就一些经典的恒等变形题谈谈数学思维的5个境界肖老师电话1588632 qq490788061经典情境1命题原型1ab =求1111a b+++ 到三个情况例题设1abc =.试求111a b c ab a bc b ca c ++++++++的值. 分析：此题关键是abc=1这个条件难用对于代数式的题我们希望字母越少越好式子的结构越简单越好那么我们可以借鉴含参数方程的思路把c 看为未知数，ab 看为已知数c 看为未知数1c ab=代入要求的式子类似解方程组的代入消元法可以得到 原式=1111111a b ab ab a b b a ab ab ab++++++++ =1111a b ab ab a b a a ab ab ++++++++=1111a ab ab a ab a a ab ++++++++=1 分析2：借助分析1的思路虽然有点呆但是思路很自然。

通过代入消元法居然达到了通分的目的。

那么我们是不是可以巧妙的通分了。

答案是肯定的。

我们把第二个加数分子和分母同时乘以a ，第三个同时乘以ab 得到了1a ab abc ab a abc ab a caab abc ab++++++++把abc 在用1代入马上得到了原式=1111a ab ab a ab a a ab ++++++++=1 分析3用特殊值法很容易猜出答案是1，可是问题在如何证明。

观察结构分子是一次式，分母的次数不一致我们如果能使得分子和分母次数统一就好办了。

可以设,,x y z a b c y z x === 再代入1x xz yx y x xy yz xz y z y =++++同理另外两个加数分别为yz xy yz xz ++和xy xy yz xz++三个一加和为1第一个层面题目会做就是思路1方法朴实而自然。

思路2恒等变形极其巧妙。

思路3化齐次是典型的高手思维。

根据我多年的经验，遇到条件求值问题化齐次肯定是行册通的。

齐次式的本质相当于增加了一个条件，齐次式本身就是起到了消元的作用其中奥妙需要读者加以体会。

到了第二个境界一题多解。

才列举的三种解法的共性其实就是如何应用abc=1这个条件第一种方法思路最自然第三种方法最巧妙。

命题原型其实就是1ab =求1111a b+++ 当然两个的更容易。

如何加以推广呢？我们观察题目的字母循序。

把字母按字母顺序表顺时针写成一圈我们发现就是个轮换对称式，不管从哪个字母开始结果不变，任何2个字母交换次序结果也不变。

对于轮换对称式的处理我们要加以体会。

我们看3个字母的时候我们都是按加数两个，1个，常数顺时针排列的，分子都是第二个加数我调整称为第一个加数或 第三个加数都完全是对的。

立即就可以得到设1abc =求111111ab a bc b ca c ++++++++ 变式2求111ab bc ac ab a bc b ca c ++++++++ 变式3 求212121111ab a bc b ac c ab a bc b ca c +-+-+-++++++++ 对于3个可以写出这么多推广结论我们是否可以根据规律变得更一般呢？答案是肯定的。

1abcd =求11111111a ab abc b bc bcd c cd cda d da dab+++++++++++++++ 其实还可以按这个规律推广到5个甚至多个，有些解方程的题也可以以此为背景进行改造。

经典情境2 +0a b c +=求111111()()()a b c b c a c a b +++++分析1：如上题样把c 当未知数，ab 当已知数c=-a-b 代入消元再把分母相同的数配对马上可以解决问题，具体和上题的做法类似这里不重复。

分析2：去括号原题把分子相同的数放一起，我们真正计算为了方便必然是把分母相同的数放一起。

111111()()()a c a b b c a b c b c a c a b b c a++++++++=++此时条件恰到好处的用上了每组分子和分母互为相反数。

于是得到-1-1-1=-3分析3;观察三个加数结构括号都是少了1/a,1/b,1/c 我们配上去原式= 111111111()()()a b c b c a a c b a b c ++++++++-3= 111()()3a b c b c a++++-=-3 分析4：因为要求式子是齐次式。

我们可以设a=xc,z=yc 变为了已知x+y+1=0 求11x y x y y x x y +++++再把分母相同的数配对得到原式= 11()y x x y x y+++++又是很明显的3个-1相加得到-3小结：这四种共同应用了配对的思路。

