H1= H + 2 tanα ， H2 = H − 6 tanα, H = r − (r − h) cosβ 此时，可得到：
vhead1 = v' (H1), head
vhead2 ≈ v' (H2 ) head
4 问题二的建模与求解
4.1 油罐内油料体积的计算
4.1.2
中间圆筒部分体积的计算 由“问题一”中椭圆部分面积公式 可推出，半径为R 高为t 的弓形面积：
4 问题二的建模与求解
4.1 油罐内油料体积的计算
4.1.1 两侧球缺体积的计算 油面到罐底的最大垂直距离H = r − (r − h) cosβ 。 H1= H + 2 tanα ， H2 = H − 6 tanα 。
4 问题二的建模与求解
4.1 油罐内油料体积的计算
4.1.1 两侧球缺体积的计算 （1）当 H 1 ≤ 3, H 2 ≥ 0 时
4.2.3 参数估计的误差分析 （2）方法二：
令得到的罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度α和横向偏 转角度β ）之间的函数关系式中的α = 0,β = 0 ，得到无变位情况下，罐内储 油量与油位高度的关系，代入附件2 中显示油高数据组，得到对应的出油量 理论值。每隔20 个点取一个数据，将其与显示的油量体积作对比，如下表 所示：
4 问题二的建模与求解 4.1 油罐内油料体积的计算 4.1.2 中间圆筒部分体积的计算
（1）
4 问题二的建模与求解 4.1 油罐内油料体积的计算 4.1.2 中间圆筒部分体积的计算
（2）
4 问题二的建模与求解 4.1 油罐内油料体积的计算
4.1.2
中间圆筒部分体积的计算 （3）当 H 1 > 3时，此时 V m =中间部分总体积−上部空余
x = 0≤ x≤r ∫0 S ( x)dx , ' v head ( x) = 2r − x = v0 − ∫ S (2r − x)d (2r − x)， r ≤ x ≤ 2r 0
4 问题二的建模与求解
4.1 油罐内油料体积的计算
4.1.1 两侧球缺体积的计算 （1）当 H 1 ≤ 3, H 2 ≥ 0 时
4 问题二的建模与求解
4.1 油罐内油料体积的计算
4.1.1 两侧球缺体积的计算 （1）当 H 1 ≤ 3, H 2 ≥ 0 时
设高为x ，则h = r - x，于是:
1 S ( x) = (1 − r + x) 2 R − 1 − ( r − x) 2 + π [ R 2 − (r − x) 2 ] 2 R −1 − [ R 2 − (r − x) 2 ]arctg ( ) 2 2 R − 1 − (r − x)
i i i +1
i i i +1
min S (α , β ) = ∑ ( ∆Vi − ∆Vi
n i =1
* 2
)
4 问题二的建模与求解
4.2 利用最小二乘法对α 、β 的值进行估计
4.2.2 参数估计的算法 这里采用枚举法求α 、β 的值。α 、β的范围 均为0~90°。然后用C++编程计算三个变量的 具体数值。 为减少计算量，采用逐步细化的方法：先 在以上范围内以较大步长（α 、β步长为1°） 枚举α 、β 的值，计算出个参数的一个大概数 值，在该数值附近再次进行较精细的计算，如 此反复，直到达到参数所需要的精度为止。通 过该方法计算出α 、β 结果如下：
4 问题二的建模与求解
4.2 利用最小二乘法对α 、β 的值进行估计
4.2.3 参数估计的误差分析 （1）方法一：计算平均误差平方和：
1 2 S = n 以 及 S =
∑ (∆ V
n i =1
i
− ∆ Vi
*
)
2
1 n
∑ (∆ V
n i =1
i
− ∆ Vi
*
)
2
4 问题二的建模与求解
4.2 利用最小二乘法对α 、β 的值进行估计
4 问题二的建模与求解
4.1 油罐内油料体积的计算
4.1.1 两侧球缺体积的计算 （1）当 H 1 ≤ 3, H 2 ≥ 0 时
设球缺的体积为v0 , 1）当0 ≤ x ≤ r时，v
' head
= ∫ S ( x)dx
0
x
2）当r ≤ x ≤ 2r时，v
' head
= v0 − ∫
2r − x
0
S (2r − x)d (2r − x)
H1= H + 2 tanα ， H2 = H − 6 tanα, H = r − (r − h) cosβ 此时，可得到：
vhead1 ≈ v' (H1), head
vhead2 = 0
4 问题二的建模与求解
4.1 油罐内油料体积的计算
4.1.1 两侧球缺体积的计算 （3）当 H 1 ≥ 3
x = 0≤ x ≤r ∫0 S(x)dx, v' (x) = head 2r−x = v0 − ∫ S(2r − x)d(2r − x)， r ≤ x ≤ 2r 0
地平线 油位探针
油位探测装置
注 油 口
