高考数学压轴题：导数与不等式恒成立不等式恒成立问题一直是高考命题的热点，把函数问题、导数问题和不等式恒成立问题交汇命制压轴题成为一个新的热点命题方向．由不等式恒成立确定参数范围问题，常见处理方法有：① 分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）；② 数形结合(()y f x =图象在()y g x = 上方即可)；③ 最值法：讨论最值()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立；④ 讨论参数.在诸多方法中，构造函数并利用导数研究函数的单调性、最值等，是必须要考虑的解题门径.本专题举例说明《用好导数，“三招”破解不等式恒成立问题》. 类型一 构造函数求最值【例1】已知函数()ln xf x ae x x =-，其中a R ∈，e 是自然对数的底数.（1）若()f x 是()0,∞+上的增函数，求实数a 的取值范围； （2）若22a e >，证明：()0f x >. 【分析】（1）由()f x 是()0,∞+上的增函数等价于()0f x '≥恒成立，得1ln xxa e +≥，求()()1ln 0xxg x x e+=>的最大值，即可得到本题答案； （2）由()e 0ln 0x a f x x x >⇔->，证明当22a e ≥时，()()e ln 0xa F x x x x=->的最小值大于0，即可得到本题答案.【解析】（1）()()1ln x f x ae x '=-+，()f x 是()0,∞+上的增函数等价于()0f x '≥恒成立.令()0f x '≥，得1ln x x a e +≥，令()()1ln 0xxg x x e+=>.以下只需求()g x 的最大值. 求导得()11ln xg x ex x -⎛⎫'=-- ⎪⎝⎭，令()11ln h x x x =--，()2110h x x x '=--<， ()h x 是()0,∞+上的减函数，又()10h =，故1是()h x 的唯一零点，当()0,1x ∈，()0h x >，()0g x '>，()g x 递增； 当()1,x ∈+∞，()0h x <，()0g x '<，()g x 递减；故当1x =时，()g x 取得极大值且为最大值()11g e=，所以1a e ≥.（2）()e 0ln 0x a f x x x >⇔->，令()()e ln 0xa F x x x x=->，以下证明当22a e ≥时，()F x 的最小值大于0. 求导得()()()221e 111e x xa x F x a x x x x x -'⎡⎤=-=--⎣⎦. ①当01x <≤时，()0F x '<，()()10F x F ae ≥=>； ②当1x >时，()()()211x a x x F x e x a x ⎡⎤-'=-⎢⎥-⎣⎦，令()()1xx G x e a x =--. 则()()2101x G x e a x '=+>-，又()222220ae G e a a-=-=≥，取()1,2m ∈且使()21m e a m >-，即2211ae m ae <<-，则()()2201m mG m e e e a m =-<-=-，因为()()20G m G <，故()G x 存在唯一零点()01,2x ∈，即()F x 有唯一的极值点且为极小值点()01,2x ∈，又()0000ln x ae F x x x =-，且()()000001x x G x e a x =-=-，即()0001x x e a x =-，故()0001ln 1F x x x =--，因为()()0201101F x x x '=--<-，故()0F x 是()1,2上的减函数.所以()()021ln 20F x F >=->，所以()0F x >. 综上，当22a e ≥时，总有()0f x >.1.首先要明确导函数对原函数的作用：即导函数的符号决定原函数的单调性.如果所构造的函数，其导数结构比较复杂不易分析出单调性，则可把需要判断符号的式子拿出来构造一个新函数，再想办法解决其符号.2.在考虑函数最值时，除了依靠单调性，也可根据最值点的出处，即“只有边界点与极值点才是最值点的候选点”，所以有的讨论点就集中在“极值点”是否落在定义域内.例题：已知定义在()0,∞+上的函数()()2ln 11ax f x x x x=--++.（1）讨论()f x 的单调区间（2）当223ln ,ln 443e e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，存在0M >，使得对任意()0,x M ∈均有()0f x <，求实数M 的最大值.【解析】（1）()()()()21211a x a x f x x ---⎡⎤⎣⎦'=+， ①12a ≤时，()0f x '>，()f x 在()0,∞+上单调递增； ②112a <<时，令()0f x '>得211a x a ->-，故增区间为21,1a a -⎛⎫+∞⎪-⎝⎭， 令()0f x '>得2101a x a -<<-，故减区间为210,1a a -⎛⎫⎪-⎝⎭；③1a ≥时，()0f x '<，则()f x 在()0,∞+上单调递减.