>>b=[1 1 –1]’;
>>C=[rank(A) rank([A b])]
C= 22
表示秩(a)=2,秩([a b])=2 小于未知数的个数4
再输入
>> rref([A b]) ans=
1 1 0
001
000
00 1 1
00
x1 x2 0 x3 x4 1
由表示行最简形矩阵，得通解
A=[1,0,2,1;-1,2,2,3;2,3,3,1;0,1,2,1]
a 1 00
练习5.15 计算行列式 1 b 1 0
0 1 c 1
程序设计：
0 0 1 d
>> clear
声明变量
>> syms a b c d
>> A=[a 1 0 0;-1 b 1 0;0 –1 c 1;0 0 –1 d];
>> A=[-1 1 -6;2 -1 2;1 3 -2];
>> b=[3 7 5]';
>> C=rank(A)
>> rref([A b])
>> X=A\b
运行结果：
C= 3
ans = 1.0000 0 0
0 1.0000
0
0 0 1.0000
X= 4.5000 -0.7500 -1.3750
4.5000 -0.7500 -1.3750
(3) 如果系数矩阵的秩小于增广矩阵的秩，则方程组 无解．
x1 2x2 4x3 0
练习5.20
求解方程组

2 x1
x2
x3 0
解： >>clear

x1 x2 x3 0
>>A=[-1 –2 4;2 1 1;1 1 –1];
>>rank(A)
ans=
第五章 矩阵与行列式
§5.6 用MATLAB计算 矩阵与行列式
用MATLAB计算矩阵与行列式
行列式的求值 在MATLAB中我们只需借助函数det就可 以求出行列式的值，其格式为
det (A)
其中A为n阶方阵．
1 0 2 1
练习5.14 求矩阵 A 1 2 2 3 的行列式的值．
-1 -2 1 2 4 -1 2 3 -1
取矩阵C的4到6列， D即为矩阵A的逆矩阵
例题说明： 由线性代数的知识可知，矩阵A和其同型的单 位矩阵E组成增广矩阵B，对B进行初等行变换， 当矩阵A变为单位阵时，单位矩阵E变为矩阵A的 逆．
矩阵相除
在MATLAB中，矩阵相除可以利用运算符“\”（左除） 和“/”（右除），而在线性代数中并没有定义矩阵 的除法.
1 2 3
3 2 4
练习5.18
求
A


2
1
2 与 B 2
5
3 的乘积．
3 3 1
2 3 1
程序设计：
>> clear
>> A=[1 2 3;2 1 2;3 3 1];
>> B=[3 2 4;2 5 3;2 3 1];
>> C=A*B , D=B*A
运行结果： C=
>> b=[3 1 7]’；
>> X=A\b
X= 2 1 -1
x1 x2 x3 x4 1
练习5.22 求解方程组 x1 x2 x3 x4 1
解 >>clear
2x1 2x2 x3 x4 1
>>A=[1 –1 1 –1;-1 1 1 –1;2 –2 –1 1];
BA
(4) A I B 2I
x1 x2 6 x3 3
习题2 求解方程组 2 x1 x2 2 x3 7

