第1章集合1.1 集合的基本概念1. 集合、元（元素）、有限集、无限集、空集2. 表示集合的方法：列举法、描述法3. 定义1.1.1（子集）：给定集合A和B，如果集合A的任何一个元都是集合B中的元，则称集合A包含于B或B包含A，记为A⊆B或B⊇A，并称A为B的一个子集。

如果集合A和B满足A⊆B，但B中有元不属于A，则称集合A真包含于B，记为A⊂B，并且称A为B的一个真子集。

4. 定义1.1.2（幂集）：给定集合A，以A的所有子集为元构成的一个集合，这个集合称为A 的幂集，记为 ρ(A)或 2A1.2 集合的运算定义1.2.1（并集）：设A和B是两个集合，则包含A和B的所有元，但不包含其他元的集合，称为A和B的并集，记为A∪B.定义1.2.2（交集）：A和B是两个集合，包含A和B的所有公共元，但不包含其他元的集合，称为A和B的交集，记为A∩B.定义1.2.3（不相交）：A和B是两个集合，如果它们满足A∩B=∅，则称集合A和B是不相交的。

定义1.2.4（差集）：A和B是两个集合，属于A而不属于B的所有元构成集合，称为A和B 的差集，记为A−B.定义1.2.5（补集）：若A是空间E的集合，则E中所有不属于A的元构成的集合称为A的补集，记为A′.定义1.2.6（对称差）：A和B是两个集合，则定义A和B的对称差A⊕B为A⊕B=(A−B)∪(B−A)1.3 包含排斥原理定理1.3.1设A1,A2为有限集，其元素个数分别为|A1|，|A2|则|A1∪A1|=|A1|+|A2|−|A1∩A2|定理1.3.2设A1,A2,A3为有限集，其元素个数分别为|A1|,|A2|,|A3|，则|A1∪A2∪A3|=|A1|+ |A2|+|A3|−|A1∩A2|−|A1∩A3|−|A2∩A3|+|A1∩A2∩A3|定理1.3.3设A1,A2,…,A n为有限集，则|A1∪A2∪…A n|=∑|A i| ni=1−∑|A i∩A j|1≤i<j≤n+∑|A i∩A j∩A k|1≤i<j<k≤n+⋯+(−1)n−1|A1∩A2∩…A n|重要例题P11 例1.3.1第2章二元关系2.1 关系定义2.1.1（序偶）：若 x 和 y 是两个元，将它们按前后顺序排列，记为〈x,y〉，则〈y,x〉成为一个序偶。

※对于序偶〈x,y〉和〈a,b〉，当且仅当x=a并且y=b时，才称〈x,y〉和〈a,b〉相等，记为〈x,y〉=〈a,b〉定义2.1.2（有序n元组）：若x1,x2,…,x n是个元，将它们按前后顺序排列，记为〈x1,x2,…,x n〉，则成为一个有序n元组（简称n元组）。

定义2.1.3（直接积）：A和B是两个集合，则所有序偶〈x,y〉的集合，称为和的直接积（或笛卡尔积），记为A×B.定义2.1.4（直接积）：设A1,A2,…,A n是n个集合，x i∈A i,i=1,2,…,n，则所有n元组〈x1,x2,…,x n〉的集合，称为A1,A2,…,A n的笛卡尔积（或直接积），记为A1×A2×…×A n.定义2.1.5（二元关系）若A和B是两个集合，则A×B的任何子集都定义了一个二元关系，称为A×B上的二元关系。