（2）易知2231ln ,ln ,14432e e ⎛⎫⎛⎫⊂ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由（1）知：()f x 在210,1a a -⎛⎫ ⎪-⎝⎭上单调递减，在21,1a a -⎛⎫+∞ ⎪-⎝⎭上单调递增，则()21001a f f a -⎛⎫<= ⎪-⎝⎭， 又()244322ln 32ln ln 303343e f a =-->-⨯-=，故存在021,21a x a -⎛⎫∈⎪-⎝⎭，使得()00f x =，且当()00,x x ∈时()0f x <恒成立， 故0M x ≤. 由()00f x =可得()00020011ln 1x x a x x x ++=-+， 设()()211ln 1x x g x x x x++=-+（0x >）， 则()()()32ln 12x x x g x x ++-'=，令()()()2ln 12h x x x x =++-（0x >）， 则()()2ln 121x h x x x +'=++-+， ()()201xh x x ''=>+，则()h x '在()0,∞+上单调递增，故()()00h x h ''>=， 则()h x 在()0,∞+上单调递增，故()()00h x h >=， 则()0g x '>，()g x 在()0,∞+上单调递增， 又()0a g x =，()21ln 4e g =，()332ln 43e g =，故()()()012g g x g <<，则012x <<，又0M x ≤，故1M ≤，即M 的最大值为1. 类型二 参变分离求最值【例2】已知函数2()1xf x be x =--的图象在点0x =处的切线为y x a =+.（1）求+a b 的值；（2）若()0f x kx ->对任意的0x >恒成立，求实数k 的取值范围.【分析】（1）先求导函数，再结合函数()f x 的图象在点0x =处的切线为y x a =+，则0e 01k b =-=，再求解即可；（2）原不等式可转化为2e 1x x k x --<(0x >)恒成立，再设2e 1()x x g x x--=(0x >)，然后利用导数求函数()g x 的最小值即可. 【解析】（1）由已知可得()e 2xf x b x '=-.函数2()1xf x be x =--的图象在点0x =处的切线的斜率0e 01k b =-=， 所以1b =.所以切点坐标为(0,0)，代入切线方程y x a =+，可得0a =. 所以1a b +=.（2）由（1）知2()1x f x e x =--.所以()0f x kx ->对任意的0x >恒成立，即210x e x kx --->(0x >)恒成立，即2e 1x x k x--<(0x >)恒成立.令2e 1()x x g x x--=(0x >)，所以min ()k g x <即可.222e e 1e (1)(1)(1)()x x x x x x x x g x x x --+---+'==()2(1)e 1xx x x---=. 设()e 1xh x x =--(0x >)， 则()e 10xh x '=->，所以()h x '在(0,)+∞上单调递增. 所以当0x >时，()h x 单调递增， 所以0()(0)e 010h x h >=--=.所以在(0,1)上()0g x '<，在(1,)+∞上()0g x '>. 所以()g x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增. 所以当1x =时，()g x 取得最小值(1)e 2g =-， 所以2k e <-.所以实数k 的取值范围为(,2)e -∞-.1、参变分离：顾名思义，就是在不等式中含有两个字母时（一个视为变量，另一个视为参数），可利用不等式的等价变形让两个字母分居不等号的两侧，即不等号的每一侧都是只含有一个字母的表达式.然后可利用其中一个变量的范围求出另一变量的范围，转化为求函数的最值问题.2、如何确定变量与参数：一般情况下，那个字母的范围已知，就将其视为变量，构造关于它的函数，另一个字母（一般为所求）视为参数.3、参变分离法的适用范围：判断恒成立问题是否可以采用参变分离法，可遵循以下两点原则：（1）已知不等式中两个字母是否便于进行分离，如果仅通过几步简单变换即可达到分离目的，则参变分离法可行.但有些不等式中由于两个字母的关系过于“紧密”，会出现无法分离的情形，此时要考虑其他方法.例如：()21log a x x -<，111axx e x-+>-等 （2）要看参变分离后，已知变量的函数解析式是否便于求出最值（或临界值），若解析式过于复杂而无法求出最值（或临界值），则也无法用参变分离法解决问题.例题：已知函数()ln f x mx nx x =+，()f x '是()f x 的导函数，且()12f '=，10f e ⎛⎫= ⎪⎝⎭. （1）求()f x 的解析式，并判断()f x 零点的个数；（2）若*k N ∈，且()()2f x k x >-对任意的2x >恒成立，求k 的最大值.（参考数据：ln 20.69≈，ln3 1.10≈）【解析】（1）因为()ln f x mx nx x =+， 所以()()ln 1f x m n x '=++. 因为()12f '=，10f e ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以()12f m n '=+=，10m n f e e e⎛⎫=-= ⎪⎝⎭. 