全等三角形全等图形: 能够完全重合的两个图形就是全等图形. 全等多边形: 能够完全重合的多边形就是全等多边形.相互重合的顶点叫做对应顶点,相互重合的边叫做对应边,相互重合的角叫做对应角. 全等多边形的对应边、对应角分别相等. 如下图,两个全等的五边形,记作:五边形ABCDE ≌五边形 A'B'C'D' E' .全等三角形: 能够完全重合的三角形就是全等三角形.全等三角形的对应边相等,对应角分别相等; 反之,如果两个三角形的边和角分别对应相等,那么这两个三角形全等. 全等三角形对应的中线、高线、角平分线及周长面积均相等. 全等三角形的概念与表示: 能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形.点、边、角分别叫作对应顶点、对应边、对应角.全等符号为“≌ ”. 全等三角形的性质: 对应角相等,对应边相等,对应边上的中线相等,对应边上的高相等, 对应角的角平分线相等,面积相等. 寻找对应边和对应角,常用到以下方法:(1) 全等三角形对应角所对的边是对应边,两个对应角所夹的边是对应边. (2) 全等三角形对应边所对的角是对应角,两条对应边所夹的角是对应角. (3) 有公共边的,公共边常是对应边.(4) 有公共角的,公共角常是对应角.(5) 有对顶角的,对顶角常是对应角. 全等三角形的判定方法:(1) 边角边定理 ( SAS) :两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等. (2) 角边角定理 ( ASA) :两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等. (3) 边边边定理 ( SSS) :三边对应相等的两个三角形全等.(4) 角角边定理 ( AAS) :两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.(5) 斜边、直角边定理 ( HL) :斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.判定三角形全等的基本思路: 找夹角 SAS 已知两边 找直角 HL 找另一边 SSS能够相互重合的顶这里符号“≌”表示全等,读作“全等于.ED边为角的对边→找任意一角→AAS已知一边一角找这条边上的另一角→ASA边就是角的一条边找这条边上的对角→ AAS找该角的另一边→ SAS已知两角找两角的夹边 ASA找任意一边 AAS全等三角形的图形归纳起来有以下几种典型形式:⑴ 平移全等型⑶ 旋转全等型由全等可得到的相关定理:⑴ 角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等.⑵ 到一个角的两边的距离相同的点,在这个角的平分线上.⑶ 等腰三角形的性质定理:等腰三角形的两个底角相等(即等边对等角).⑷ 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合.⑸ 等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等⑹ 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等.⑺ 和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.三角形辅助线做法 :1、遇到等腰三角形,可作底边上的高,利用“三线合一”的性质解题,思维模式是全等变换中的“对折。
”2、遇到三角形的中线,倍长中线,使延长线段与原中线长相等,构造全等三角形,利用的思维模式是全等变换中的“旋转”。
3、遇到角平分线,可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线,利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”,所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理。
4、过图形上某一点作特定的平分线,构造全等三角形,利用的思维模式是全等变换图中有角平分线,可向两边作垂线。
角平分线平行线,等腰三角形来添。
线段垂直平分线,常向两端把线连。
三角形中两中点,连接则成中位线。
常见也可将图对折看,对称以后关系现。
角平分线加垂线,三线合一试试看。
要证线段倍与半,延长缩短可试验。
三角形中有中的“平移”或“翻转折叠。
”5、截长法与补短法,具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等,或是将某条线段延长,是之与特定线段相等,再利用三角形全等的有关性质加以说明。
这种作法,适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。
