考物理复习二轮专题《求变力做功的几种方法》
一、知识讲解
功的计算在中学物理中占有十分重要的地位， 中学阶段所学的功的计算公式 W=FScosa
只能用于恒力做功情况， 对于变力做功的计算则没有一个固定公式可用， 当 F 为变力时， 用
动能定理 W= Ek 或功能关系求功，高中阶段往往考虑用这种方法求功。这种方法的依据是：
做功的过程就是能量转化的过程， 功是能的转化的量度。 如果知道某一过程中能量转化的数 值，那么也就知道了该过程中对应的功的数值。 下面是对这种方法的归纳与总结下面对变力
做功问题进行归纳总结如下：
1、等值法
等值法即若某一变力的功和某一恒力的功相等，则可以通过计算该恒力的功，求出该变力的功。 而恒力做功又可以用 W=FScosa计算，从而 使问题变得简单。
例 1、如图，定滑轮至滑块的高度为 h，已知细绳的拉力为 F（恒定），滑块沿水平面由 A 点前进 S 至 B
点，滑块在初、末位置时细绳与水平方向夹角
分别为α和β。求滑块由 A 点运动到 B 点过程中，绳的拉力对滑块所做的功。
分析与解：设绳对物体的拉力为T，显然人对
绳的拉力 F 等于 T。T 在对物体做功的过程中大小虽然不变，但其方向时刻在改变，因此该
问题是变力做功的问题。 但是在滑轮的质量以及滑轮与绳间的摩擦不计的情况下， 人对绳做
的功就等于绳的拉力对物体做的功。 而拉力 F 的大小和方向都不变， 所以 F 做的功可以用公
式 W=FScosa直接计算。 由图 1 可知，在绳与水平面的夹角由α变到β的过程中 , 拉力 F的作
用点的位移大小为：
S S1 h h
S2
sin
sin
WT WF F . S Fh ( 1 1 )
sin sin
2、微元法
当物体在变力的作用下作曲线运动时， 若力的方向与物体运动的切线方向之间的夹角
不变， 且力与位移的方向同步变化， 可用微元法将曲线分成无限个小元段， 每一小元段可认
为恒力做功，总功即为各个小元段做功的代数和。
例 2 、如图所示，某力 F=10N作用于半径 R=1m的转盘的边缘上，力 F 的大小保持不变，但方向始终保持与作用点的切线方向一
致，则转动一周这个力 F 做的总功应为：
A 、 0J B 、 20π J
C 、10J D 、20J.
分析与解：把圆周分成无限个小元段，每个小元段可认为
与力在同一直线上，故 W=F S，则转一周中各个小元段做功的代数和为 W=F× 2π R=10× 2
π J=20 π J，故 B 正确。
3、平均力法
如果力的方向不变， 力的大小对位移按线性规律变化时， 可用力的算术平均值 （恒力）代替变力，利用功的定义式求功。
例 3、一辆汽车质量为 105kg，从静止开始运动，其阻力为车重的 0.05 倍。其牵引力的大 小与车前进的距离变化关系为 3 是车所受的阻力。当车前进 100m时，牵引 F=10 x+f ，f
0 0
力做的功是多少？
分析与解：由于车的牵引力和位移的关系为 F=103x+f 0，是线性关系，故前进 100m过程
中的牵引力做的功可看作是平均牵引力 F 所做的功。由题意可知 f 0＝ 0.05 ×10 5× 10N＝ 5×
104N, 所以前进 100m过程中的平均牵引力 :
F 5 104 (100 103 5 104) N 1 105N
2
∴W＝ S＝ 1× 105× 100J＝ 1× 107 J。
4、用动能定理求变力做功
例 4、如图所示， AB 为 1/4 圆弧轨道，半径为 0.8m， BC是水平轨道，长 L=3m， BC处的摩擦系数为 1/15 ，今有质量 m=1kg 的物体，自 A 点从静止起下滑到 C 点刚好停止。求物体在轨道 AB段所受的阻力对物体做的功。
分析与解：物体在从 A 滑到 C的过程中，有重力、 AB
段的阻力、 AC段的摩擦力共三个力做功，重力做功
WG=mgR，水平面上摩擦力做功 Wf1 =- μ mgL，由于物体在
AB 段受的阻力是变力，做的功不能直接求。根据动能
定理可知： W外=0，
所以 mgR-umgL-WAB=0
即 WAB=mgR-umgL=6(J)
5、用机械能守恒定律求变力做功
如果物体只受重力和弹力作用， 或只有重力或弹力做功时，
求弹力这个变力做的功，可用机械能守恒定律来求解。
例 5、如图所示，质量 m=2kg的物体，从光滑斜面的顶端 A 点以
D 点与弹簧接触并将弹簧压缩到 B 点时的速度为零，已知从
满足机械能守恒定律。 如果
V0=5m/s 的初速度滑下，在
A 到 B 的竖直高度 h=5m，求
弹簧的弹力对物体所做的功。
分析与解：由于斜面光滑故机械能守恒，但弹簧的弹力是变力，弹力对物体做负功，弹
簧的弹性势能增加， 且弹力做的功的数值与弹性势能的增加量相等。 取 B 所在水平面为零参
考面，弹簧原长处 D 点为弹性势能的零参考点，则状态 2
A： EA= mgh+mV0 /2 对状态 B：E =－W +0
B 弹簧
由机械能守恒定律得： 2
W 弹簧 =－（ mgh+mv0 /2 ） =－ 125（ J）。
6、用功能原理求变力做功
例 6、两个底面积都是 S 的圆筒，放在同一水平面上，桶内装水，水面高度分别为 h1 和 h2，如图所示，已知水的密度为ρ。现把连接两桶的阀门打开，最后两桶水面高度相等，求
这过程中重力所做的功？
分析与解：由于水是不可压缩的，把连接两桶的阀门打开到两
桶水面高度相等的过程中， 利用等效法把左管高 h1h2 以上部分的 h1
2 h2
水等效地移至右管，如图中的斜线所示。最后用功能关系，重力所
做的功等于重力势能的减少量，选用 AB 所在的平面为零重力势能
平面，则画斜线部分从左管移之右管所减少的重力势能为： A B
E p1E p2 h1 h2 ) gS( h1 h2 ) h1 h2 ) h1 h2 ) 1h1 h2 ) 2 ( 4 ( 2 gS( 4 gS( h1 h 2 4
2
所以重力做的功 W= 1 2
gS(h1 h2 ) .
G 4
二、 课后检测
1、如图、利用定滑轮将物体匀速提升 h，若不计滑轮和绳重，不计摩擦，则拉力 F、拉力 F
所做的功 W 与夹角θ的关系是（ D）
A 、θ越大， F 越大， W 越大
B 、θ越小， F 越大， W 越大
C、F 与θ角无关
D、 W 与θ角无关
2、某个力 F=70N 作用于半径 R＝ 1m 的转盘边缘上．力 F 的大小保待不变．但方向在任何
时刻均与作用点的切线一致．则转动一周这个力 F 所做的总功为（ B ）
A． 0
B．20 J
C． 10J
D． 20J
3、以初速度 V 0 竖直向上抛出一质量为 m 的小球，上升的最大高度是 h， 如果空气阻力
的大小恒定 从抛出到落回出发点的整个过程中，空气阻力对小球做的功为（ D ）
f
A、 0
B、 -fh
C、 -2mgh
D． -2fh