解得1m n ==，故()f x x Inx =+()2f x Inx '=+，令()0f x '=，解得2x e -=故当()20,x e -∈函数单调递减；当()2,x e-∈+∞函数单调递增；又()20f e-<，()10f >，故函数在()2,e-+∞存在一个零点；当2x e -<时，2Inx <-，故220x Inx e -+<-<， 故函数在区间()20,e-上不存在零点；综上所述：函数只有1个零点.（2）因为2x >，所以()()2f x k x >-等价于()ln 22f x x x xk x x +<=--. 设()ln 2x x xg x x +=-，则()()22ln 42x x g x x --'=-.令()2ln 4h x x x =--， 则()221x h x x x-'=-=，故()h x 在()2,+∞上单调递增. 因为()842ln846ln 20h =-=-<，()954ln30h =->， 所以存在()08,9x ∈，使得()00h x =， 即0042ln x x =-，则()g x 在()02,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，故()()00000000004ln 2222x x x x x x x g x g x x x -+⋅+≥===--. 因为()()2f x k x >-对任意的2x >恒成立，所以02x k <. 因为()08,9x ∈，且*k N ∈， 所以k 的最大值是4.类型三 讨论参数定范围【例3】已知函数()22ln f x a x x ax =-+.（1）若1a =-时，求()f x 的极值； （2）若()0f x <，求a 的取值范围.【分析】（1）将1a =-代入函数()y f x =的解析式，利用导数可求出函数()y f x =的极值；（2）由题意可得出()max 0f x <，分0a >、0a =、0a <三种情况讨论，利用导数分析函数()y f x =在定义域上的单调性，求出函数()y f x =的最大值，然后解不等式()max 0f x <，综合可得出实数a 的取值范围.【解析】（1）当1a =-时，()2ln f x x x x =--，则()212121x x f x x x x--+=-='-.令()0f x '=，即2210x x x--+=，得2210x x +-=，解得12x =.当102x <<时，()0f x '>，当12x >时，()0f x '<. 所以，函数()y f x =有极大值113ln 224f ⎛⎫=-⎪⎝⎭，无极小值； （2）因为()0f x <恒成立，所以()max 0f x <，()()()222222x a x a a x ax a f x x a x x x+-+-++='=-+=. ①当0a >时，令()0f x '=，则x a =，当0x a <<时，()0f x '>，此时，函数()y f x =单调递增；当x a >时，()0f x '<，此时，函数()y f x =单调递减.()()2222max ln ln 0f x f a a a a a a a ∴==-+=<，01a ∴<<；②当0a =时，()20f x x =-<，成立；③当0a <时，令()0f x '=，则2a x =-， 当02ax <<-时，()0f x '>，此时，函数()y f x =单调递增； 当2ax >-时，()0f x '<，此时，函数()y f x =单调递减. ()22222max3ln ln 0224224a a a a a f x f a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-=---=--< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即3ln 24a ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，得3402ae <-<，解得3420e a -<<.综上所述，实数a 的取值范围为342,1e ⎛⎫- ⎪⎝⎭.本题（2）只要通过分类讨论研究清楚函数的单调性，即可求出)(x f 的最大值，让最大值小于0即可求出a 的范围例题：已知函数21()12xf x e ax x =---，a 为实数. （1）当1a =时，讨论()f x 的零点个数；（2）若0x ≥，都有()0f x ≥，求实数a 的取值范围.【解析】（1）()xf x e a x '=--，当1a =时，()1xf x e x '=--，令xy e =，则e xy '=，所以函数xy e =在()0,1处的切线方程为1(0)y x -=-，即1y x =+，所以1x e x ≥+，即()0f x '≥，故()f x 在R 上单调递增，即()f x 有一个零点； （2）()1xf x e ''=-，当0x ≥时，()0f x ''≥，即()f x '在[)0,+∞上是增函数，()()01f x f a ''≥=-，当1a ≤时，()0f x '≥，()f x 在[)0,+∞上是增函数， 故有()()0f x f ≥，即()0f x ≥；当1a >时，0(0,)x ∃∈+∞，使得()00f x '=，当()00,x x ∈时，()0f x '<，()f x 在()00,x 上是减函数； 当()0,x x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 在()0,x +∞上是增函数， 故有()0(0)0f x f <=与()0f x ≥相矛盾， 综上，1a ≤. 