已知某线段的垂直平分线,那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连线,出一对全等三角形。
7、特殊方法:在求有关三角形的定值一类的问题时,常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来,利用三角形面积的知识解答。
一、全等三角形的认识与性质1、在AB 、AC上各取一点E、D,使AE AD ,连接BD 、CE相交于O再连结AO、BC,若1 2 ,则图中全等三角形共有哪几对?并简单说明理由.2、如图所示,AB AD,BC DC ,E、F在AC上,AC与BD相交于P .图中有几对全等三角形?请一一找出来,并简述全等的理由.、三角形全等的判定与应用1、如图,AC∥DE ,BC∥ EF ,AC DE .求证:AF BD.2、已知:如图,AD BC,AC BD ,求证:C D.3、如图,AC、BD相交于 O点,且AC BD,AB CD ,求证:OA OD .4、已知:如图,B、E 、F 、C 四点在同一条AB DC ,BE CF ,B C .求直线上,证:OA OD .DBE FC7、E 、F 、G 分别是正方形 ABCD 的 BC 、 CD 、 AB 边上的点, 证: BG CF BC .5、已知,如图, AB AC ,CE AB , BF AC ,求证: BF CE .6、 E 、 F 分别是正方形 ABCD 的 BC 、 CD 边上的点,且GE EF ,GE EF .求ACC8、在凸五边形中,B E,C D,BC DE,M 为CD中点.求证:AM CD.三、截长补短类1、如图,点M 为正三角形ABD 的边AB 所在直线上的任意一点(点B 除外),作DMN 60 ,射线MN与∠DBA外角的平分线交于点 N,DM 与MN有怎样的数量关系 ?2、如图,点M 为正方形ABCD 的边AB 上任意MN DM 且与∠ABC外角的平分线一点,交于点 N,MD与MN有怎样的数量关系?A M B3、如图, AD CB⊥AB DM=CM=a , AD=h,CB= k ,∠ AMD = 75°,∠则 AB 的长为()khA. aB. kC.D. h25、如图所示,ABC是边长为1的正三角形,BDC是顶角为 120 的等腰三角形,以D为顶点作一个 60 的MDN,点M、N分别在AB、AC上,求AMN的周长.4、已知:如图,ABCD 是正方形,∠ FAD=∠FAE. 求证: BE+DF =AE.6、五边形 ABCDE 中,AB=AE,BC+DE=CD,∠ABC+∠AED=180°,求证: AD 平分∠ CDE四、与角平分线有关的全等问题1、如图,已知ABC的周长是21,OB,且OD 3,求ABC 的面积.OC分别平分ABC和ACB ,OD BC于D,CC2、在ABC 中,D为BC边上的点,已知BAD CAD,BD CD ,求证:AB AC.A4、已知 ABC 中, A 60 , BD 、 CE 分别平分 ABC 和 ACB , BD 、 CE 交于点 O , 试判断 BE 、CD 、 BC 的数量关系,并加以证明.3、已知 ABC 中, A B AC , BE 、 CD 分别是 ABC 及 ACB 平分线.求证: CD BE .AED5、如图,已知 E 是 AC 上的一点,又 1 2, 3 4.求证: ED EB .6、长方形 ABCD 中,AB =4,BC =7,∠BAD 的角平分线交 BC 于点 E ,EF ⊥ED 交 AB 于 F , 则 EF = __ .7、如图所示,已知 ABC 中, AD 平分 BAC ,E 、 F 分别在 BD 、 AD 上. DE CD ,EF AC .求证: EF ∥ABBE D8、如图,在ABC中,AD交BC于点D,点E是BC中点,EF ∥ AD交CA的延长线于点F ,交AB 于点 G ,若BG CF ,求证:AD 为BAC 的角平分线.9、在ABC中,AB AC,AD是BAC的平分线.P是AD上任意一点.求证:AB AC PB PC .10、如图,在ABC中,B 2 C,BAC的平分线AD交BC与D .求证:AB BD AC.11、如图所示,在ABC中,AC AB,M为BC的中点,AD是BAC的平分线,若CF AD且交 AD 的延长线于 F , 求证 MF 1AC AB .13、如图所示,在 ABC 中, AD 平分 BAC , AD AB , CM AD 于M ,求证 AB AC 2AM .12、如图所示, AD 是 ABC 中 BAC 的外角平分线,1DE∥ABCD AD 于D , E 是BC 的中点,CCM14、如图,ABC中,AB AC,BD 、CE分别为两底角的外角平分线,AD BD于D,AE CE 于E.