检 查 口
出油管
意图
3 问题二
油位探针 油位探针
油位探测装置
油
β
3m 地平线垂直线 （b）横向偏转倾斜后正截面图
（a）无偏转倾斜的正截面图 图3 储油罐截面示意图
4 问题二的建模与求解
4.1 油罐内油料体积的计算 4.1.1 两侧球缺体积的计算 油面到罐底的最大垂直距离H = r − (r − h) cosβ 。
储油罐的变位识别与灌容表标定
1. 问题一 为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用小椭圆型储 油罐（两端平头的椭圆柱体），分别对罐体无变位和倾斜角为 α=4.10的纵向变位两种情况做了实验，实验数据如附件1所示。 请建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体 变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。 1cm
x = 0≤ x ≤r ∫0 S(x)dx, v' (x) = head 2r−x = v0 − ∫ S(2r − x)d(2r − x)， r ≤ x ≤ 2r 0
H1= H + 2 tanα ， H2 = H − 6 tanα, H = r − (r − h) cosβ 此时，可得到：
4 问题二的建模与求解
4.2 利用最小二乘法对α 、β 的值进行估计
4.2.1 参数估计模型的建立 因为实际罐内油量初值未知，所以罐内储油 量的准确值是未知的。由附件2的检测数据可以 知道不同时刻的出油量 ∆Vi*，同时可以计算出 相应油位高度的改变量 ∆h = h − h ； 并由模型表达式计算得到实际储油量的改 变量V = F (α , β , h ) − F (α , β , h ) ，问题可归结为求解非 线性最小二乘问题：
横坐标为x的油面高度为：
(1) 0 ≤ h ≤ L 2tanα
2 问题一的建模与求解
2.2.1 模型的建立： (2)
2 问题一的建模与求解
2.2.1 模型的建立： (3)
设：
2 问题一的建模与求解
2.2.2 模型的验证：
将模型求得的数据与试验数据在同一坐标中作出V-h 曲线图：
设：
2 问题一的建模与求解
体，上部空余体积用（2）中公式计算。
4 问题二的建模与求解
4.2 利用最小二乘法对α 、β 的值进行估计
4.2.1 参数估计模型的建立 对“实际采集数据表”进行分析，每个采 集点记录了一个出油量 、显示的油高 、 显示的油量容积 ，其中 是储油罐无变位情 况下油高为 时对应的油料体积，与实际数据 不符，不能用来对α 、β 进行估计。
2 问题一的建模与求解
2.1 罐体无变位时的罐容表标定 2.1.2 模型求解与验证 为验证模型的正确性，现将计算结果与实验数据进行对比。取 表中所给一系列h 值，求出对应的剩余油量，即为计算值；同时， 将表中列出的剩余油量数据进行曲线拟合得到如下函数：
2 问题一的建模与求解
2.2 纵向变位倾斜角α = 4.1时的罐容表标定 2.2.1 模型的建立：
vhead1 ≈ v' (H1), head
vhead2 ≈ v' (H2 ) head
4 问题二的建模与求解
4.1 油罐内油料体积的计算
4.1.1 两侧球缺体积的计算 （2）当 H 1 ≤ 3, H 2 ≤ 0 时
x = 0≤ x ≤r ∫0 S(x)dx, v' (x) = head 2r−x = v0 − ∫ S(2r − x)d(2r − x)， r ≤ x ≤ 2r 0
1.78m
0.4m
2.05mcm (b) 小椭圆油罐截面示意图
(a) 小椭圆油罐正面示意图
图4 小椭圆型油罐形状及尺寸示意图
2 问题一的建模与求解
2.1 罐体无变位时的罐容表标定 2.1.1 罐体无变位时的罐容体积模型
2 问题一的建模与求解
2.1 罐体无变位时的罐容表标定 2.1.1 罐体无变位时的罐容体积模型
2.2.2 模型的验证：
除此以外，为研究罐体变位后对罐容表的影响，利用模型 所得数据，分别作出罐体变位前后的V-h 曲线进行对比，模型曲 线图如下：
3 问题二
对于下图所示的实际储油罐，试建立罐体变位后标定罐容表的数学 模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度α和横向偏转 角度β ）之间的一般关系。请利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测 数据（附件2），根据你们所建立的数学模型确定变位参数，并给出罐体 变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值。进一步利用附件2中的实际 检测数据来分析检验你们模型的正确性与方法的可靠性。