第十二章 极限和导数第十四章 极限与导数一、基础知识 1．极限定义：（1）若数列{u n }满足，对任意给定的正数ε，总存在正数m ，当n>m 且n ∈N 时，恒有|u n -A|<ε成立（A 为常数），则称A 为数列u n 当n 趋向于无穷大时的极限，记为)(lim ),(lim x f x f x x -∞→+∞→，另外)(lim 0x f x x +→=A 表示x 大于x 0且趋向于x 0时f(x)极限为A ，称右极限。

类似地)(lim 0x f x x -→表示x 小于x 0且趋向于x 0时f(x)的左极限。

2 极限的四则运算：如果0lim x x →f(x)=a, 0lim x x →g(x)=b ，那么0lim x x →[f(x)±g(x)]=a ±b,lim x x →[f(x)•g(x)]=ab, 0limx x →).0()()(≠=b bax g x f 3.连续：如果函数f(x)在x=x 0处有定义，且0lim x x →f(x)存在，并且0lim x x →f(x)=f(x 0)，则称f(x)在x=x 0处连续。

4．最大值最小值定理：如果f(x)是闭区间[a,b]上的连续函数，那么f(x)在[a,b]上有最大值和最小值。

5．导数：若函数f(x)在x0附近有定义，当自变量x 在x 0处取得一个增量Δx 时（Δx 充分小），因变量y 也随之取得增量Δy(Δy=f(x 0+Δx)-f(x 0)).若xyx ∆∆→∆0lim存在，则称f(x)在x 0处可导，此极限值称为f(x)在点x 0处的导数（或变化率），记作'f (x 0)或0'x x y =或x dxdy ，即00)()(lim)('0x x x f x f x f x x --=→。

由定义知f(x)在点x 0连续是f(x)在x 0可导的必要条件。

若f(x)在区间I 上有定义，且在每一点可导，则称它在此敬意上可导。

导数的几何意义是：f(x)在点x 0处导数'f (x 0)等于曲线y=f(x)在点P(x 0,f(x 0))处切线的斜率。

6．几个常用函数的导数：（1）)'(c =0（c 为常数）；（2）1)'(-=a a ax x （a 为任意常数）；（3）;cos )'(sin x x =(4)x x sin )'(cos -=;(5)a a a x x ln )'(=;(6)x x e e =)'(;（7）)'(log x a x xa log 1=；（8）.1)'(ln xx =7．导数的运算法则：若u(x),v(x)在x 处可导，且u(x)≠0,则（1）)(')(')]'()([x v x u x v x u ±=±；（2）)(')()()(')]'()([x v x u x v x u x v x u +=；（3）)(')]'([x u c x cu ⋅=（c 为常数）；（4）)()(']')(1[2x u x u x u -=；（5）)()()(')(')(]')()([2x u x v x u x v x u x u x u -=。

8．复合函数求导法：设函数y=f(u),u=ϕ(x)，已知ϕ(x)在x 处可导，f(u)在对应的点u(u=ϕ(x))处可导，则复合函数y=f[ϕ(x)]在点x 处可导，且（f[ϕ(x)])'=)(')](['x x f ϕϕ.9.导数与函数的性质：（1）若f(x)在区间I 上可导，则f(x)在I 上连续；（2）若对一切x ∈(a,b)有0)('>x f ，则f(x)在(a,b)单调递增；（3）若对一切x ∈(a,b)有0)('<x f ，则f(x)在(a,b)单调递减。

10．极值的必要条件：若函数f(x)在x 0处可导，且在x 0处取得极值，则.0)('0=x f11.极值的第一充分条件：设f(x)在x0处连续，在x 0邻域(x 0-δ,x 0+δ)内可导，（1）若当x ∈(x-δ,x 0)时0)('≤x f ，当x ∈(x 0,x 0+δ)时0)('≥x f ，则f(x)在x 0处取得极小值；（2）若当x ∈(x 0-δ，x 0)时0)('≥x f ，当x ∈(x 0,x 0+δ)时0)('≤x f ，则f(x)在x 0处取得极大值。

12．极值的第二充分条件：设f(x)在x 0的某领域(x 0-δ,x 0+δ)内一阶可导，在x=x 0处二阶可导，且0)('',0)('00≠=x f x f 。

（1）若0)(''0>x f ，则f(x)在x 0处取得极小值；（2）若0)(''0<x f ，则f(x)在x 0处取得极大值。

13．罗尔中值定理：若函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)上可导，且f(a)=f(b)，则存在ξ∈(a,b)，使.0)('=ξf[证明] 若当x ∈(a,b)，f(x)≡f(a)，则对任意x ∈(a,b)，0)('=x f .若当x ∈(a,b)时，f(x)≠f(a)，因为f(x)在[a,b]上连续，所以f(x)在[a,b]上有最大值和最小值，必有一个不等于f(a)，不妨设最大值m>f(a)且f(c)=m ，则c ∈(a,b)，且f(c)为最大值，故0)('=c f ，综上得证。

