经对换1与4 得排列 53412
求这两个排列的逆序数. 解 t(5314 2) = 0+1+2+1+3=7
t(53412) = 0+1+1+3+3=8
练习
1. 选择 i 与 k 使 （1）2 5 i 1 k 成偶排列; （2）2 5 i 1 k 成奇排列.
2. a14a21a33a44和a12a43a31a24是否为四阶行列式中的项， 若是，指出应冠以的符号
例 1 排列 1 2 …… n 称为自然排列，它的逆序数为0 ，
所以是偶排列.
例 2 排列 3 2 5 1 4 的逆序数为
t (３２５１４) ＝０＋１＋０＋３＋１＝ 5
排列 3 2 5 1 4 为奇排列. 例 3 排列 n ( n −1 ) … 3 2 1 的逆序数为
nn 1
t ( n (n −1) … 3 2 1 ) = 0 + 1 + 2 + … + ( n − 1 ) =
2
§3 n 阶行列式的定义
三阶行列式定义为
aaa
11
12
13
aaa
21
22
23
aaa
31
32
33
a a a 11 22 33
123
a a a 12 23 31
231
a a a 13 21 32 312
a a a 11 23 32
132
a a a 12 21 33
213
a a a 13 22 31
a21 a22 ... a2n
an1 an2 ... ann
称为 n 阶行列式 , 规定为所有形如
(1)t( j1 j2jn ) a1 j1 a2 j2 ......anjn
项的代数和，其中 j1 j2 jn是 1，2，，n 的一个排列，
t( j1 j2 jn )是排列 j1 j2 jn 的逆序数. 即
a11 a12 ... a1n
(1) a21 a22 ... a2n
a a ...... a t( j1 j2 ...... jn )
1 j1 2 j2
nj n
an1 an2 ... ann
例 1 下三角行列式
a11 0 0 a21 a22 0 a11a22a33 a31 a32 a33
例2 下三角行列式
2 a a a a
11 22
12 21
记
aa
11
12
aa
21
22
称它为二阶行列式， 定义为
aa
11 12 a a a a
aa
11 22
12 21
21
22
于是，线性方组（1）的解可以写为
b 1
b x 2
1a 11 a 21
a 12
a , 22 a
12
a 22
ab
11
1
ab
x 21
2
2a a
11
证 先证相邻对换的情形. 设排列
a1 akabb1 bm ,
经对换 a 与 b ,得排列
那么
a1 akbab1 bm ,
t(a1 akbab1 bm ) t(a1 akabb1 bm ) 1
所以，经一次相邻对换，排列改变奇偶性.
再证一般对换的情形. 设排列
a1 akab1 bmbc1 cn
1
经对换 a 与 b排列，得排列
a11 0 ... 0
a21
a22 ...
0 a11a22 ann
an1 an2 ... ann
例 3 三阶行列式
1
2
123
3
例4 四阶行列式
1
2 3
1234
4
例5 n 阶行列式
2
1
n(n1)
(1) 2 12 n
n
§4 对换
对换 相邻对换
定理 1 一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性.
把 1, 2, ……, n 排成一列，称为一个 n 阶全排列.
三 阶排列 j1 j2 j3
共有3×2×1=3!个. n 阶排列共有 n!个. 在一个排列中如果一对数的前后位置与大小次序相反就说有
一个逆序. 排列的逆序数 一个排列中所有逆序的总数. 偶排列 逆序数为偶数的排列.
奇排列 逆序数为奇数的排列.
12
aa
21
22
类似的，我们还可以定义三阶行列式为
aaa
11
12
13
a a a a a a a a a a a a 21
22
23
11 22 33
12 23 31
13 21 32
aaa
31
32
33
a a a a a a a a a
11 23 32
12 21 33
13 22 31
§2 全排列及其逆序数
线性代数
同济六版 2007。09。05
一元一次方程 ax = b
一元二次方程 二元 、三元线性方程组
行列式 矩阵及其运算 矩阵的初等变换与线性方程组 向量组的线性相关性 矩阵的特征值和特征向量
第一章 行列式
§1 二阶与三阶行列式
一元一次方程 ax = b
当 a≠0 时， x a1b
321
t(123)=0 t(231)=2 t(312)=2
t(132)=1 t(213)=1 t(321)=3
a1 j1 a2 j2 a3 j3
(1) a a a t( j1 j2 j3 ) 1 j1 2 j2 3 j3
三阶行列式是 3 != 6 项 的代数和.
三阶行列式可以写成
aa a
11
12
a1 akbb1 bmac1 cn
2
事实上，排列（1）经过 2m + 1 次相邻对换变为排列（2）.
根据相邻对换的情形及 2m + 1 是奇数，所以这两个排列的奇偶 性相反.
定理 2 n 阶行列式也可以定义为
(1) D
a a a t ( p1 p2pn )
p1 1 p2 2
pnn
例 1 排列 53142
例 解二元线性方程组
2
x1 x1
3 x2 2 x2
22 10
得
7 x1 14
于是
x1 2
类似地，可得
于是 7 x2 42 x2 6
二元 （三元）线性方程组
2 1 32
消元法
线性方程组
aa1211
x 1
x 1
a x 12 2
a x 22 2
b 1
b 2
(1)
消去 x2 , 即用a22乘第一个方程的两边， a12乘第二个方程
13
(1) a a a
21
22
23
பைடு நூலகம்
a a a t ( j1 j2 j3 ) 1 j1 2 j2 3 j3
a a a 31
23
33
其中j1 j2 j3是1，2，3的一个排列, t( j1 j2 j3 )是排列 j1 j2 j3 的逆序数.
定义 由 n2 个数组成的数表，记成
a11 a12 ... a1n
的两边后,两式相加得
(a11a22 a21a12 ) x1 b1a22 a12b2
当a11a2 a21a12 0 时，得
ba a b
x1
a
1 22
a
12 2
a a
,
11 22
12 21
类似地，可得
ba a b
x1
a
1 22
a
12 2
a a
,
11 22
12 21
a b ba
x 11 2
. 1 21