练习1．已知函数()()2ln f x ax x x x a R =+-∈.(1)若0a =，讨论函数的单调性；(2)若函数()f x 满足()12f =，且在定义域内()22f x bx x ≥+恒成立，求实数b 的取值范围.【解析】(1)0a =，()ln f x x x x =-，()'ln f x x =-，()'0f x =，1x =，()0,1x ∈，()'0f x >，()f x 在0,1上是增函数， ()1,x ∈+∞，()'0f x <，()f x 在1,上是减函数.(2) 由题意()12f =，1a =，∴()2ln f x x x x x =+-， 则()22f x bx x ≥+，即1ln 1xb x x --≥，令()1ln 1x g x x x=--， ()2ln 'xg x x =，故()g x 在(]0,1上递减，在1,上递增，∴()()min 10g x g ==，即0b ≤.2.已知函数()21ln 2f x a x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，()()()2g x f x ax a R =-∈ （1）当0a =时，求()f x 在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值；（2）若对()1,x ∀∈+∞，()0g x <恒成立，求a 的取值范围．【解析】（1）函数()21ln 2f x a x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的定义域为()0,∞+，当0a =时，()21ln 2f x x x =-+，求导()()()2'1111x x x f x x x x x-+--+=-+==（x ＞0），令()'f x ＝0，得x ＝1，（负值舍去） ∴x ＞0，x 、()'fx ，f （x ）的变化如下：∴()f x 在区间1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数，在[]1,e 上为减函数，f （x ）最大值为()112f =-．又21112f e e ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，()212ef e =-，∵422121()02e f e e e e f --⎛⎫-=> ⎪⎝⎭，∴f （x ）最小值为()212e f e =-.∴()()2min 12e f x f e ==-，()()max 112f x f ==-.（2）函数()()2122ln 2g x f x ax a x ax x ⎛⎫=-=--+ ⎪⎝⎭，则()g x 的定义域为()0+∞，，()()()()()2121121211212x a x a x ax g x a x a x x x⎡⎤-----+⎣⎦=--+=='．①若12a >，令()0g x '=，得极值点11x =，2121x a =- 当211x x >=，即112a <<时，在()21,x 上有()0g x '<，在()2,x +∞上有()0g x '>，此时()g x 在区间()2,x +∞上是增函数，并且在该区间上有()()()2,g x g x ∈+∞，不合题意；当211x x ≤=，即1a ≥时，在()1,+∞上有()0g x '>，此时()g x 在区间()1,+∞上递增，有()()()1,g x g ∈+∞，也不合题意；②若12a ≤，则有210a -≤，此时在区间()1,+∞上恒有()0g x '<，从而()g x 在区间()1,+∞上是减函数；要使()0g x <在()1,+∞上恒成立，只须满足()111022g a a =--≤⇒≥-，由此求得a 的范围是11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． 综合①②可知，当11,22a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，对()()1,,0x g x ∀∈+∞<恒成立． 3．已知函数1()ln ,(,0),()(0)f x a x x a a g x x x x ⎛⎫=-∈≠=-+> ⎪⎝⎭R .（1）若函数()f x 与()g x 有相同的极值点（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值），求a 的值；（2）记()()()F x f x g x =-.①若在区间(0,]e （e 为自然对数底数）上至少存在一点0x ，使得0()0F x <成立，求a 的取值范围；【解析】（1）因为1()g x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，所以221(1)(1)()1x x g x x x '-+-=-=. 