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第2章 多自由度系统振动


( 2)
2×2方阵
因此,振型可表示为 u [u (1) , u ( 2) ] 第一主振型
1 u (1) (1)
1 u ( 2) ( 2)
第二主振型
对于 n 个自由度振动系统
K X 0 M X 由特征方程,可求出 n 个固有频率 n1 ~ nn
x1 A1(1) sin( n1t 1 ) A1( 2) sin( n 2 t 2 ) (1) ( 2) x2 A2 sin( n1t 1 ) A2 sin( n 2 t 2 )
(1) ( 2) x1 A1 sin(n1t 1 ) A1 sin(n 2t 2 ) (1) (1) ( 2) ( 2) x2 u A1 sin(n1t 1 ) u A1 sin(n 2t 2 )
11
9l 3 768EI
α21表示在m1上作用一个单位力Fj =1 ,而质量m2、m3 上无作用力时,梁上m2处所产 生得位移,由材料力学,得
11l 3 21 768EI
同理,可以求出其他柔度系数。
最后得出总柔度系数矩阵
11 12 13 9 11 7 l3 [ ] 21 22 23 =11 16 11 768EI 31 32 33 7 11 9
系统的动能: T
1 ) 2 1 J ( )2 c l 3 m( x c c 2 2
2 2
系统的势能: U 1 k ( x l ) 2 1 k ( x l ) 2 1 c 4 c 2 c 5 c 利用拉格朗日方程,得
k x k x F sint c ml3 m x c 1 c 2 c
F jz
z j qi
)
T 为系统的动能 U为系统的势能 qi 为广义坐标 Fi为非有势广义力
例题2(P25):用拉格朗日方程方法,列出车辆二自由 度系统的动力学微分方程(右图)。 『解』广义坐标:取C点(G点为质心)的直线位移为 xc 为q1, 转角为θ c为q2 ,此时外力 Fc 和转矩 Tc作用在C点。 另设: k1l 4 k 2 l5
xG 和 在两个方程中出现,称为静力参数耦合或弹性耦合。
G
2.用拉格朗日方程建立微分方程
d T T U ( ) Fi , (i 1,2,, k ) 拉格朗日方程 i dt q qi qi
Fi ( F jx
j 1
N
x j qi
F jy
y j qi
xc Fc 2 2 k1l4 k 2l5 c Tc 0
m 质量矩阵 M ml3
ml3 为对称阵 2 J ml3
k1 k2 刚度矩阵 K 0
为对角阵 k1l42 k2l52 0
在两个方程中出现,称为惯性耦合。 G 和 x G
ml 2 k l 2 k l 2 T sint c J ml3 x c 3 c 14 c 2 5 c
写出矩阵
m m l 3
c k1 k 2 m l3 x 2 J m l3 c 0
(2-7)
该方程具有非零解的充分必要条件是系数行列式等于零
2 k11 m11 n 2 k11 m11 n
k 21 m21
也可表示为 易解出
2 n
k 22 m22
2 n
0
(2-8)
K n2 M 0
b b 2 4ac n1,2 2a a m11m22 b (m11k22 m22 k11 )
2 c k11k22 k12
n1 n 2
n1 为一阶固有频率(或第一阶主频率) n 2 为二阶固有频率(或第二阶主频率)
固有频率的大小仅取决于系统本身的物理性质。 将所求得的固有频率 n1 和 n 2 代入系统特征矩阵方程 得出两个固有频率下的振幅比值