求证:AD AE .15、已知:AD和BE分别是△ABC的∠CAB和∠CBA的外角平分线,CD AD,CEBE,1求证:⑴ DE∥ AB;⑵ DE 1 AB BC CA .216、在 ABC 中,MB 、 NC分别是三角形的外角ABE 、 ACF 的角平分线,AMBM ,1AN CN垂足分别是M 、 N.求证:MN∥BC, MN AB AC BCE B C17、在 ABC中,MB 、 NC分别是三角形的内角ABC、 ACB的角平分线,AM BM ,AN CN垂足分别是M、 N.求证:MN ∥ BC, MN 1 AB AC BCABC18、如图,在四边形ABCD中,AC 平分BAD,过C 作CE AB于E ,并且1AE (AB AD),则ABC ADC 等于多少?219、如图,A D 180 ,BE平分ABC ,CE平分BCD,点E在AD上.① 探讨线段AB 、CD 和BC 之间的等量关系.② 探讨线段BE 与CE 之间的位置关系.D四、倍长中线11、已知:ABC 中,AM 是中线.求证: AM (AB AC) .2、在ABC中, AB 5,AC 9,则BC边上的中线AD 的长的取值范围是什么?D 3、如图,ABC 中,AB<AC,AD是中线.求证:DAC< DAB.A5、已知△ ABC ,∠B =∠C ,D ,E 分别是 AB 及 AC 延长线上的一点,且 BD =CE ,连接 DE 交底 BC 于 G ,求证 GD =GE .6、已知 AM 为 ABC 的中线, AMB , AMC 的平分线分别交 AB 于 E 、交 AC 于 F .求 证: BE CF EF .4、如图,已知在 ABC 中, AD 是 BC 边上的中线, AF EF ,求证: AC BE .E 是 AD 上一点,延长 BE 交 AC 于F ,B CA7、在 Rt ABC 中, A 90 ,点 D 为BC 的中点,点 E 、F 分别为 AB 、 AC 上的点,且 ED FD .以线段 BE 、 EF 、 FC 为边能否构成一个三角形?若能,该三角形是锐角三角 形、直角三角形或钝角三角形?9、在Rt ABC 中, F 是斜边 AB 的中点, D 、E 分别在边 CA 、CB 上,满足 DFE 90 .若 AD 3, BE 4,则线段 DE 的长度为.8、 如图 所 示, 在 ABC 中 , D 是 BC 的中 点 , 2 2 2 2 21 2 2BM2CN 2DM 2DN 2,求证AD 2 AB 2 AC2DM 垂 直 于 DN , 如 果CA五、中位线的应用1、AD是ABC的中线,F是AD的中点,BF的延长线交AC于E.求证: AE1AC.32、如图所示,在ABC中,AB AC,延长AB到D,使BD AB,E为AB的中点,连A 接CE 、CD ,求证CD 2EC .A3、已知△ ABC 中, AB =AC ,BD 为 AB 的延长线,且 BD =AB ,CE 为△ ABC 的AB 边上的中 线.求证 CD = 2CE点,求证: AE EB 且 AE BE .4、已知: ABCD 交 BD 于 N ,是凸四边形,且 5、在 ABC 中, ACB 90 ,AC <BD . E 、F 分别是 AD 、BC 的中点, G 点. 求证:∠ GMN >∠GNM . EF 交 AC 于 M ;1AC 21BC ,以 BC 为底作等腰直角BCD , E 是CD 的中DE6、如图,在五边形 ABCDE 中, ABC AED 90 , BAC EAD ,F 为CD 的中点.求 证BF EF .7、如图所示, P 是 ABC 内的一点, PAC PBC ,过 P 作 PM AC 于 M ,PL BC 于 L , D 为 AB 的中点,求证 DM DL .8、如图所示,在 ABC 中,D 为AB 的中点,分别延长 CA 、CB 到点 E 、F ,使DE DF .过 E 、F 分别作直线 CA 、CB 的垂线,相交于点 P ,设线段 PA 、PB 的中点分别为 M 、N .求证:E(1) DEM ≌ FDN ; (2) PAE PBF .9、如图,已知 AC BD , AD AC ,BC BD ,求证: AD BC .10、点 M ,N 在等边三角形 ABC 的 AB 边上运动, BD=DC ,∠BDC=120°,∠ MDN =60 求证 MN =MB+NC.CFAC 11、在△ ABC中,AB 3AC,BAC的平分线交BC于D,过B作BE AD,E为垂足,求证:AD DE .12、如图,在ABC中,AB BD AC,BAC的平分线AD交BC与D.求证:B 2 C .D13、如图,在等腰 ABC 中, AB AC , D 是BC 的中点,过 A 作AE DE , AF DF , 且 AE AF .求证: EDB FDC .14、如图,已知在 ABC 中, AD 是BC 边上的中线, E 是AD 上一点,且BE AC ,延长BE 交 AC 于 F , AF 与 EF 相等吗?为什么?15、如右下图,在 ABC 中,若 B 2 C ,AD BC ,E 为 BC 边的中点.求证: AB 2DE .DEF。