如果A=B，则称为A上的二元关系。

定义2.1.5（恒等关系）：设I x是X上的二元关系，I x={〈x,x〉|x∈X}，则称I x是X上的恒等关系。

定义2.1.7（定义域、值域）：若S是一个二元关系，则称D(S)={x|存在y,使〈x,y〉∈S}为S的定义域。

R(S)={y|存在x,使〈x,y〉∈S}为S的值域。

定义2.1.8（自反）：设 R 是集合上 X 的关系，若对于任何．．x∈X，都有 xRx 即〈x,x〉∈R则称R关系是自反的。

定义2.1.9（反自反）：设R 是集合上 X 的关系，若对于任何x∈X，都满足〈x,x〉∈R,即xRx对任何x∈X都不成立，则称关系R是反自反的。

定义2.1.10（对称）：设R 是集合上 X 的关系，若对于任何x,y∈X，只要xRy,就有yRx,那么称关系R是对称的。

定义2.1.11（反对称）：设R 是集合上 X 的关系，若对于任何x,y∈X，只要xRy并且yRx时,就有x=y，那么称关系R是对称的。

定义2.1.11（传递）设R 是集合上 X 的关系，若对于任何x,y∈X，只要xRy并且yRz时，就有xRz，则称关系R是传递的。

定理2.1.1设R 是集合上 X 的关系，若R是反自反的和传递的，则R是反对称的。

2.2 关系矩阵和关系图定义无定理无2.3 关系的运算定义2.3.1（连接）：设 R 为X×Y上的关系，S为Y×Z上的关系，则定义关系R∘S={〈x,z〉|存在y,使〈x,y〉∈R且〈y,z〉∈S}R∘S称为关系R和S的连接或复合，有时也记为R∙S.定义2.3.2（逆关系）：设 R 为X×Y上的关系，则定义R的逆关系为R−1为Y×X上的关系：R−1={〈y,x〉|〈y,x〉∈R}.定理2.3.1设R和S都是X×Y上的二元关系，则下列各式成立（1）(R−1)−1=R（2）(R∪S)−1=R−1∪S−1（3）(R∩S)−1=R−1∩S−1（4）(R′)−1=(R−1)′（5）(R−S)−1=R−1−S−1定理2.3.2设R为X×Y上的关系，S为Y×Z上的关系，则(R∘S)−1=S−1∘R−12.4 闭包运算定义2.4.1（自反闭包）： 设R 是集合X 上的二元关系，如果R 1是包含R 的最小自反关系，则称R 1是关系R 的自反闭包，记为r (R ).定义2.4.2（对称闭包）： 设R 是集合X 上的二元关系，如果R 1是包含R 的最小对称关系，则称R 1是关系R 的对称闭包，记为s (R ).定义2.4.3（传递闭包）： 设R 是集合X 上的二元关系，如果R 1是包含R 的最小传递关系，则称R 1是关系R 的传递闭包，记为t (R )或R +.定理2.4.1 设R 是集合X 上的二元关系，则（1） R 是自反的，当且仅当r (R )=R .（2） R 是对称的，当且仅当r (R )=R .（3） R 是传递的，当且仅当t (R )=R .定理2.4.2 设R 是集合X 上的二元关系，则r (R )=R ∪I x . “R ∪恒等关系” 定理2.4.3 设R 是集合X 上的二元关系，则s (R )=R ∪R −1. “R ∪逆关系”定理2.4.4 设R 是集合X 上的二元关系，则R +=R ∪R 2∪R 3∪…=⋃R i ∞i=1.“R ∪幂集” 定理2.4.5 设X 是一个n 元集，R 是X 上的二元关系，则存在一个正整数k ≤n ，使得 R +=R ∪R 2∪R 3∪…R k .2.5 等价关系和相容关系定义2.5.1（覆盖、划分）： S 是一个集合，A i ⊆S,i =1,2,…,n ,如果⋃A i n i=1=S ，则称a ={A 1,A 2,…,A n }是S 的一个覆盖。

如果⋃A i n i=1=S ，并且A i ∩A j (i,j =1,2,…,n,i ≠j )，则称a 是S 的一个划分，a 中的元称为S 的划分块。

定义2.5.2（等价关系）：设R 是X 上的一个关系，如果R 具有自反性、对称性和传递性三个性质，则称R 是一个等价关系。

设R 是等价关系，若xRy 成立，则称x 等价于y .定义2.5.3（等价类）：设R 是X 上的一个等价关系，则对任何x ∈X ，令[x]R ={y|y ∈X 且xRy}，称[x]R 为x 关于R 的等价类，简称为x 的等价类，[x]R 也可以简记为[x].定义2.5.4（同余）：对于整数a,b 和正整数m ,有关系式：a =mk 1+r 1(0≤r 1<m )b =mk 2+r 2(0≤r 2<m )如果r 1=r 2，则称a,b 对于模m 同余的，记作a ≡b (mod m )定义2.5.5（商集）：设R 是X 上的一个等价关系，由R 引出的等价类组成的集合{[x ]|x ∈X }称为集合X 上由关系R 产生的商集，记为X/R . “等价类的集合”定理2.5.1 若是 X 上的一个等价关系，则由R 可以产生唯一的一个对 X 的划分。

“商集” 定义2.5.6（相容关系）：设R 是X 上的一个关系，如果R 是自反的和对称的，则称R 是一个相容关系。

相容关系可以记为≈.所有的等价关系都是相容关系，但相容关系却不一定是等价关系。

定义2.5.7（最大相容块）：设X 是一个集合，≈是定义在X 上的相容关系。

如果A ⊆X , A 中的任何两个元都有关系≈，而x −A 的每一个元都不能和A 中所有元具有关系≈，则称A 是X 的一个最大相容块。

2.6 偏序关系定义2.6.1（偏序关系）：R 是定义在集合X 上的一个关系，如果它具有自反性、反对称性和传递性，则称R 是X 上的一个偏序关系，简称为一个偏序，记为≼.更一般地讲，若X 是一个集合，在X 上定义了一个偏序≼，则我们用符号 〈X,≼〉 来表示它，并称〈X,≼〉是一个偏序集。

定义2.6.2（全序/链）：〈X,≼〉是一个偏序集，对任何x,y∈X，如果x≼y或y≼x这两者中至少有一个必须成立，则称〈X,≼〉是一个全序集或链，而称≼是X上的一个全序或线性序。

定义2.6.3（盖住）：〈X,≼〉是一个偏序集，x,y∈X，若x≺y，并且不存在z∈X,使x≺z并且z≺y，则称y盖住x. “紧挨着”定义2.6.4（最小元、最大元）：〈X,≼〉是一个偏序集，如果X中存在有元y，对任何x∈X都满足y≼x，则称y是〈X,≼〉的最小元。

如果X中存在有元z，对任何x∈X都满足x≼z，则称z是〈X,≼〉的最大元。

定义2.6.5（极小元、极大元）：〈X,≼〉是一个偏序集，如果y∈X,而X中不存在元x，使x<y,则称y是〈X,≼〉的极小元。

如果z∈X,而X中不存在元x,使z<x,则称z是〈X,≼〉的极大元。

定义2.6.6（上界、下界、上确界、下确界）：〈X,≼〉是一个偏序集，A⊆X,x,y∈X,如果对于所有的a∈A,都有a≼x,则称x是A的一个上界。

如果对于所有的a∈A,都有y≼a,则称y是A的一个下界。

如果x是A的一个上界，对于A的任一上界z,都有x≼z,则称x是A的最小上界（上确界）. 如果y是A的一个上界，对于A的任一上界w,都有w≼y,则称y是A的最大下界（下确界）.定义2.6.5（良序集）：设〈X,≼〉是一个偏序集，对于偏序≼，如果X的每个非空子集都具有最小元，则称〈X,≼〉是一个良序集，而称≼是X上的一个良序。