第二和三种方法很巧也很有代表性第四种又是化齐次的高手思维。

在此基础上可以改变几个很典型的解方程的题和计算题解关于x 的方程3x a b x b c x c a c a b ++++++++=- 其中111()0a b c++≠ 提示每个加数加1分子就一致了很容易解出x=-a-b-c解关于x 的方程1112()x a x b x c bc ac ab a b c---++=++其中a ，b,c 为正 其实此题也是以情境2为命题背景的分析：第一组分母是bc 我们把第一个加数减去11b c +第二个减去11a c +第三个减去11a b+ 于是有111111()()()0x a x b x c bc b c ac a c ab a b-----+--+--= 于是有111()()x a b c ab bc ac ---++=0马上得到x=a+b+c 显然另外那个乘数大于0 在情境2的原型下可以改造出很多精彩的题目大家不妨欣赏下变式10a b c ++=求111111111()()()a b c b c a a c b a b c +-++-++- 变式26x a b c x b c a x c a b c a b--+--+--+++=（a,b,c 为正数） 变式3 已知0a b c d +++=求111111111()()()a b c b c d a c d a b d ++++++++111(+)d a b c++ 变式4 解关于x 的方程3+b x a x b x c x b c a c a a b c ---++=++++ 其中a,b,c 均为正数 变式5解关于x 的方程22x a b c x b c d x a c d x c d a x d a b a a b c d------------+++=++++ （a,bc,d 都是正数）经典模型3已知a b c k b c a c a b===+++求k 分析1：分别用k 乘以分母得到a=k(b+c) b=k(a+c) c=k(a+b)三个式子加起来得到 a+b+c=k(2a+2b+2c)很多同学马上就得到了k=1/2但这只是在a+b+c 不为0的时候才对为0的时候要代入原式得知a 与b+c 互为相反数商为-1所以应该是-1或1/2分析2：我们每个数都加上1分子一致了1a b c b a c c a b k b c a c a b++++++===++++ 当a+b+c 不为0的时候马上有a=b=c ，k=2当a+b+c=0的时候k+1=0，k=-1小结两个思路都是熟练字母的轮换对称的感觉都用了配对的思路变式1已知a+b+c=0求（a+b ）(b+c)(a+c)+abc变式2 a,b,c 均为正数解关于x 的方程+6x a b c x c a b x b c a c b a++-+-++-++=- 已知a 、b 、c 均为非零实数，满足c c b a b b a c a a c b -+=-+=-+.则abc a c c b b a ))()((+++的值为变式3333222222a b c b c a c a b a b b c a c +-+-+-==+++(abc ≠0)求()()()()()()a b b c a c a b c b c a c a b ++++-+-+- 主要要体会a+b,b+c,a+c 的配对变式4 a b c b c a ==求()()()()()()a b b c a c a b c b c a c a b ++++-+-+- 变式5：615325x y x y y x y x -==-求222245623x xy y x xy y-+-+ 分析观察条件和结论都是齐次式，常规思路要求出x ，y 但对于齐次式只要知道x 和y 的倍数关系就很容易了。

可以设x y=t 把条件的分子和分母都除以y 得到了1615325t t t t -==- 对连等式前2个和第一个和第三个分别交叉相乘2253t t -=，21845t t =-把第二个式子乘以2消去平方项得到t=3再代入得到x=3y 代入原式=4.5情境3属于等比定理型和齐次式综合题情境4 55432(31)x ax bx cx dx ex f +=+++++求a+b+c+d+e+f分析：观察结论只要把x=1代入马上能得到结果为1024推广题求-a+b-c+d-e+f 只要把x=-1代入马上就有了答案是-32变式1进一步推广可以问 a+c+e 以及b+d+f分析我们可以把a+c+e=m b+d+f=n m+n=1024 n-m=-32m=528 n=496这里通过赋值法和配对法化归为了和差问题变式2进一步改编求 b+d分析我们求出b+d+f=496关键如何求f 我们赋值法设何特殊值呢？当然设x=0这时候f=1所以b+d=495 通过配对的结构我们可以进一步融合平方差公式求变式3求22()()a e c b d f ++-++分析通过平方差就是相当于求（m+n ）(m-n)=1024乘以32=32768进一步进行深层次改变故意去掉f变式4求22()()a e c b d ++-+问题转化为平方差22()()a e c b d ++-+=(a+e+c+b+d)(a+e+c-b-d)=1023乘以33=33759 逐步把赋值法和平方差完美融合情境5求248(21)(21)(21)(21)+⨯+⨯+⨯+分析配个（2-1）结果不改变就是224816(21)(21)(21)(21)21-⨯+⨯++=-这里很巧妙的运用平方差这种2次方配比问题加以推广变式1 2486(71)(71)(71)(71)⨯+⨯+⨯+⨯+变式2 2481511111(1)(1)1+++22222+⨯+⨯⨯（）（1） 分析我们配一个2乘以（1-1/2） 原式=234815111111121-(1)(1)1+1+++2222222⨯+⨯+⨯⨯⨯（）（）（）（1）161511=2-+22⨯（1）=2 这样可以连续应用平方差解决此讲主要是要孩子们体会一个轮换对称式训练对字母的节奏感，另外就是通过一题多解，拓宽思路，训练数学思维的广度，再回头认识各解法的共性。