14．Lagrange 中值定理：若f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)上可导，则存在ξ∈(a,b)，使.)()()('ab a f b f f --=ξ[证明] 令F(x)=f(x)-)()()(a x ab a f b f ---,则F(x)在[a,b]上连续，在(a,b)上可导，且F(a)=F(b)，所以由13知存在ξ∈(a,b)使)('ξF =0，即.)()()('ab a f b f f --=ξ15．曲线凸性的充分条件：设函数f(x)在开区间I 内具有二阶导数，（1）如果对任意x ∈I,0)(''>x f ,则曲线y=f(x)在I 内是下凸的；（2）如果对任意x ∈I,0)(''<x f ,则y=f(x)在I 内是上凸的。

通常称上凸函数为凸函数，下凸函数为凹函数。

16．琴生不等式：设α1,α2,…,αn ∈R +，α1+α2+…+αn =1。

（1）若f(x)是[a,b]上的凸函数，则x 1,x 2,…,x n ∈[a,b]有f(a 1x 1+a 2x 2+…+a n x n )≤a 1f(x 1)+a 2f(x 2)+…+a n f(x n ). 二、极限1、数列极限：（1）公式：lim n C C →∞=（C 为常数）；1lim 0p n n →∞=（p>0）；0 1lim 1 1 11n n q q q q q →∞⎧<⎪==⎨⎪>=-⎩不存在或.（2）运算法则：若数列{}n a 和{}n b 的极限都存在，则{}n a 和{}n b 的和、差、积、商的极限等于{}n a 和{}n b 的极限的和、差、积、商.例题：① 将直线1:10l x y +-=、2:0l nx y n +-=、3:0l x ny n +-=（*n N ∈，2n ≥）围成的三角形面积记为n S ，则lim n n S →∞= .② 已知p 和q 是两个不相等的正整数，且2q ≥，则111lim 111pq n n n ∞⎛⎫+- ⎪⎝⎭=⎛⎫+- ⎪⎝⎭→ ． 习题：① 135(21)lim(21)n n n n →∞++++-=+L .② 设0<a <b ，则4lim nn nn b a b →∞-=_ ____.③ 若(1)1lim 2n a n n a∞++=+→，则a = ．④n 等于 ．⑤ 数列2141n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭的前n 项和为S n ，则lim n n S →∞＝________. ⑥ 已知数列{}n a 的首项10a ≠，其前n 项的和为n S ，且112n n S S a +=+，则lim nn na S →∞= .2、函数极限：（1）公式：lim x C C →∞= （C 为常数）；1lim0p x n →∞= （p>0）； 0 1lim 1 111x x a a a a a →+∞⎧<⎪==⎨⎪>=-⎩不存在或；0 1lim 1 1 11x x a a a a a →-∞⎧>⎪==⎨⎪<=-⎩不存在或. （2）运算法则：若函数()f x 和)(x g 的极限都存在，则函数)(x f 和)(x g 的和、差、积、商的极限等于)(x f 和)(x g 的极限的和、差、积、商.习题：① 211lim______34x x x x →-=+-；2241lim()42x x x→--=-+ . ② 已知22lim 7x ax cx bx c →∞+=+，lim 5x bx ccx a→∞+=+，且0bc ≠，则22lim x ax bx c cx ax b →∞++=++ . ③ 222sin lim(tan )cos x xx xπ→-= . 3、函数的连续性：函数)(x f 在0x x =处连续的充要条件是00lim ()()x x f x f x →=.习题：① 已知函数2 3 ( 0 )() (0 )x x f x a x +≠⎧=⎨=⎩在x =0处连续，则a = .② 已知2 3 , 1() 2 , 1x x f x x +≠⎧=⎨=⎩，下面结论正确的是 （ ）（A ）()f x 在1x =处连续 （B ）(1)5f =（C ） 1lim ()2x f x -→= （D ） 1lim ()2x f x →= ③ 若21lim()111x a bx x →-=--，则常数b a ,的值分别为 .三、导数1、导数的概念：（1）导数的定义：函数()y f x =在0x x =处的导数/0000()()()limx f x x f x f x x∆→+∆-=∆.（2）导数的几何意义：曲线()y f x =上点00(,())x f x 处的切线的斜率为/0()f x .因此曲线()y f x =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为/000()()()y f x f x x x -=-.（3）导数的物理意义：若质点运动的位移函数为S =s (t ),则0t t =时质点运动的瞬时速度是0'()s t . 例题：① 若000(2)()lim 13x f x x f x x∆→+∆-=∆，则0'()f x 等于 .② 若曲线12y x-=在点12(,)a a-处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则a = .③ 如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，记t 时刻五角星露出水面部分的图形面积为()()()00S t S =，则导函数()y S t '=的图像大致为④ 已知曲线314()33f x x =+. (1) 求曲线在点(2,4)P 处的切线方程； (2) 求曲线过点(2,4)P 的切线方程. ⑤ 求抛物线2y x =-上的点到直线4380x y +-=距离的最小值.