若在测量过程中存在某种随时间呈线性变化 的系统误差，则可以通过对称观测法来消除。 它就是将测量以某一时刻为中心对称地安排， 取各对称点两次测定值的算术平均值作为测量 结果，即可达到消除线性变化的累进系统误差 的目的。
由于许多系统误差都随时间变化，而且 在短时间内可认为是线性变化。因此， 如果条件许可均宜采用对称观测法。
i 1
? ❖当测量次数 n 时，测量值的数
学期望等于被测量的真值。
分析： i xi X t
n
n
i xi nXt
i 1
i 1
根据随机误差的抵偿特性，当 n 时
n
i =0
i 1
即
n
n
xi
nX t
Xt
1 n
xi Ex
i 1
i 1
X t
1 n
n i 1
xi
Ex
所以，当测量次数 n 时，测量值的数学期望等于被测
实验数据处理
一、误差的基本概念
测量误差的定义
定义： 测量结果与其真值的差异
定性概念，定量表示
x x x0
真值： 被测量的客观真实值
Δx – 测量误差 x – 测量结果 x0 – 真值
理论真值：理论上存在、计算推导出来 如：三角形内角和180°
约定真值： 国际上公认的最高基准值
如：基准米 1m=1 650 763.73 λ (氪-86的能级跃迁在真空中的辐射波长)
精确度： ( 正确度) 性质： 系统误差和随机误差综合影响程度 表述： 不确定度 ( uncertainty ) 工程表示： 引用误差，最大允许误差相对于仪表测量范围的百分数 A max 0.1, 0.2, 0.5, 1.0, 1.5, 2.5, 5.0 七级
xmax xmin
测量精度
精度： 测量结果与真值吻合程度 定性概念
2 T
而 0 。1 0
2
可见，测得一个数据后，相隔t的半个周期再
测一个数据，取二者的平均值，即可消去周期
性系统误差。
3．在测量之后，通过对测定值进行数据处 理，检查是否存在尚未被注意到的变值系统误 差。
4．最后，要设法估计出未被消除而残留下来 的系统误差对最终测量结果的影响。
三、系统误差存在与否的检验
xi —— 测量列的测量值；
Xt —— 被测量的真值。
算术平均值
对被测量x进行等精度n次测量，得到n 个测量值x1，x2，x3，…，xn。则n个 测得值的算术平均值为：
n
X a
1 n
xi
i 1
数学期望
当测量次数n 时，样本平均值的极
限定义为测得值的数学期望。
lim E x
1 n
n
xi
n
的理论本身不完善而引起的误差。
2．在实际测量时，尽可能地采用有效的测量方 法，消除或减弱系统误差对测量结果的影响。
（1）对置法：消除恒值系统误差常用的方法。
这种方法的实质是交换某些测量条件，使得引 起恒值系统误差的原因以相反的方向影响测量结 果，从而中和其影响。
（2）对称观测法：消除线性变化的累进系统误 差最有效的方法。
(2) 系统误差( system error ) ：
特点：在多次重复等精度测量下,误差不变或误差的方向不变 性质：有规律，可再现，可以预测 原因：原理误差、方法误差、环境误差、使用误差 处理：理论分析、实验验证→ 修正
(3) 过失误差( abnormal error ) ：
性质：偶然出现，误差很大，异常数据，与有用数据混在一起 原因：装置误差、使用误差 处理：判断、剔除
系统误差的判断
1．理论分析法，可通过对测量方法的定性分析 发现测量方法或测量原理引入的系统误差。
2．校准和比对法：测量仪器定期进行校准或检 定并在检定书中给出修正值。
3．改变测量条件法：根据在不同的测量条件下 测得的数据进行比较，可能发现系统误差。
4．剩余误差观察法：根据测量数据列剩余误差 的大小及符号变化规律可判断有无系统误差及 误差类型，这种方法不能发现定值系统误差。
量的真值。
标准误差 （母体的标准偏差）
定义：各误差的平方和均值的平方根
标准误差：
n
2 i
i 1
n
标准误差也叫均方根误差
有限量测次数的标准偏差
即试样的测量值的标准偏差
测量值偏差：i xi X a 误差： i xi X t 测量次数有限时，二者不相等。
由测量中正负误差出现的概率相等可推出：
n
A 35.00cm B
34.9cm
A
C 0.35m D 0.350m
数值的修约规则
“4舍 6入 5凑偶”:
(1) 要舍弃的数字小于等于4时，舍去； (2) 要舍弃的数字大于等于6时，进1； (3) 要舍弃的数字刚好是5时，凑偶。
例：保留3位有效位数，则 9.825＝9.82，9.835=9.84， 9.8251＝9.83，9.8351=9.84，
