企划人员 拟就整个潜在用户的名单，共8000户。
层
每层中的潜在用户
少用 中等 多用 总和
2000 4000 2000 N=8000
例4.3：某市进行家庭收入调查，分城镇居民及农村居 民两部分抽样，在全部城镇居民23560户中随机抽取 300户，在全部农村居民148420户中随机抽取250户， 调查结果是城镇年平均户收入为15180元，标准差为 2972元；农村年平均户收入为9856元，标准差为 2546元。求全市年平均户收入的置信度为90%的置信 区间。
L WhYˆh
h1
方差V（Yˆst） L Wh2V (Yˆh ) h1
分层随机抽样, 则Yˆh的简单估计为yh
1.Y的无偏简单估计Yˆst为：yst L WhYˆh L Wh yh ,Yˆst记为yst
h1
h1
Y 的置信度为1 的置信区间为：
yst
u1 s( yst ), 2
yst
3
3
sw2 Whsh2 Wh phqh
h 1
h 1
48107 0.27 0.73 12419 0.18 0.82 6875 0.17 0.83
67401
67401
67401
0.182
s( pst )
v( pst )
1 f n
sw2
1 1500 67401 0.182 0.011 1500
L
C c0 chnh h1
1.比例分配：指按各层层权（各层单元数占总体单元数的比例）进行
分配。
nh n
Nh N
Wh
fh
nh Nh
n N
f
L
则：y prop Wh yh
h1
L h1
Nh N
•1 nh
nh i 1
yhi
L h1
nh n
•1 nh
nh i 1
yhi
1 n
L h1
nh i 1
每个县的户数 Nh
48107 12419 6875 N=67401
每个县被抽出 的户数nh
1071 276 153
n=1500
每个县的样本收 视率 ph
0.27 0.18 0.17