习题：① 若000()()lim1x f x x f x x∆→-∆-=∆，则0'()f x 等于 .② 运动曲线方程为2212t S t t-=+，则t=3时的速度是 .③ 已知函数y =f (x ),y =g (x )的导函数的图象如下图，那么y =f (x ),y =g (x )的图象可能是④ 曲线221xy x =+在点（1，1）处的切线方程是 . ⑤ 已知点P 在曲线y=41x e +上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是 .2、导数的运算：（1）常见函数的导数：'0C =；1()'n n x nx -=；(sin )'cos x x =；(cos )'sin x x =-. 1(ln )'x x =；1(log )'log a a x e x=；()'x x e e =；()'ln x xa a a =. （2）导数的四则运算法则： '''[()()]()()u x v x u x v x ±=±；[()()]'()()()'()u x v x u x v x u x v x '=+, [()]'()C u x C u x '⋅=⋅；'2()'()()()'()(()0)()()u x u x v x u x v x v x v x v x ⎡⎤-=≠⎢⎥⎣⎦.（3）复合函数的求导法则：首先，选定中间变量，分解复合关系，说明函数关系y =f (μ)，μ=f (x )；然后将已知函数对中间变量求导(')y μ，中间变量对自变量求导)'(x μ；最后求''x y μμ⋅，并将中间变量代回为自变量的函数习题：① 若42()f x ax bx c =++满足(1)2f '=，则(1)f '-= .② 等比数列{}n a 中，12a =，84a =，()128()()()f x x x a x a x a =---L ，则()0f '= . ③ 求下列函数的导数：（1）y =(1)x > （2）4y = 3、导数的应用：（1）求函数的单调性：用导数求函数单调区间的一般步骤为：求()f x '；()f x '>0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；()f x '<0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间.例题：① 函数2()xf x x e -=的单调递增区间为 . ② 已知函数2()ln(1)(0)2k f x x x x k =+-+≥，求f (x )的单调区间. ③ 若函数3211()(1)132f x x ax a x =-+-+在区间（1，4）内为减函数，在区间（6，+∞）上为增函数，试求实数a 的取值范围.④已知函数42()32(31)4f x ax a x x =-++在()1,1-上是增函数，求a 的取值范围. 习题：① 函数32()15336f x x x x =--+的单调减区间为 . ② 若3()f x ax x =+恰有三个单调区间，则a 的取值范围是 .③ 已知a >0，函数f （x ）=x 3－ax 在［1，+∞）上是单调增函数，则a 的最大值是 .④ 求函数3211()(1)32f x x a x ax b =-+++（,R a b ∈）的单调性. ⑤ 是否存在这样的k 值，使函数243221()232f x k x x kx x =--++在（1，2）上递减，在（2，+∞）上递增（2）求函数的极值：求导数()f x '；求方程()f x '=0的根；用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查()f x '在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么()f x 在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么()f x 在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则()f x 在这个根处无极值.例题：① 已知函数f （x ）=ax 3+bx 2－3x 在x =±1处取得极值，求f （x ）的极大值和极小值. ② 函数f （x ）=x 3－6bx +3b 在（0，1）内有极小值，则b 的取值范围为 . ③ 已知函数321()(2)13f x ax bx b x =-+-+在1x x =处取得极大值，在2x x =处取得极小值，且12012x x <<<<．（1）证明0a >；（2）若z =a +2b ,求z 的取值范围.习题：① 已知函数()f x =x 3+ax 2+bx +a 2在x =1处有极值为10，则(2)f =______② 设a 为实数，函数32()f x x x x a =--+，求()f x 的极值. ③ 设函数()sin cos 1f x x x x =-++，02x π<<，求函数()f x 的极值.（3）求函数的最值：利用导数求函数的最值步骤:求()f x 在(,)a b 内的极值；将()f x 的各极值与)(a f 、)(b f 比较得出函数()f x 在[],a b 上的最值.例题：① 函数32()32f x x x =-+在区间[]1,1-上的最大值是 .② 求抛物线212y x =上与点)0,6(A 距离最近的点. ③ 设函数321()(1)4243f x x a x ax a =-+++，其中常数1a >.（1）讨论()f x 的单调性；（2）若当0x ≥时，()0f x >恒成立，求a 的取值范围.。