控制系统的超前校正设计控制系统的超前校正设计1 设计原理本设计使用频域法确定超前校正参数。

首先根据给定的稳态性能指标，确定系统的开环增益K 。

因为超前校正不改变系统的稳态指标，所以，第一步仍然是调整放大器，使系统满足稳态性能指标。

再利用上一步求得的K ，绘制未校正前系统的伯德图。

在伯德图上量取未校正系统的相位裕度和幅值裕度，并计算为使相位裕度达到给定指标所需补偿角的超前相角εγγσϕ+-=0。

其中γ为给定的相位裕度指标；0γ为未校正系统的相位裕度；ε为附加角度。

（加ε的原因：超前校正使系统的截止频率c ω增大，未校正系统的相角一般是较大的负相角，为补偿这里增加的负相角，再加一个正相角ε，即|)()(||)()(|0''0c c c c j H j G j H j G ωωωωε∠-∠≥ 其中，c 'ω为校正后的截止频率。

当系统剪切率对应的ε取值为：当剪切率为-20dB时，deg 10~5=ε，剪切率为-40dB 时，deg 15~10=ε，剪切率为-60dB 时，deg 20~15=ε。

）取σϕϕ=m ，并由m m a ϕϕsin 1sin 1-+=求出a 。

即所需补偿的相角由超前校正装置来提供。

为使超前校正装置的最大超前相角出现在校正后系统的截止频率c 'ω上，即c m 'ωω=，取未校正系统幅值为)(lg 10dB a -时的频率作为校正后系统的截止频率c 'ω。

由T a m 1=ω计算参数T ，并写出超前校正的传递函数Ts aTss G c ++=11)(。

校验指标，绘制系统校正后的伯德图，检验是否满足给定的性能指标。

当系统仍不满足要求时，则增大ε值，从ε取值再次调试计算。

2 控制系统的超前校正2.1 初始状态的分析由已知条件，首先根据初始条件调整开环增益。

根据：)3.01)(1.01()(s s s K s G ++=要求系统的静态速度误差系数6≤v K ，K s s K S sG k s v =++==→)3.01)(1.01()(lim 0可得K=6，则待校正的系统开环函数为)3.01)(1.01(6)(s s s s G ++= 上式为最小相位系统，其MATLAB 伯德图如图1所示。

程序：G=tf(6,[0.03 0.4 1 0]);[kg,r]=margin(G)G=tf(6,[0.03 0.4 1 0]);margin(G)频率的相对稳定性即稳定裕度也影响系统时域响应的性能，稳定裕度常用相角裕度γ和幅值裕度h 来度量。

由图1可得：截止频率sec /74.3rad c =ω 穿越频率 sec /77.5rad x =ω相角裕度 deg 2.21=Pm幅值裕度 dB h 4.96=显然deg 45≤γ，需要进行超前校正。

用MATLAB 画出其校正前的根轨迹，如图2所示。

其程序：num=[6]; %描述系统分子多项式图1 系统校正前的伯德图den=[0.03,0.4,1,0]; %描述系统分母多项式rlocus(num,den); %计算出系统根轨迹2.2 超前校正分析及计算2.2.1 使用频域法确定超前环节函数利用超前网络的相位超前特性，正确的将超前网络的交接频率1/aT和1/T选在待校正系统截止频率的两旁，并选择适当参数a和T，就可以使已校正系统的截止频率和相角裕度满足性能指标的要求。

计算为使相位裕度达到给定指标所需补偿的超前相角σϕ+γγε=-取|)()(||)()(|''0cccc jHjGjHjGωωωωε∠-∠≥，由未校正系统的伯德图可知当前未校正系统的剪切率为-40dB，可取deg15~10=ε，其中：deg45=γdeg2.21=γdeg10=εdeg8.33=σϕ取deg8.33==σϕϕm并由mmaϕϕsin1sin1-+=求出51.3=a作45.551.3lg10-=-dB直线与未校正系统对数幅频特性曲线相交于sec/28.5rad=ω，如图3所示。

取sec/28.5'radmc==ωω由T am1=ω，得101.0=T因此超前传递函数为sssGc101.01354.01)(51.3++=为了补偿无源超前网络产生的增益衰减，放大器的增益需提高3.51倍，否则不能保证稳态误差要求。

图3 deg10=ε时的ω取值超前网络参数确定后，已校正系统的开环传递函数为)101.01)(3.01)(1.01()354.01(6)()(s s s s s s G s G c ++++= 因此，已系统校正后程序及伯德图如图4所示。

num=[2.134,6]; %描述开环系统传递函数的分子多项式den=[0.00303,0.0704,0.501,1,0]; %描述开环系统传递函数的分母多项式margin(num,den); %画出伯德图title('校正后的系统伯德图'); %标题[kg,r,wg,wc]=margin(num,den) %求出各个参数kg =3.1130r =38.0727wg =10.4196wc =5.3069 可见deg 45deg 07.38<=γ，因此不满足要求，说明σϕ还不够大。