x1

3 x2

2 x3

5
2 1 2
解：AX b
A


2
1
4
3 2 1
Matlab编程：
3 b 1
7
(2) 如果系数矩阵的秩小于n，则方程组有无穷多解．
2.非齐次线性方程组AX=b
根据系数矩阵A的秩和增广矩阵B=[A b]的秩和未知数 个数n的关系，判断方程组AX=b的解的情况：
(1) 如果系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩等于n，则 方程组有唯一解．
(2) 如果系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩小于n，则 方程组有无穷多解．
说明：
1．矩阵的左除和右除概念完全不同，要注意区分． 2．可以利用矩阵的左除求解线性方程组AX=b，其
中 3．X=可A以\b利．用矩阵的右除求解线性方程组XA=b，其
中
矩阵的秩
2 1 1 2
练习5.19 求矩阵 A 1 2 2 1 的秩．
1 2 1 2 2 2 1 1
C=
0.3333 0.6000 -0.2000
-0.6667 -0.4000 0.8000
1.0000 0.40000 0.2000
>> D=A/B
矩阵右除，相当于A*inv (B)
D=
1.3333 1.3333 -1.0000
0 -0.5000 1.5000
1.6667 0.1667 -0.50000
解： >>clear;
>>A=[2 1 1 2;1 2 2 1;1 2 1 2;2 2 1 1];
>>rank(A)
ans=
4
rank(A)=4
矩阵A的行向量 或列向量线性无关．
求解线性方程组
1.齐次线性方程组 AX 0
通过求系数矩阵 A 的秩来判断解的情况： (1) 如果系数矩阵的秩为n（方程组中未知数的个数)， 则方程组只有零解．
程序设计：
1 2 1
>> clear
>> A=[1 0 1;2 1 1;1 2 1];
>> B=5*A
>> C=A*5
运行结果： B=
505 10 5 5 5 10 5
C= 505 10 5 5 5 10 5
程序说明：5*A与A*5的值相同．
矩阵与矩阵相乘
两矩阵相乘时，第一个矩阵（左矩阵）的列数必须 等于第二个矩阵（右矩阵）的行数．
>> DA=det (A) 运行结果：
生成符号矩阵
DA= a *b *c *d a *b a *d c *d 1
程序说明：函数det也可以用于计算含有变量的行列 式．
矩阵的基本运算
矩阵的加、减
(1) 维数相同，即行数和列数都分别相等． (2) 矩阵相应位置的元素相加、减．
1 2 3
1 2 3
2 1 2
练习5.19 求矩阵 A 4 2 1 和 B 1 2 1 相除．
程序设计：
2 1 3
3 2 1
>> clear
>> A=[1 2 3;4 2 1;2 1 3];
>> B=[2 1 2;1 2 1;3 2 1];
>> C=A\B
矩阵左除，相当于inv(A)*B，inv(A)为矩阵A的逆
13 21 13 12 15 13 17 24 22 D= 19 20 17 21 18 19 11 10 13
例题分析：
比较C和D，可以看出A*B和B*A的结果完全不同．
求矩阵的逆
如果矩阵A是方阵且是非奇异的（可逆），可以用 函数inv (A)求得A的逆矩阵．
1 1 2
练习5.19 求矩阵 A 0 1 1 的逆矩阵．
>> C,D
运行结果： C=
4 47 4 65 5 62
D= -2 0 -1 0 -4 -1 100
例题分析：
1．进行加、减运算的矩阵必须是同型的． 2．在进行矩阵相加的运算时，A+B和B+A的值相 同，满足加法交换律．
数与矩阵相乘
数与矩阵相乘，是数与矩阵中的每个元素相乘．
1 0 1
练习5.17 求矩阵 A 2 1 1 与5的乘积
x1 x2, x3 x4 1 ( x2 , x4 为自由未知数)
习题
2 1 3
3 0 1
习题1 已知 A 2 0 1 B 4 2
1

求：
3 1 2
1 2 0
(1) A, B 的秩
(2) 2A B A 2B
(3) AB
2
>>rref(A)
ans =
10 2
0 1 –3
00 0
说明方程有无穷多解，并且解为 [2k 3k k]T
2 1 2
3
练习5.21 求解方程组 AX b , A 2 1 4 b 1
解 >> clear
3 2 1
7
>> A=[2 1 2；2 1 4；3 2 1]；
程序设计：
2 1 0
>> clear
>> A=[1 –1 2;0 1 –1;2 1 0];
>> C= inv (A)
运行结果： C= -1 -2 1 2 4 -1 2 3 -1
程序说明：
如果矩阵不可逆，则运行结果会给出警告信息．
练习5.20 利用矩阵的初等行变换求上例矩阵的逆．
程序设计： >> clear
3 2 4
练习5.14 求矩阵 A 2
1
2