第八章 空间解析几何与向量代数答案一、选择题1. 已知A (1,0,2), B (1,2,1)是空间两点，向量 的模是（A ） A 5 B 3 C 6 D 92. 设a =（1,-1,3）, b =（2,-1,2），求c =3a -2b 是（ B ）A （-1,1,5）.B （-1,-1,5）.C （1,-1,5）.D （-1,-1,6）. 3. 设a =（1,-1,3）, b =（2, 1,-2），求用标准基i , j , k 表示向量c=a-b 为（A ） A -i -2j +5k B -i -j +3k C -i -j +5k D -2i -j +5k 4. 求两平面032=--+z y x 和052=+++z y x 的夹角是（ C ）A2π B 4π C 3πD π 5. 已知空间三点M (1,1,1)、A (2,2,1)和B （2，1，2），求∠AMB 是（ C ） A2π B 4π C 3πD π 6. 求点)10,1,2(-M 到直线L ：12213+=-=z y x 的距离是：（ A ）A 138B 118C 158D 1 7. 设,23,a i k b i j k =-=++求a b ⨯是：（ D ）A -i -2j +5kB -i -j +3kC -i -j +5kD 3i -3j +3k8. 设⊿ABC 的顶点为(3,0,2),(5,3,1),(0,1,3)A B C -，求三角形的面积是：（ A ）B 364C 32D 3 9. 求平行于z 轴，且过点)1,0,1(1M 和)1,1,2(2-M 的平面方程是：（ D ）A 2x+3y=5=0B x-y+1=0C x+y+1=0D 01=-+y x ．10、若非零向量a,b 满足关系式-=+a b a b ，则必有（ C ）；A -+a b =a b ；B =a b ；C 0⋅a b =；D ⨯a b =0． 11、设,a b 为非零向量，且a b ⊥, 则必有（ C ）A a b a b +=+B a b a b -=-C +=-a b a bD +=-a b a b 12、已知()()2,1,21,3,2---a =,b =，则Pr j b a =（ D ）；A 53； B 5； C 3； ． 13、直线11z 01y 11x -=-=--与平面04z y x 2=+-+的夹角为 （B ） A6π； B 3π； C 4π； D 2π． 14、点(1,1,1)在平面02=+-+1z y x 的投影为 （A ）（A ）⎪⎭⎫ ⎝⎛23,0,21； （B ）13,0,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭； （C ）()1,1,0-；（D ）11,1,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭．15、向量a 与b 的数量积⋅a b =（ C ）.A a rj P b a ；B ⋅a rj P a b ；C a rj P a b ；D b rj P a b ． 16、非零向量,a b 满足0⋅=a b ，则有（ C ）．A a ∥b ;B =λa b (λ为实数)；C ⊥a b ；D 0+=a b ． 17、设a 与b 为非零向量，则0⨯=a b 是（A ）．A a ∥b 的充要条件；B a ⊥b 的充要条件;C =a b 的充要条件；D a ∥b 的必要但不充分的条件． 18、设234,5=+-=-+a i j k b i j k ，则向量2=-c a b 在y 轴上的分向量是（B ）． A 7 B 7j C –1； D -9k19、方程组2222491x y z x ⎧++=⎪⎨=⎪⎩表示 （ B ）.A 椭球面；B 1=x 平面上的椭圆；C 椭圆柱面；D 空间曲线在1=x 平面上的投影. 20、方程 220x y +=在空间直角坐标系下表示 （C ）.A 坐标原点(0,0,0)；B xoy 坐标面的原点)0,0(；C z 轴；D xoy 坐标面. 21、设空间直线的对称式方程为 012xy z==则该直线必（ A ）. A 过原点且垂直于x 轴； B 过原点且垂直于y 轴； C 过原点且垂直于z 轴； D 过原点且平行于x 轴. 22、设空间三直线的方程分别为123321034:;:13;:2025327x tx y z x y z L L y t L x y z z t=⎧+-+=⎧++⎪===-+⎨⎨+-=--⎩⎪=+⎩,则必有（ D ）.A 1L ∥2L ；B 1L ∥3L ；C 32L L ⊥；D 21L L ⊥.23、直线34273x y z++==--与平面4223x y z --=的关系为 ( A )． A 平行但直线不在平面上； B 直线在平面上；C 垂直相交；D 相交但不垂直．24、已知1,==a b 且(,)4∧π=a b , 则 +a b = ( D )． A 1；B 1+C 2；.25、下列等式中正确的是( C )．A +=i j k ；B ⋅=i j k ；C ⋅=⋅i i j j ；D ⨯=⋅i i i i ． 26、曲面22x y z -=在xoz 平面上的截线方程为 (D)．A 2x z =； B 20y z x ⎧=-⎪⎨=⎪⎩； C 2200x y z ⎧-=⎪⎨=⎪⎩； D 20x zy ⎧=⎪⎨=⎪⎩．二、计算题1．已知()2,2,21M ，()0,3,12M ，求21M M 的模、方向余弦与方向角。