试取deg 15=ε图4 deg 10=ε时校正后的伯德图εγγσϕ+-=其中deg45=γdeg2.21=γdeg15=εdeg8.38=σϕ取deg8.38==σϕϕm并由mmaϕϕsin1sin1-+=求出35.4=a作39.635.4lg10-=-dB直线与未校正系统对数幅频特性曲线相交于sec/59.5rad=ω，如图5所示，取：sec/59.5'radmc==ωω由T am1=ω，得085.0=T因此超前传递函数为sssGc085.01373.01)(36.4++=为了补偿无源超前网络产生的增益衰减，放大器的增益需提高4.36倍，否则不能保证稳态误差要求。

超前网络参数确定后，已校正系统的开环传递函数为图5 deg15=ε时ω的取值)085.01)(3.01)(1.01()373.01(6)()(s s s s s s G s G c ++++=因此，已系统校正后程序及伯德图如图6所示。

num=[2.238,6]; %描述开环系统传递函数的分子多项式den=[0.00258,0.064,0.486,1,0]; %描述开环系统传递函数的分母多项式margin(num,den); %画出伯德图title('校正后的系统伯德图'); %标题[kg,r,wg,wc]=margin(num,den) %求出各个参数kg =3.2670r =40.4936wg =11.3960wc =5.5985可见deg 45deg 49.40<=γ，因此不满足要求，说明σϕ还不够大。

2.2.2 使用MATLAB 解方程组方法确定超前环节函数图6 deg 15=ε时校正后的伯德用MATLAB 解方程组的方法尝试求取未校正系统的a 和c ωa L L m c c lg 10)()(==-ωω；（1）a T m ω1=； （2）11arcsin +-=a a m ϕ；（3） 由（1）、（2）、（3）三个公式可的关于a 和c ω的方程组：)13.0)(11.0)((6lg 20lg 10++-=c c c j j j a ωωω （方程1） οο45)3.0arctan()1.0arctan(9011arcsin =--++-c c a a ωω （方程2） 其程序为：>>[a w]=solve('10*log10(a)=20*log10(w*sqrt((0.1*w)^2+1)*sqrt((0.3*w)^2+1)) -20*log10(6)','asin((a-1)/(a+1))+pi/2-atan(0.1*w)-atan(0.3*w)=pi/4','a,w') %描述求解的方程组并求两个未知量a = 7.7370763966971637649740767579051157.24400989088140052347823364624w = 6.444738652991146039117660830644212.345109628995731825100923603504可得 74.7=asec /44.6'rad c =ω 由T a m 1=ω，得056.0=T因此超前传递函数为()s s Ts aTs s G c 05578.014316.0111++=++= 超前网络参数确定后，已校正系统的开环传递函数可写为：)0558.01)(3.01)(1.01()4316.01(6)()(0s s s s s s G s G c ++++= 根据得出的a 和c 'ω，由先前的频域法可计算出11sin +-=a a m ϕ deg 44.50==m ϕσϕdeg 44.260=+-=γγϕεm 大大超出了该系统的ε的取值范围，证明该系统不宜用超前校正，但是理论上该传递函数可以对系统进行满足条件的超前校正。

2.3 对校正后的验证2.3.1 校正后的伯德图及参数在计算后还可以用其他的方法来进行检验，看所加装置参数选择是都真的符合题意，满足要求。

下面用MATLAB 来进行检验程序为：num=[2.5896,6]; %描述开环系统传递函数的分子多项式den=[0.001674,0.05232,0.4558,1,0]; %描述开环系统传递函数的分母多项式margin(num,den); %画出伯德图title('校正后的系统伯德图'); %标题[kg,r,wg,wc]=margin(num,den) %求出各个参数结果为kg = 3.7876r = 44.9969wg = 14.3730wc = 6.4444得到如下伯德图，如图7所示。

程序计算得相角裕度deg 45=γ，正好符合题目要求。

2.3.2 校正后的根轨迹用MATLAB 画出校正后的根轨迹，如图8所示。

程序为：num=[2.5896,6]; %描述系统分子多项式den=[0.001674,0.05232,0.4558,1,0];%描述系统分母多项式 rlocus(num,den); %计算出系统根轨迹图7 系统校正后的伯德图图8 系统校正后的根轨迹图2.3.3 校正对系统性能的改分析对校正前后的阶跃响应进行比较，程序如下num1=[6]; %描述原函数分子多项式den1=[0.03,0.4,1,6]; %描述原函数分母多项式num3=[2.5896,6]; %描述校正后函数分子多项式den3=[0.001674,0.05232,0.4558,3.586,6]; %描述校正后函数分母多项式t=[0:0.02:5] %时间间隔y1=step(num1,den1,t) %求原函数阶跃响应y3=step(num3,den3,t) %%求校正后函数阶跃响应plot([y1,y3]); %自动绘图命令grid %绘制网格gtext('校正前') %命名图形gtext('校正后') %命名图形得到图形如图9：图9 校正前后的阶跃响应由上图可以看出在校正后：a．加入校正装置系统的超调量明显减少了，阻尼比增大，动态性能得到改善。