《信息安全数学基础》参考试卷
一．选择题(在每小题的备选答案中只有一个正确答案，将正确答案序号填入下列叙述中的括号内，多选不给分)：（每题2分，共20分）
1．576的欧拉函数值 (576) ＝ ( )。

(1) 96， (2) 192， (3) 64， (4) 288。

2．整数kn和k(n+2)的最大公因数(kn , k(n+2))=( )。

(1) 1或
2，
(2) kn ，
(3) n 或
kn ， (4) k 或2 k 。

3．模10的一个简化剩余系是 ( )。

(1) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10， (2) 11, 17, 19 , 27
(3) 11, 13, 17, 19， (4) 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9。

4．29模23的逆元是 ( )。

(1) 2， (2) 4，
(3) 6， (4) 11。

5．设 m1，m2是两个正整数，x1遍历模m1的完全剩余系，x2遍历模m2的完全剩余系，若( )遍历m1m2的完全剩余系。

(1) (m1，m2)=1，则m1x1＋m2x2 (2) m1和m2是素数，则m1x1＋m2x2
(3) (m1，m2)=1，则m2x1＋m1x2 (4) m1和m2是素数，则m2x1＋
m1x2
6．下面的集合和运算构成群的是 ( ) 。

(1) <N，＋> （N是自然数集，“＋”是加法运算）
(2) <R，×> （R是实数集，“×”是乘法运算）
(3) <Z，＋> （Z是整数集，“＋”是加法运算）
(4) <P（A），∩> （P(A)＝{U | U是A的子集}是集合A的幂集，“∩”是集合的交运算）
7．下列各组数对任意整数n均互素的是 ( ) 。

(1) 3n+2与2n，(2) n－1与n2＋n＋1，(3) 6n+2与7n， (4) 2n+1与4n+1。

8．一次同余式234x ≡ 30（mod 198）的解数是 ( )。

(1) 0， (2) 6，
(3) 9， (4) 18。

9．Fermat定理：设p是一个素数，则对任意整数a有 ( )。

(1) a (p)＝a (mod p)， (2) a (p)＝1 (mod a)，
(3) a p ＝a (mod p)， (4) a p＝1 (mod p)
10．集合F上定义了“＋”和“· ”两种运算。

如果( )，则<F, “＋”,“ · ”>构成一个域。

(1) F对于运算“＋”和“ · ”构成环，运算“＋”的单位元是e，且F\{e}对于“ · ”构成交换群
(2) F对于运算“＋”构成交换群，单位元是e；F\{e}对于运算“ · ”构成交换群
(3) F对于运算“＋”和运算“ · ”都构成群
(4) F对于运算“＋”构成交换群，单位元是e；F\{e}对于运算“ · ”构成交换群；运算“＋”和“ · ”之间满足分配律
二．填空题(按题目要求，将正确描述填在上)：（每题2分，共20分）
1．设a, b是正整数，且有素因数分解
，
，则(a, b)＝，
[a, b]＝。

2．模5的3的剩余类C3(mod 5)写成模15的剩余类的并为：
C3(mod 5)
=。

3．整数a，b满足(a，b)=1，那么对任意正整数n，都有(an， bn)
=__________。

4．120, 150, 210, 35的最小公倍数[120, 150, 210, 35]
= 。

5．模8的绝对值最小完全剩余系
是。

6．设n是一个正整数，整数e满足1＜e＜ (n)且，则存在整数d，1≤d＜ (n)，使得ed≡1 (mod (n))。

7．Wilson定理：设p是一个素数，
则。

8．P(A)是集合A的幂集，“”为集合的对称差运算。

P(A)对于运算“”的单位元是，A的逆元是。

9．设m，n是互素的两个正整数，则 ( m，n)
= 。

10．设集合A有n个元素，则集合A×A有__________个元素，集合A上的不同运算有___________种。

三．证明题（写出详细证明过程，共4小题，30分）
1．(1) 证明：形如6k＋5的正整数必含6k＋5形式的素因数。

(2) 证明：形如6k+5的素数有无穷多
个。

（10分）
2．设a, b是任意两个不全为零的整数，证明
(1) 若m是任一正整数，则(am, bm) = (a, b)m。

(2) 若非零整数d满足da，db，则。

（8分）
3．设m是正整数，a≡b (mod m)，如果整数d满足d | (a, b , m)，则有。

（6分）
4．证明：如果m和n是互素的大于1的整数，则m(n)＋n(m) ≡1 (mod mn)。

（6分）
四．计算题（写出详细计算过程，共2小题，30分）
1．设a＝8142，b＝11766，运用广义欧几里得除法
(1) 计算(a, b)； (2) 求整数s，t使得sa＋tb＝(a,
b)。

（15分）
2．计算31000000 (mod
1771)。

（15分）。