令()0g x '=，解得121,1x x ==-（舍去）.所以1x =为函数()g x 的极大值点.因为()ln f x a x x =-，所以()1a a x f x x x'-=-=. 令()0f x '=，解得x a =.所以x a =为函数()f x 的极大值点.因为函数()f x 与()g x 有相同的极值点，所以1a =. （2）①1()()()ln F x f x g x a x x=-=+. 先求()0F x 在(0,]e 上恒成立，即有ln 10ax x +. 令()ln 1,(0,]G x ax x x e =+∈，则()ln G x a x a '=+，令()0'=G x ，得1x e=. 若0a >，则当10x e<<时，()0,()g x g x '<单调递减； 当1x e e<<时，()0,()g x g x '>单调递减，所以min 1()()10ag x g e e ==-，得0a e <.若0a <时，同理得min ()()10g x g e ae ==+，得10a e-<. 综上，a 的取值范围为{1|a a e<-或}a e >； ②设切点0002011(,ln ),0,()ax x a x x F x x x'-+>=， 则切线方程为()00020011ln ax y x x a x x x -=-++，又切线过原点，则()000200110ln ax x a x x x -=-++，整理得02ln 0a x a x +-= 设2()ln ,0g x a x a x x=+->，题意即为，函数()g x 在(0,)+∞上有两个零点. 由于2222()a ax g x x x x '-=-=.（i ）当0a =时，2()0,()g x g x x=>无零点；（ii ）当0a <时，()0,()g x g x '<在(0,)+∞上递减，此时()g x 不可能存在两个零点，故不满足条件；（iii ）当0a >时，令2()0,g x x'==， 所以极小值()lng a a a=. 要使函数()g x 在(0,)+∞上有两个零点，则必须满足2()0g a<，所以2a >. 因为22(e)0,e ,()e g g x a =>>在2,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭连续且为增函数，所以()g x 在2,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭唯一零点. 因为222120,()2()()0aa a a a a g e a ee e a a a a ae e ---=-<=-+-=-+->，而()g x 在20,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭连续且为减函数，故()g x 在20,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭有唯一零点. 所以当2a >时，()g x 在(0,)+∞有两个零点，满足条件. 故所求a 的取值集合为{}|2a a >.4.已知函数()()434316x f x e x a =--+，1a <.（1）若函数()y f x =的图象在1x =处的切线与x 轴平行，求a 的值；（2）当0x ≥时，()0f x ≥恒成立，求a 的最小值.【解析】（1）()()3312x f x e x a ⎡⎤'=--⎣⎦依题意()()3311210f e a ⎡⎤'=--=⎣⎦故1a e =-； （2）解法一: ()()()()2212xx x f x e x a e e x a x a ⎡⎤'=-++-+-⎣⎦()22131224xx x e x a e x a e ⎡⎤⎛⎫=-++-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，显然2213024x x e x a e ⎛⎫+-+> ⎪⎝⎭，令()x g x e x a =-+，则()10x g x e '=-≥，所以()xg x e x a =-+在[)0,+∞单调递增，且()()01g x g a ≥=+，当10a +≥即11a -≤<时，()0f x '≥，()f x 在[)0,+∞单调递增，故()0f x ≥等价于()402030f a =-≥，此式已成立，从而11a -≤<满足条件，当10+<a 即1a <-时，由()xg x e x a =-+在[)0,+∞单调递增，()010g a =+<，()()()2220a g a e a e a a a e --=+≥-+=->，故()00,x a ∃∈-使得()0000xg x e x a =-+=，即00x ex a =-，令()0f x '≥，即()0g x ≥，得0x x ≥，又令()0f x '≤，即()0g x ≤，得00x x ≤≤，因此()f x 在0x x =处取得最小值，()()043004316x f x e x a =--+，又00ee x a =-，故()003404316x xf x e e =-+，设0x e t =，1t >，且()344316h t t t =-+，法一：()2312120h t t t '=-<，故()h t 在()1,+∞单调递减，由()()02h t h ≥=知2t ≤， 