(1) 2 (1) k11 m11 n A2 1 (1) k12 A1 2 ( 2) k11 m11 n A2 2 ( 2) k12 A1
(二)多自由度系统的固有频率与主振型
对于一个多自由度的自由振动系统(以二自由度系统为例)
K X 0 M X
(2-5)
设质量块作简谐振动,即
x1 A1 sin( n t ) x2 A2 sin( n t )
2 n
A1 A1 ( M K ) sin( n t ) 0 带入(2-5)式,则 A A 2 2 上式对于任意时间t 成立,则
k11 (k1 k2 ) 1 k1 k2
『例』(P26):质量 m1、m2 、m3 的位移为 x1 、x2 、x3 。列出三自由度系统 的动力学微分方程。
『解』刚度影响系数kij :
k11 (k1 k2 ) 1 k1 k2 k12 k2 k13 0 k21 k2 k22 k2 k3 k23 k3 k31 0 k32 k3 k33 k3 k4
k2 k 2 k3 k3
0 k3 k3 k 4
讨论:(1)如果直接用牛顿定律,可否列出上述方程?! (2)刚度影响系数kij = kji 与刚度矩阵的对称性!(P27)
柔度影响系数法又称为单位力法
柔度影响系数αij :在系统的 j 点作用一个单位力(即Fj =1 ),而其余 各点均无作用力时,在系统的i点产生的位移。
G k1 k2 x k2l2 k1l1 xG F m 0 0 J k l k l k l 2 k l 2 T sin t G 2 2 1 1 1 1 2 2 G
xc Fc 2 2 k1l4 k 2l5 c Tc 0
讨论:质量矩阵、刚度矩阵的特性与广义坐标的关系!(P26)
m m l 3
c k1 k 2 m l3 x 2 J m l3 c 0
G x x 即 M K G F G G
k1 k 2 m 0 [ K ] 质量矩阵 [ M ] k l k l 刚度矩阵 0 J 1 1 22 k 2 l 2 k1l1 F 2 2 力列阵 F sin t k1l1 k 2 l 2 T
『例』(P27):图2-3所示,简支梁上有质量 m1、m2 、m3,不计梁的自重。 的 位移为 x1 、x2 、x3 。列出三自由度铅垂方向振动微分方程。
『解』柔度影响系数α ij :
α11表示在 m1上作用一个单位力 Fj =1 ,而质量m2、 m3 上无作用力时,梁上 m1 处所产生得位移,由材 料力学,得
m1 [M ] 0 0 0 m2 0
[ K ]X 0 动力学微分方程为 M X

0 0 m3 k11 [K ] k 21 k 31

k12 k 22 k 32
k13 k1 k 2 k 23 k2 k 33 0
讨论:质量矩阵、刚度矩阵的特性与广义坐标的关系!(P25)
G k1 k2 x k2l2 k1l1 xG F m 0 0 J k l k l k l 2 k l 2 T sin t G 2 2 1 1 1 1 2 2 G
3.影响系数法

刚度影响系数法 柔度影响系数法
刚度影响系数法又成为单位位移法
刚度影响系数kij :在系统的 j 点产生单位位移(即 xj=1 ),而其余 各点的位移均为零时,在系统的 i点所需要加的力。
例如,上图中k11表示在质量 m1 产生单位位移 xl=1,而其它各质量位移均为0 时,在质量m1所施加的力。此时
可以证明,柔度影响系数矩阵与刚度影响系数矩阵互为逆阵,即
K 1 , K 1
三自由度铅垂方向振动微分方程为
1
[ ] X 0 M X
讨论:(1)如果直接用牛顿定律,可否列出上述方程?!难度多大? (2)上述方程为什么不用刚度影响系数法?难度多大?用拉格朗日方程方法? (3)什么时候用柔度影响系数法?什么时候用刚度影响系数法?(P28) 结论:(1)对于质量弹簧系统,应用刚度影响系数法较容易 (2)对于梁、多重摆系统则用柔度影响系数法容易 (3)对于杆件机构,应用拉格朗日方程方法较容易
2.1 多自由度系统的自由振动
1.振动微分方程的建立 2.多自由度系统的固有频率与主振型 3.初始条件和系统响应(模态叠加)
(一)多自由度振动微分方程的建立
牛顿运动方程(或达朗伯尔原理) 拉格朗日运动方程 影响系数法 哈密尔顿原理 有限单元法(第9章)
1.用牛顿定律建立微分方程
例题1(P24):在不平路面上行驶的车辆的二自由度系统(图)。设刚性杆的质 量为m,两端的支承刚度分别为k1、k2 ,杆绕质心G点的转动惯量为J。假设作用 在质心G点的激励力为简谐力F和简谐转矩T,则刚性杆不仅沿x方向振动,而且绕 其质心扭转振动。 『解』取刚性杆的广义坐标为 xG 和 G
由牛顿定律,系统的振动微分方程为
G F sin t (k1 k2 ) xG (k2l2 k1l1 )G mx T sin t (k l k l ) x (k l 2 k l 2 ) J G 2 2 11 G 11 2 2 G
写成矩阵表达式:
第2章 多自由度系统振动
本章目的: 掌握多自由度系统建模方法,重点是刚度系数法 掌握多自由度振动系统的固有频率、主振型概念 掌握矩阵迭代法、传递矩阵法
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