第二节氢原子的波函数
氢原子的第二个四分之一氢原子的波函数是所有原子中最简单的原子。

它的原子核外只有一个电子。

移动到原子核外的电子的势能只取决于检查它的吸引力，它的薛定谔？丁格方程可以精确求解。

此外，类氢离子，例如氦离子和锂离子，可以被精确地解决。

2+
+
为了方便地解决这个问题，用直角坐标表示的ψ(x，y，z)应由用球面极坐标表示的ψ(r，θ，φ)代替。

两者之间的关系如图8-3所示:
r代表P点与原点之间的距离，θ、φ称为方位角。

x = r sinθcosφy = r sinθsinφz= r cosθ
波函数ψn，l，m(r，θ，φ)和它们相应的氢原子能量列于表8-1
图8-3笛卡儿坐标被转换成球面极坐标表8-1氢原子的一些波函数和它们的能量轨道1s ψn，l，m(r，θ，φ) R n，l (r) A1e-Br Y l，m (θ，Phi)能量/j-2.18310-18a1e-Br-2.18310-18/222 sa 2re-Br/2a 2re-Br/2-2。

量子力学借用了玻尔的“原子轨道”的概念，仍然称波函数为“原子轨道”，但是它们的含义是完全不同的。

例如，玻尔认为基态氢原子的原子轨道是半径等于52.9 pm的球形轨道在量子力学中，氢原子基态的原子轨道是波函数
ψ1s(r，θ，φ) = A1e-br，其中a1和b是常数，这表明ψ1s随着离核r
的距离的变化在任何方位角变化
，它代表氢核外1s电子的运动状态，但并不意味着1s电子有确定的运动轨道1s电子的能量为-2.18310焦耳氢核外有许多电子激发态，如ψ2S(R，θ，φ)，θ，φ)等。

，相应的能量为-5.45310焦耳
-19
-18
(r，
)要求解薛定谔方程的ψ和e，必须满足一定的条件才能使解合理。

因此，在求解过程中必须引入三个量子数n、l和m当这三个参数的值和组合固定时，就确定了波函数。

这三个量子数的极限值及其物理意义如下:
主量子数通常用符号n表示。

它可以取任何非零正整数，即1，2，3？n它决定了在最有可能出现在原子核外空间的区域中，电子离原子核的距离，是决定电子能级的主要因素。

当n = 1时，电子离原子核的平均距离最近，能量最低n越大，电子离原子核越远，能量越高。

所以n也叫做电子壳层数。

对于氢原子，电子的能量完全由主量子数决定，即由公式
决定从这个公式可以看出，n越大，e越大(负值的绝对值
越小)
轨道角动量量子数(有机角动量量子数)通常用符号L表示它的值受主量子数的限制。

它只能接受小于N的正整数并且包括零，也就是
说，L可以等于0，1，2，3？(n–1)，总共n个值是可接受的根据光谱学的习惯，当l = 0时，用符号s表示，当l = 1时，用符号p表示，当l = 2时，用符号d表示，当l = 3时，用符号f表示，等等轨道角动量的量子数决定了原子轨道的形状例如，当l = 0时，原子轨道是球形的。

当l = 1时，原子轨道是双球面的，等等。

在多电子原子中，轨道角动量的量子数也是决定电子能级的一个因素。

因此，在多电子原子中，具有相同主量子数和不同轨道角动量量子数的电子的能量是不相等的，也就是说，同一电子层中的电子也可以分成几个不同的能级或子层。

当主量子N相同时，轨道角动量量子数L越大，能量越高。

所以有两种情况对于氢原子，Ens = Enp = End = Enf
磁量子数通常用m表示它的值受到轨道角动量量子数的限制也就是说，m可以等于0，1，2。

整数，如l因此，磁量子数的总数是(2l+1)磁性量子数决定了原子轨道在空间中延伸的方向，但它与电子的能量无关。

例如，当l =1时，磁量子数可以有三个值，即m = 0和1，这表明p轨道在空间中有三个不同的延伸方向，即总共有三个p轨道然而，三个P轨道的能量是相同的，也就是说，能级是相同的，这被称为简并或等价轨道。