即00ln 2x <≤，00xa x e =-而()x P x x e =-在(]0,ln 2单调递减，所以00ln 221x x e-≤-<-，即ln 221a -≤<-；法二：()()()3223248h t t t t t =-----，由()00f x ≥知()0h t ≥，即12t <≤下同法一；综上可知ln 221a -≤<，因此a 的最小值为ln 22-；解法二：当0x ≥时，()0f x ≥恒成立，因求a 的最小值，不妨设0a <，则只研究1344163xea x ⎛⎫+≥- ⎪⎝⎭，设()()13441603xe M x x x ⎛⎫+=-≥ ⎪⎝⎭，下求()max M x ；()334341613xx e M x e -⎛⎫+'=- ⎪⎝⎭，由()0M x '≥，并记3x t e =，1t ≥， 即4322764768307240960t t t t ----≤，亦即()()328271524485120t t t t --++≤，故8t ≤，因此()M x 在[]0,ln 2单调递增，在[)ln 2,+∞单调递减，所以()()max ln 2ln 22M x M ==-，即ln 22a ≥-，因此a 的最小值为ln 22-. 5.已知函数()1ln f x x a x =-- . （1）若()0f x ≥ ，求a 的值；（2）设m 为整数，且对于任意正整数n 2111111222n m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++< ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，求m 的最小值. 【解析】6. 已知函数2()ln 3f x x ax x=++-. （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()0f x ≥，求a 的取值范围.【解析】（1）由题意，222122()(0)ax x f x a x x x x+-'=+-=>， 令2(2)ax h x x =+-，()0,x ∈+∞，①当0a ≠，且180a ∆=+≤，即18a ≤-时，()0≤h x ，所以()0f x '≤在(0,)+∞恒成立，故()f x 在(0,)+∞上单调递减；②当108a -<<时，>0∆，由()0h x =得12x a-±=当112x a ⎛⎛⎫--∈+∞⎪⎝⎭⎝⎭时，()0h x <，()0f x '<；当x ∈⎝⎭时，()0h x >，()0f x '>.故()f x 在⎛ ⎝⎭和⎫+∞⎪⎝⎭单调递减，在1122a a ⎛⎫-+-- ⎪⎝⎭单调递增；③当0a =时，由()0f x '=得2x =，当(0,2)x ∈时，()0f x '<；当(2,)x ∈+∞时，()0f x '>. 故()f x 在(0,2)单调递减，在(2,)+∞单调递增；④当0a >时，>0∆，由()0h x =得x =舍去）.当x ⎛∈ ⎝⎭时，()0h x <，()0f x '<；当x ⎫∈+∞⎪⎝⎭时，()0h x >，()0f x '>.故()f x在10,2a ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭单调递减，在12a ⎛⎫-++∞ ⎪⎝⎭单调递增.（2）因为(1)230f a =+-≥，所以1a ≥. 由（1）得min1()2f x f a ⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭，故只需102f a ⎛-≥ ⎝⎭，即可满足()0f x ≥.令012x a -=，则021ax =-整理得20020ax x +-=，即0021ax x =-， 所以()00000024ln 3ln 40f x x ax x x x =++-=+-≥， 设4()ln 4g x x x =+-，所以22144()x g x x x x-'=-=， 当(0,4)x ∈时，()0g x '<；当(4,)x ∈+∞时，()0g x '>. 故()g x 在(0,4)单调递减，在(4,)+∞单调递增.又(1)0g =，所以当(0,1)x ∈时，()0>g x ；当(1,4)x ∈时，()0<g x ，又0x =，因为1a ≥3，10-≠，所以(]0410,1x -+==，所以0()0g x ≥，即()00f x ≥，故()0f x ≥，又20021a x x =- 所以a 的取值范围是[)1,+∞.7. 已知函数()21sin f x x a x =+-，[]0,x π∈，a R ∈，()'f x 是函数()f x 的导函数.（1）当1a =时，证明：函数()f x 在区间[]0,π没有零点；（2）若()'sin 0f x a x a ++≤在[]0,x π∈上恒成立，求a 的取值范围.