《概率论与随机过程》第一章习题答案1. 写出下列随机试验的样本空间。

（1） 记录一个小班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分）。

解： ⎭⎬⎫⎩⎨⎧⨯=n n nn S 100,,1,0 ，其中n 为小班人数。

（2） 同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和。

解：{}18,,4,3 =S 。

（3） 10只产品中有3只是次品，每次从其中取一只（取出后不放回），直到将3只次品都取出，记录抽取的次数。

解： {}10,,4,3 =S 。

（4） 生产产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数。

解： {} ,11,10=S 。

（5） 一个小组有A ，B ，C ，D ，E5个人，要选正副小组长各一人（一个人不能兼二个职务），观察选举的结果。

解： {}ED EC EB EA DE DC DB DA CE CD CB CA BE BD BC BA AE AD AC AB S ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,=其中，AB表示A 为正组长，B 为副组长，余类推。

（6） 甲乙二人下棋一局，观察棋赛的结果。

解： {}210,,e e e S =其中，0e 为和棋，1e 为甲胜，2e 为乙胜。

（7） 一口袋中有许多红色、白色、蓝色乒乓球，在其中任意取4只，观察它们具有哪几种颜色。

解： {}rwb wb rb rw b w r S ,,,,,,=其中，,,,b w r 分别表示红色、白色、蓝色。

（8） 对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品”，如连续查出二个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。

解： {}1111,1110,1101,0111,1011,1010,1100,0110,0101,0100,100,00=S 其中，0为次品，1为正品。

（9） 有A ，B ，C 三只盒子，a ，b ，c 三只球，将三只球装入三只盒子中，使每只盒子装一只球，观察装球的情况。

解： {}Ca Bb Ac Cc Ba Ab Cb Bc Aa Cb Ba Ac Ca Bc Ab Cc Bb Aa S ,,;,,;,,;,,;,,;,,=其中，Aa 表示球a 放在盒子A 中，余者类推。

（10） 测量一汽车通过给定点的速度。

解：{}0>=v v S（11） 将一尺之棰折成三段，观察各段的长度。

解： (){}1,0,0,0,,=++>>>=z y x z y x z y x S 其中，z y x ,,分别表示第一段，第二段，第三段的长度。

#2. 设A ，B ，C 为三事件，用A ，B ，C 的运算关系表示下列事件。

（1） A 发生，B 与C 不发生。

解：C A （2） A 与B 都发生，而C 不发生。

解： C AB （3） A ，B ，C 都发生。

解： ABC（4） A ，B ，C 中至少有一个发生。

解： C B A ⋃⋃ （5） A ，B ，C 都不发生。

解： C B A（6） A ，B ，C 中至多于一个发生。

解： A C C A ⋃⋃ （7） A ，B ，C 中至多于二个发生。

解： C B A ⋃⋃（8） A ，B ，C 中至少有二个发生。

解： CA BC AB ⋃⋃. #3. 设{}10,2,1, =S ,{}4,3,2=A ，{}5,4,3=B ，{}7,6,5=C ，具体写出下列各等式 （1）B A 。

解： {}5=B A ；（2）B A ⋃。

解： {}10,9,8,7,6,5,4,3,1=⋃B A ； （3）B A 。

解：{}5,4,3,2=B A ；（4） BC A 。

解： {}10,9,8,7,6,5,1=BC A（5）)(C B A ⋃。

解： {}10,9,8,7,6,5,2,1)(=⋃C B A . #4. 设{}20≤≤=x x S ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<=121x x A ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧<≤=2341x x B ，具体写出下列各式。

（1）B A ⋃。

解： ⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤⋃⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤=⋃223410x xx x B A （2）B A ⋃。

解： ⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤⋃⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤⋃⎭⎬⎫⎩⎨⎧<≤=⋃223121410x x x xx x B A （3）B A 。

解： {}φ=B A （4）B A 。

解：⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<⋃⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤=2312141x x x xB A . #5. 设A ，B ，C 是三事件，且41)()()(===C P B P A P ，0)()(==CB P AB P ，81)(=AC P ，求A ，B ，C 至少有一个发生的概率。

解：由题意可知：0)(=ABC P ，故()()()()85)()()()(=+---++=⋃⋃ABC P AC P BC P AB P C P B P A P C B A P 。

