【本讲教育信息】一. 教学内容：对数运算、对数函数二. 重点、难点： 1. 对数运算0,0,1,1,0,0>>≠≠>>N M b a b a（1）x N a =log N a x=⇔（2）01log =a （3）1log =a a（4）N a Na =log（5）N M N M a a a log log )(log +=⋅（6）N M N Ma a alog log log -= （7）M x M a xa log log ⋅=（8）a M M b b a log /log log =（9）b xyb a ya x log log =（10）1log log =⋅a b b a2. 对数函数x y a log =，0>a 且1≠a 定义域 （+∞,0） 值域R单调性 ↓∈)1,0(a ↑+∞∈),1(a奇偶性 非奇非偶 过定点 （1，0）图象x y a log =与x y a1log =关于x 轴对称【典型例题】[例1] 求值（1）=7log 3)91( ；（2）=-++4log 20log 23log 2log 15151515 ； （3）=+⋅+18log 3log 2log )2(log 66626 ；（4）=⋅81log 16log 329 ；（5）=+⋅++)2log 2(log )5log 5)(log 3log 3(log 2559384 ； （6）=+⋅+2)2(lg 50lg 2lg 25lg 。

解：（1）原式491733)3(27log 7log 27log 22333=====---- （2）原式115log 15==（3）原式18log )3log 2(log 2log 6666++⋅=236log 18log 2log 666==+=（4）原式58)3log 54()2log 24(23=⋅=（5）原式815)2log 23()5log 23()3log 65(532=⋅⋅=（6）原式)2lg 50(lg 2lg 25lg ++=2100lg 2lg 225lg ==+=[例2] 若z y x ,,满足)](log [log log )](log [log log 33132212y x =)]z (log [log log 5515=0=，试比较z y x 、、的大小关系。

解：log 2〔log 21 (log 2x)〕＝0⇒log 21(log 2x)＝1⇒log 2x ＝21⇒x ＝2＝(215)301.同理可得 y ＝33＝(310)301,z ＝55＝(56)301.∵310>215>56，由幂函数y ＝x 301在(0，+∞)上递增知，y>x>z.[例3] 若==2121log log b b a a ……λ==n a b n log ，则=⋅)(log 21)(21n a a a b b b n 。

解：由已知λ11a b =，λλn n a b a b == 22∴ λ)()(11n n a a b b =∴ λ=)(log 21)(1n a a b b b n[例4] 图中四条对数函数x y a log =图象，底数a 为101,53,34,3这四个值，则相对应的C 1，C 2，C 3，C 4的值依次为（ ）A.101,53,34,3 B. 53,101,34,3 C. 101,53,3,34 D. 53,101,3,34答案：A[例5] 求下列函数定义域（1）)]lg[lg(lg x y =（2）)43lg(2--=x x y （3）)1(log 21-=x y解：（1）1lg 0]lg[lg =>x ∴ 1lg >x ∴ ),10(+∞∈x （2）0432>--x x ),4()1,(+∞⋃--∞∈x （3）110≤-<x ]2,1(∈x[例6] 求下列函数的增区间（1）1log 2-=x y （2）)82(log 221--=x x y解：（1）↑=t y 2log 1-=x t ↑+∞↓-∞),1()1,( ∴ )(x f y =在（+∞,1）↑（2）↓=t y 21log 822--=x x t ↑+∞↓--∞),4()2,(∴ )(x f y =在↑--∞)2,([例7] 研究函数)1(log )(22x x x f y -+==的定义域、值域、奇偶性、单调性。

解：（1）x x x x ≥=>+221 ∴ 012>-+x x ∴ 定义域为R（2）R x ∈),0(12+∞∈-+x x ∴ R y ∈为值域（3）)1(log )](1)([log )(2222x x x x x f ++=--+-=- )()1(log 11log 12222x f x x xx -=-+=-+=-∴ 奇函数（4）),0(+∞∈x 时，xx x x y ++=-+=11log )1(log 2222↓++=xx t 112t y 2log =↑ ∴ )(x f y =在),0(+∞上↓∵ 奇函数 ∴ )(x f y =为R 上↓[例8] 已知)1,0(∈x ，0>a 且1≠a ，试比较)1(log x a +与)1(log x a -的大小关系。

解：（1）)1,0(∈a 时，)1(log )1(log x x a a --+0)1(log )1(log )1(log 2<--=--+-=x x x a a a（2）),1(+∞∈a 时，)1(log )1(log x x a a --+)1(log )1(log x x a a -++=0)1(log 2<-=x a综上所述，)1(log )1(log x x a a -<+[例9] 函数)34(log )(22++==kx kx x f y（1）若定义域为R ，求k 的取值范围。

（2）若值域为R ，求k 的取值范围。

解：（1）0=k 时，3log 2=y R x ∈4300121602<<⇒⎩⎨⎧<-=∆>k k k k ∴ )43,0[∈k （2）⎩⎨⎧≥-=∆>0121602k k k ),43[+∞∈⇒k【模拟试题】（答题时间：30分钟）1. 求值：（1）=-2log 5)1251(； （2）=+-+8lg 5.0lg 215lg 4lg ； （3）=+-)2log 3(log )6)(log 6(log 3232 ；（4）=-+++6lg 26lg )6(lg 3lg 2lg 62。

2. 正实数y x ,满足zyx643==（1）求证：yx z 2111=- （2）比较y y x 6,4,3的大小关系3. 已知a =2log 3，b =2log 5试用b a ,表示90log 304. ),1(d x ∈，x a d 2log =，2log x b d =，)(log log x c d d =，试比较c b a ,,大小关系。

5. 若12>>>a b a ，则b a abb a a b b alog ,log ,log ,log 的大小关系是 。

6. 1>>m n ，试比较n m log 与n m 2log 2的大小关系。

7. 研究函数)1(log )(-==xa a x f y （0>a 且1≠a ）的定义域及单调性。

【试题答案】1.（1）8558log )2log (355==-- （2）原式1lglg 22==（3）2)2log 3(log )2log 1)(3log 1(3232=+-++（4）16lg 16lg )16(lg 3lg 2lg 2=-+=-++ 2.（1）令010643>===kz y x ∴ 6lg 4lg 3lg kz k y k x ===2lg 1)3lg 6(lg 111k k x z =-=- 2lg 124lg 21kk y == ∴ 成立（2）k k k y x =-=-4lg 43lg 3434lg 3lg 3lg 44lg 3⋅-⋅0]81lg 64[lg 4lg 3lg <-⋅⋅=k]4lg 66lg 4[6lg 4lg 6lg 64lg 464-⋅⋅=-=-kk k z y0]64lg 36[lg 6lg 4lg 2<-⋅=k∴ z y x 643<< 3. ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==5log 13log 122ba5log 3log 15log 3log 2130log 90log 90log 22222230++++==b a ab b a ab ba b a ++++=++++=2111121 4. x x a d d log log ⋅= x b d log 2⋅= ∵ )1,0(log ∈x d∴ c a b >>>05. 0log 1log <-=b b a a a)21,0(0log 1log ∈>-=a a b b b )1,21(log ∈a b )2,1(log ∈b a ∴ baa b a b a b b a log log log log >>>6. m n m n n n m m 22222log 1log 1log log 2log log ++-=-0)log 1(log log log 2222>+-=m m mn 7.（1）)1,0(∈a 01a a x => ∴ 定义域为)0,(-∞ ↓=t y a log↓-=1x a t ∴ ↑=)(x f y（2）),1(+∞∈a 01a a x=> ∴ 定义域为),0(+∞↑=t y a log ↑-=1x a t ∴ ↑=)(x f y。