【解析】（1）证明：若1a =,则()21sin f x x x =+-,[]0,x π∈,又211x +≥,0sin 1x ≤≤,故0sin 1x ≥-≥-,所以21sin 0x x +-≥,又()01f=,224f ππ⎛⎫=⎪⎝⎭,()21f ππ=+, 当0,,22x πππ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时,1sin 0x -<-<,所以21sin 0x x +->恒成立,所以当1a =时,函数()f x 在区间[]0,π没有零点. （2）解:()'2cos f x x a x =-,[]0,x π∈,故2cos sin 0x a x a x a -++≤在[]0,x π∈上恒成立, 设()2cos sin x a x a g a x x =-++,[]0,x π∈, 所以()000g =≤,()220g a ππ=+≤,即a π≤-,因为()2sin cos 24'g a x x a x x π⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭,由a π≤-,得0a <,所以在区间0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭上()'g x 单调递减,所以()()2'0''24a g g x g π⎛⎫+=≥≥=+ ⎪⎝⎭；在区间,4ππ⎛⎫⎪⎝⎭上()'g x 单调递增()()2'''24g g x g a ππ⎛⎫+=≤≤=- ⎪⎝⎭,又a π≤-,所以()'020g a =+<,'204g π⎛⎫=+< ⎪⎝⎭,()'20g a π=->,故()'g x 在区间,4ππ⎛⎫⎪⎝⎭上存在唯一零点区间0x ,由()'g x 的单调性可知,在区间[]00,x 上()'0g x ≤,()g x 单调递减； 在区间(]0,x π上()'0g x ≥,()g x 单调递增,()()()()00g x g g x g π⎧≤=⎪⎨≤≤⎪⎩,故a π≤-. 8. 已知函数()11f x a x=+-（a ∈R ）. （1）若2a =，证明：当1x >时，()2ln x f x >；（2）若对于任意的0x >且1x ≠，都有()()2ln 1a f x x -⋅>，求a 的取值集合.【解析】（1）当2a =时，()121f x x=+-， 要证当1x >时，()2ln x f x >， 即证当1x >时，12ln 21x x +>- 令()12ln 1g x x x =+-， ()()()()()()222221221252111x x x x g x x x x x x x ---+'=-==--- 当12x <<时，()0g x '<，()g x 在()1,2内单调递减 当2x >时，()0g x '>，()g x 在()2,+∞内单调递增， 故()()min 22ln 21ln 41ln 12g x g e ==+=+>+=.证毕. (2)先分析端值，当0x +→时，ln x →-∞，111a a x +→-+-， 要使1ln 11a x x ⎛⎫+>⎪-⎝⎭，需有10a -+≤，即1a ≤； 当x →+∞时，ln x →+∞，11a a x +→-， 要使1ln 11a x x ⎛⎫+>⎪-⎝⎭，需有0a ≥； 故必须有01a ≤≤. 由()11111a x a x x -++=--知其分子恒正， 令()()1ln 11x x x a x ϕ-=--+，于是问题等价于当1x >时，()0x ϕ>； 当01x <<时，()0x ϕ<. 注意到()10ϕ=.()()()()22211'1a x a x x x ax a ϕ⎡⎤---⎣⎦=--⎡⎤⎣⎦①当0a =时()1'x x xϕ-=-， 此时当1x >时，()'0x ϕ<，()x ϕ在()1,+∞单调递减，于是()()10x ϕϕ<=，这不符合题意；②当0a ≠时，()'0x ϕ=，得2111x a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，21x =. （i ）当12a =时，12x x =，()'0x ϕ≥，()x ϕ在()0,∞+单调递增， 结合()10ϕ=可知符合题意；（ii ）当102a <<时，12x x >，此时当211,1x a ⎛⎫⎛⎫∈- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时()'0x ϕ<， 于是在()x ϕ在211,1a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭单调递减， 故在211,1a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭内()()10x ϕϕ<=，这不符合题意； （iii ）当12a >时，12x x <，此时当211,1x a ⎛⎫⎛⎫∈- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时()'0x ϕ<， 于是在()x ϕ在211,1a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭单调递减， 故在211,1a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭内()()10x ϕϕ>=，这不符合题意； 综上：符合题意的a 取值集合为12⎧⎫⎨⎬⎩⎭.9.