或 φ=⋃⋃B C A )( ，∴()()()()85)()()())((=+-+=+⋃=⋃⋃=⋃⋃B P AC P C P A P B P C A P B C A P C B A P 。

#6. 在1500个产品中有400个次品，1100个正品，任意取200个。

（1） 求恰有90个次品的概率。

（2） 至少有2个次品的概率。

解：（1）⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛2001500110110090400； （2） 设)(k P 表示有k 个次品的概率，故至少有2个次品的概率为：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--=∑=200150019911001400200150020011001)1()0(1)(2002P P k P k . #7.（1）在房间里有500个人，问至少有一个人的生日是10月1日的概率是多少（设一年以365天计算）？ （2）在房间里有4个人，问至少有二个人的生日在同一个月的概率是多少？ 解：（1） 属“分房问题”，即有n 个人，每个人都以N 1的概率被分在N 间房中的每一间中，某指定房间中至少有一人的概率。

设某指定房间中恰有k 个人的概率为)(k P ，则有()kn k nk n N N N k n N N k n k P --⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111)(。

故，某指定房间中至少有一人的概率为：nn k N N P k P ⎪⎭⎫⎝⎛--=-=∑=11)0(1)(1。

所以，500个人中至少有一个人的生日是10月1日的概率为：74634.025366.013653641500=-=⎪⎭⎫⎝⎛-（2） 属“分房问题”，即有n 个人，每个人都以N 1的概率被分在N 间房中的每一间中，至少有二个人在同一间房中的概率。

设A 为“每一间房中至多有一个人” 基本事件个数：n N 。

“每一间房中至多有一个人”事件的个数为：!n)(N !N -。

所以，“至少有二个人在同一间房中的概率”等于“至少有二个人的生日在同一个月的概率”。

0.42710.57291124-(12!12114=-=-=--！）n N !n)(N !N 。

#8. 一盒子中有4只次品晶体管，6只正品晶体管，随机地抽取一只测试，直到4只次品管子都找到为止。

求第4只次品管子在下列情况发现的概率。

（1） 在第5次测试发现。

（2） 在第10次测试发现。

解：（1） 10526789101234634=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛；或1052!6!4!10!3!441034=⎪⎭⎫ ⎝⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛； （2） 529106634=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛。

#9. 甲、乙位于二个城市，考察这二个城市六月份下雨的情况。

以A ，B 分别表示甲，乙二城市出现雨天这一事件。

根据以往的气象记录已知4.0)()(==B P A P ，28.0)(=AB P ，求)/(B A P ，)/(A B P 及)(B A P ⋃。

解： 7.04.028.0===P(B)P(AB)P(A/B)；7040280...P(A)P(AB)P(B/A)== 5202804040....P(AB)P(B)P(A)B P(A =-+=-+=⋃。

#10. 已知在10只晶体管中有2只次品，在其中取二次，每次随机地取一只，作不放回抽样，求下列事件的概率。

（1） 二只都是正品。

（2） 二只都是次品。

（3） 一只是正品，一只是次品。

（4） 第二次取出的是次品。

解： (1) 4528106!2!2!8!821028=⨯⨯⨯⨯=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛！！； (2) 45110!2!821022=⨯=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛！； (3) 451610!2!8282101218=⨯⨯⨯=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛！；或45169810292108=⨯+⨯； (4)4599110292108=⨯+⨯。

#11. 某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而随意地拨号，求他拨号不超过三次而接通所需的电话的概率是多少？如果已知最后一个数字是奇数，那么此概率是多少？解：(1) 3.010!7!37!2!!931029=⨯⨯⨯=⎪⎪⎭⎫⎝⎪⎪⎭⎫⎝⎛！; (2) 6.05!2!32!2!!43524=⨯⨯⨯=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛！。

#12. 某工厂中，机器321,,B B B 分别生产产品总数的25%，35%和40%。

它们生产的产品中分别有5%，4%，2%的次品，将这些产品混在一起，今随机地取一只产品，发现是次品。

问这一次品是机器321,,B B B 生产的概率分别是多少？ 解：设A 为“次品”，已知：25.0)(1=B P ，35.0)(2=B P ，40.0)(3=B P ；05.0)/(1=B A P ，04.0)/(2=B A P ，02.0)/(3=B A P ，0345.040.002.035.004.025.005.0)()/()(31=⨯+⨯+⨯==∑=j jjB P B A P A P 。

故由，)()()/()/(A P B P B A P A B P i i i =可得：36232.069250345.025.005.0)()()/()/(111≈=⨯==A PB P B A P A B P ；40580.069280345.035.004.0)()()/()/(222≈=⨯==A P B P B A P A B P ；23188.069160345.040.002.0)()()/()/(333≈=⨯==A PB P B A P A B P 。

#13. 将二信息分别编码为A 和B 传送出去，接收站接收时，A 被误收作B 的概率为0.02，而B 被误收作A 的概率为0.01。