解：由题设知((1212,32,01,1,,M M =---=- 则()(),2211222=-++-=21cos -=α，21cos =β，22cos -=γ，于是，32πα=，3πβ=，43πγ=。

2．设k j i m 853++=，k j i n 742--=和k j i p 45-+=，求向量p n m a -+=34在x 轴上的投影及在y 轴上的分向量。

解：()()()4574238534-+---+++=15713++=故在x 轴上的投影为13，在y 轴上的分向量为7。

3．在xoz 坐标面上求一与已知向量()2,3,4a =-垂直的向量。

解：设所求向量为()00,0,b x z =，由题意，04200=+-=⋅z x取10=z ，得20=x ，故()2,0,1b =与垂直。

当然任一不为零的数λ与的乘积λ也垂直。

4．求以()3,2,1A ，()5,4,3B ，()7,2,1--C 为顶点的三角形的面积S 。

解：由向量积的定义，可知三角形的面积为AC AB S ⨯=21，因为()2,2,2AB =，()2,4,4AC =--，所以()22216,12,4244i j kAB AC ⨯==----，于是， ()().69242162144222221222=-+-+=--=S 5．求与向量()2,0,1a =，()1,1,2b =-都垂直的单位向量。

解：由向量积的定义可各，若=⨯，则同时垂直于和，且k j i kj ib ac 23211102--=-=⨯=，因此，与b a c ⨯=平行的单位向量有两个：()()()k j i c 2314123123222--=-+-+--===和 ().23141k j i c ++-=- 6．求球面9222=++z y x 与平面1=+z x 的交线在xoy 面上的投影的方程。

解：由1=+z x ，得x z -=1，代入9222=++z y x ，消去z 得()91222=-++x y x ，即82222=+-y x x ，这就是通过球面9222=++z y x 与平面1=+z x 的交线，并且母线平行于z轴的柱面方程，将它与0=z 联系，得：⎩⎨⎧==+-082222z y x x ，即为所求的投影方程。

7、求过()1,1,1-A ，()2,,2,2--B 和()2,1,1-C 三点的平面方程。

解一：点法式：{}3,3,3--=，{}3,2,0-=，取{}2,3,13320333---=---=⨯=， 于是所求方程：023=--z y x 。

解法二：用一般式，设所求平面方程为 ,0=+++D Cz By Ax将已知三点的坐标分别代入方程得,0202220⎪⎩⎪⎨⎧=++-=++--=+-+D C B A D C B A D C B A 解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=023D A C A B ，得平面方程：023=--z y x 。

8．求平面0522=++-z y x 与xoy 面的夹角余弦。

解：()2,2,1n =-为此平面的法向量，设此平面与xoy 的夹角为γ，则()()2,2,10,0,11cos 33||||n k n k γ-⋅⋅===⋅ 9．分别按下列条件求平面方程(1)平行于xoz 面且经过点()3,5,2-； (2)通过z 轴和点()2,1,3-；(3)平行于x 轴且经过两点()2,0,4-和()7,1,5。

解：(1)因为所求平面平行于xoz 面，故()0,1,0j =为其法向量，由点法式可得：()()()0305120=-⋅++⋅+-⋅z y x ，即所求平面的方程：05=+y 。

(2)因所求平面通过z 轴，其方程可设为(*)0=+By Ax ，已知点()2,1,3--在此平面上，因而有03=+-B A ，即A B 3=，代入（*）式得：03=+Ay Ax ，即所求平面的方程为：03=+y x 。

(3)从共面式入手，设()z y x P ,,为所求平面上的任一点，点()2,0,4-和()7,1,5分别用A ，B表示，则，，i 共面，从而[]00191124,,=+-=z yx ，于是可得所求平面方程为：029=--z y 。

10．用对称式方程及参数式方程表示直线l ：⎩⎨⎧=++=+-421z y x z y x 。

解：因为直线l 的方向向量可设为()121112,1,3211i j ks n n =⨯=-=-，在直线上巧取一点()2,0,3-A （令0=y ，解直线l 的方程组即可得3=x ，2-=z ），则直线的对称式方程为32123+==--z y x ，参数方程为：t x 23-=，t y =，t z 32+-=。

11．求过点()4,2,0且与两平面12=+z x 和23=-z y 平行的直线方程。

解：因为两平面的法向量()11,0,2n =与()20,1,3n =-不平行，所以两平面相交于一直线，此直线的方向向量()121022,3,1013i j ks n n =⨯==--，故所求直线方程为14322-=-=-z y x 。

12．确定直线37423zy x =-+=-+和平面3224=--z y x 间的位置关系。

解：直线的方向向量()2,7,3,s =-- 平面的法向量()4,2,2,n =--2,7,34,2,2cos 0.φ--⋅--==从而⊥，由此可知直线平等于平面或直线在平面上。