综上所述，我们可以看到三个量子数N、L和M的组合有一定的规律。

例如，当n = 1时，l只能等于0，m只能等于0。

只有三个量子数的一个组合，即1、0和0，这意味着第一电子层只有一个能级和一个轨道，相应的波函数写为ψ1、0、0或ψ1s当n = 2时，l可以等于0和1，因此第二电子层具有两个能级当n = 2且l = 0时，m只能
等于0；当n = 2且l = 1时，m可以等于0和1量子数有四种组合，即2，0，0(ψ2S)；2，1，0()；2，1，1(，)
这也表明第二电子层有4个轨道，其中2，0，0的组合是能级，另外三个组合属于第二高能级通过类比，每个电子层中的轨道总数应该是n。

见表8-2
2
表8-2量子数组合和轨道数
主量子数n 1 2角量子数L 001 1磁量子数m 0 0 0 1 0 0 3 1 0 2波函数ψ轨道数(N2)ψ1sψ2sψ2Pzψ2Px，ψ2Py 3sψ3Pzψ3Px，ψ3Pyψ3d z2ψ3d xz，3dyz然而，第四个量子数，自旋角动量量子数，需要用来描述电子的运动状态，用符号si表示它不是通过求解薛定谔方程得到的，所以它与N，L和m无关电子本身有自旋运动自旋运动有两个相反的方向，
电子自旋运动图
分别由自旋角动量量子数+1/2和-1/2表示，也可以分别由正负箭头符号↓和↓表示当两个电子的自旋方向相同时，它们被称为平行自旋，否则它们被称为反平行自旋。

量子力学建立后，上述观点也得到肯定。

因此，总共需要四个量子数，即n，l，m和si，来表示电子的运动状态。

示例aNalysis of
:众所周知，基态na原子的价电子位于最外层的3s子层中，其运动状态由n、l、m和si量子数
来描述
求解最外层3s子层的n = 3，l = 0，m = 0，因此其运动状态可表示为3，0，0，+1/2(或-1/2)
的概率密度和电子云在氢核外只有一个电子。

如果原子核是固定的，电子的位置是不确定的，但它有统计规律性如前所述，∣ψ√代表电子出现在原子核外空间某一点(r，θ，φ)的概率密度。

为了用图形表示电子出现在基态氢原子原子核外空间各处的概率密度分布，空间各处的√ψ√值用不同密度的小黑点表示。

每单位体积黑点的数量与∠ψ ∠成正比的图叫做电子云。

2
2
2
图8-4是氢原子∠ψ1s∠对r和1s电子云的图从图中可以看出，离原子核越近，电子云越密集，即电子出现的概率密度越大；离原子核越远，电子云越稀少，电子出现的概率密度越小。

注意，不要把电子云中的小黑点当成电子，因为在氢原子核外只有一个电子。

还要注意，这是关于概率密度，而不是概率。

后来我们经常使用电子云作为概率密度的同义词。

图
2
原子轨道为了加深对波函数含义的理解，我们将研究它的图像以获得更直观的效果然而，波函数是一个包含r、θ、φ三个独立变量的函
数，很难制作二维或三维图形。

因此，波函数被写成以下一般形式:ψn，l，m(r，θ，φ) = R n，l(r)2Yl φ)和m(θ，公式的含义是:波函数可以写成两个函数的乘积，即R n，l(r)函数和Yl (θ，φ)函数这个R n，ll(r)，m函数也称为波函数的径向部分或径向波函数，它是离原子核距离R 的函数，只与两个量子数n和l有关Yl φ)函数也称为波函数的角部分或角波函数(m(θ，函数)，它是方位角θ和φ的函数，只与L和M 量子数有关这两个函数分别包含一个自变量和两个自变量，所以映射起来没有困难。

映射后，电子的运动状态可以从波函数的径向和角向边观察到。

虽然每个部分并不代表一个完整的波函数，但它可以解释许多问题。

表8-1列出了通过理解薛定谔方程和它们相应的R n，l(r)函数和Yl (θ，φ)函数获得的氢原子基态和一些激发态的波函数。

，m (a)氢原子轨道的角度分布图氢原子轨道的角度分布图又称y函数图
s轨道角度分布图
如图8-4所示Yl (θ，φ)值随方位角的变化如图8-5和图8-6所示由于角波函数只与轨道、M通道角动量量子数和磁量子数有关，而与主量子数无关，只要L和M相同，即使N不同，它们的角分布也相同。

轨迹角分布图
YPx
p轨迹角分布图
示意图显示y值形成的两个波瓣向x轴方向延伸，而yz平面上的y
值为零，该平面称为节点平面，即函数值为零的平面据此，可以用符号YPy和YPz来类比轨迹角分布图的含义。