例：光速C=30万公里每秒 不正确的写法：C=300000km/s；C=30km/s 正确的写法：C=3.0×105km/s=3.0×108m/s
例： 电子电量 e = 1.602189 ×10-19 C
刻度式仪表
5.737mm
5.500＋0.237
图中所示箭头所指处直尺读数，下列记 录正确的是（ ）
测
量
精
不精密（随机误差大） 准确（系统误差小）
度
举
例
不精密（随机误差大） 不准确（系统误差大）
精密（随机误差小）
不准确（系统误差大）
精密（随机误差小） 准确（系统误差小）
二、偶然误差分析
一、基本概念
测量列中的随机误差：
δi = xi－Xt
式中, δi —— 测量列的随机误差，
i = 1，2，3，…，n；
相对真值： 利用高一等级精度的仪器或装置的测量结果作为近似真值
标准仪器的测量标准差< 1/3 测量系统标准差 → 检定
测量误差的来源
(1) 原理误差： 测量原理和方法本身存在缺陷和偏差 近似：理论分析与实际情况差异 如：非线性 比较小时 可以近似为线性 假设：理论上成立、实际中不成立 如：误差因素互不相关 方法：测量方法存在错误或不足 如：采样频率低、测量基准错误
测量误差的性质与分类
(1) 偶然误差（随机误差）( random error )
性质：
正态分布
对称性 单峰性 有界性 抵偿性
原因：装置误差、环境误差、使用误差 处理：统计分析、计算处理→ 减小
绝对值相等的正负误差出现的次数相等
机当 误测 差量 算次 术数 平足 均够 值多 趋时 于， 0随
绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的次数多 偶然误差绝对值不会超过一定程度
i 1
2 i
n 1 n
n i 1
2 i
贝塞尔公式
则：
ˆ
n
2 i
i 1
n
n
2 i
i 1
n 1
n
(xi X a )2
i 1
n 1
算术平均值的标准偏差
由于算术平均值不是真值，仍具有偶然误差。 算术平均值的均方差与标准偏差的关系为：
~x
n
(xi X a )2 n(n 1)
由此可见:
~x 恒成立。
系统误差的分类
• 恒定系统误差 x • 变化系统误差 A
恒定系统误差
累进系统误差
x A
N(t) x A
N(t)
周期性系统误差
N(t)
系统误差的性质
1. 恒值系统误差的存在，只影响测量结果的准确 度，不影响测量的精密度参数。如果测定值子 样容量足够大，含有恒值系统误差的测定值仍 服从正态分布。
2. 变值系统误差的存在，不仅影响测量结果的准 确度，而且会影响测量的精密度参数。
的误差出现的概率大。 ②大小相等符号相反的误差出现的概率相
等。
σ =1
σ =2
③σ愈小，正态分布曲线愈尖锐，σ愈 大，正态分布曲线愈平缓。说明σ反映 了测量的精密度。
随机误差分布的性质
有界性：在一定的测量条件下，测量的随 机误差总是在一定的、相当窄的范围内变 动，绝对值很大的误差出现的概率接近于 零。
一般情况下，人们不能直接通过对等精度测 量数据的统计处理来判断恒值系统误差的存 在，除非改变恒值系统误差产生的测量条件； 但对于变值系统误差，有可能通过对等精度 测量数据的统计处理来判定变值系统误差的 存在。
在容量相当大的测量列中，如果存在着非 正态分布的变值系统误差，那么测定值的分 布将偏离正态，检验测定值分布的正态性， 将揭露出变值系统误差的存在。
系统误差处理的一般原则
1．在测量之前，应该尽可能预见到产生系统误 差的来源，设法消除之。或者使其影响减少到可 以接收的程度。
系统误差的来源一般可以归纳为以下几个方面：
✓由于测量设备、试验装置不完善，或安装、调整， 使用不得当而引起的误差。
✓ 由于外界环境因素的影响而引起的误差。 ✓ 由于测量方法不正确，或者测量方法所赖以存在
有效数字的运算规则
(1). 两数相加（减），其和（差）的有效位数的最后（即最右）一位 与两数中最后一位位数高者相同。如：
11.4+3.56 =15.0 ； 75-10.350 =65
十分位
十分位 个位
个位
(2). 两数相乘（除），其积（商）的有效位数与两数中有效位数少 者相同。如：
98 × 2003 =2.0×105 ； 2.000÷0.991=2.02
(2) 装置误差： 测量仪器、设备、装置导致的测量误差 机械：零件材料性能变化、配合间隙变化、传动比变化、蠕变、空程 电路：电源波动、元件老化、漂移、电气噪声