已知()11x f x ae -=. （1）1a =时，求()f x 的单调区间和最值；（2）①若对于任意的()0,x ∈+∞，不等式()()212x f x -≥恒成立，求a 的取值范围；②求证：13ln 02x e x --+≥【解析】（1）当1a =时，()11x f x e -=-，则()1x f x e-='-， 易知()y f x ='单调递增，又()10f '=，当01x <<时，()0f x '<，当1x >时，()0f x '>. 所以，函数()y f x =的减区间为()0,1，增区间为()1,+∞，函数()y f x =的最小值为()10f =，无最大值；（2）①必要性：若0a <，则当x →+∞时，()f x →-∞，不合乎题意，所以，必有0a >.又()2221010a a f a a a+-≥⇒-+=≥，则[)1,a ∈+∞；充分性：易知()11x f x e -≥-.故只要证明()21112x x e ---≥在()0,x ∈+∞恒成立即可，即()211102x x e e --⎛⎫- ⎪+-≥ ⎪⎝⎭，令()()21112x x g x e e --⎛⎫- ⎪=+- ⎪⎝⎭，则())322132x g x x x x -⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭')))21112x -⎡=+⎢⎣， 则()y g x =在()0,1单调递减，在()1,+∞单调递增，则()()10g x g ≥=.故[)1,a ∈+∞，因此，实数a 的取值范围是[)1,+∞；②由①可知，要证13ln 02x e x --+≥，只需证()211ln 022x x --+≥， 先证明不等式1ln x x -≥，构造函数()1ln h x x x =--，0x >，()111x h x x x'-=-=，令()0h x '=，可得1x =. 当01x <<时，()0h x '<；当1x >时，()0h x '>.所以，函数()y h x =的减区间为()0,1，增区间为()1,+∞，()()10h x h ∴≥=， 所以，对任意的0x >，1ln x x -≥.()()()()22221121144ln 10222222x x x x x x x ----+∴-+≥--+==≥，故13ln 02x e x --+≥成立. 10.已知函数2()()2x a f x e x a R =-∈． （1）若函数()f x 有两个极值点1,x 2x ，求实数a 的取值范围；（2）若3()12a f x x ≥-+对任意[0,1]x ∈都恒成立，求证：a 的最大值大于8． 【解析】（1）由2()2x a f x e x =-可得()x f x e ax '=-， 函数()f x 有两个极值点等价于()0f x '=有两个不同的实数根， 也等价于xe a x= 有两个不同的实数根（0x =显然不是根） 令()x e F x x =，则2(1)()xx e F x x-'=， ()F x ∴在(,0)-∞单减，(0,1)上单减，(1,)+∞上单增；且0x <时，()0F x <，0x >时，()0F x >，()F x a ∴=有两解，需(1)a F e >=，即a e >，下证a e >是()F x a =有两解的必要条件：当a e >时，11a F ae a a ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，(1)F a <，101a <<， ()F x a ∴=在(0,1)上有且只有一个解， 又因为222()[(1)]aa e e F a a a F a e a a a ⎛⎫==⋅≥⋅=⋅> ⎪⎝⎭，(1)F a <. ()F x a ∴=在(1,)+∞上有且只有一个解，∴综上所述：a e >；（2）因为3()12a f x x ≥-+等价于： 23122x a a e x x -≥-+ 等价于()2312x a e x x -≥-对[0,1]x ∀∈恒成立， ①当0x =或1时，a R ∈满足；②当()0,1x ∈时，()2321x x x x -=-显然大于0， 故()2312x a e x x -≥-恒成立， 等价于()2321x e a x x -≥-恒成立，等价于()2321x min e a x x ⎛⎫- ⎪≥ ⎪-⎝⎭恒成立. 而欲证8max a > 即证()23218x min e x x ⎛⎫- ⎪> ⎪-⎝⎭即可.就是证：()2314x min e x x ⎛⎫- ⎪> ⎪-⎝⎭也就是证明： 23441x e x x >-+，对任意的()0,1x ∈恒成立. 先证：1x e x >+，(0,1)x ∈．令()1xv x e x =--，(0,1)x ∈．因为()10x v x e '=->，所以()v x 在(0,1)上单调递增，则有()(0)0v x v >=，1x e x ⇒>+，(0,1)x ∈．所以，要证23441x e x x >-+，(0,1)x ∈， 需证231441x x x +≥-+，(0,1)x ∈， 即证()32440,0,1x x x x -+≥∈恒成立 也就是证：()24410,0,1x x x -+≥∈恒成立 而()22441210x x x -+=-≥显然成立， 故()24410,0,1x x x -+≥∈恒成立 即()32440,0,1x x x x -+≥∈恒成立 23441x e x x >-+，对任意的()0,1x ∈恒成立. ()23218x min e x x ⎛⎫- ⎪> ⎪-⎝⎭成立故8max a >成立，即证.。