亭湖高级中学2015届高三数学周练八命题：徐福海 审核：王晓峰一、填空题：本大题共14小题,每小题5分,计70分.不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上.1. 集合A ={1，2，3}，B ={2，4，6}，则A B = ▲ 1.{2}2. 已知命题p ：“正数a 的平方不等于0”，命题q ：“若a 不是正数，则它的平方等于0”， 则p 是q 的 ▲ ．（从“逆命题、否命题、逆否命题、否定”中选一个填空） 2.否命题．3. 已知向量(12,2)a x =-，()2,1b -=，若a b ⊥，则实数x = ▲ 3.04. 在△ABC 中，sin :sin :sin 2:3:4A B C =，则cos C = ▲ 4.41-5. 函数(1)()coscos22x x f x -=p p 的最小正周期为 ▲ 5.26. 正项等比数列{a n }中，311a a =16，则22212log log a a += ▲ 6.47. 函数22()log (4)f x x =-的值域为 ▲ 7.(,2]-∞8.9. 为了得到函数y ＝sin 3x ＋cos 3x 的图像，可以将函数y ＝2cos 3x 的图像 ▲ 9.向右平移12π个单位 10. 函数y ＝|2x －1|在区间(k －1，k ＋1)内不单调，则k 的取值范围是___▲_____． 10. ()1,1-11.已知01cos(75)3α+=，则0cos(302)α-的值为 ▲ 11.-7912.在平面直角坐标系xOy 中，(1,0)A ，函数xy e =的图像与y 轴的交点为B ，P 为函数xy e =图像上的12.113．已知函数)(x f 满足)1(2)(xf x f =，当[]3,1∈x 时，x x f ln )(=，若在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,31内，函数)0()()(>-=a ax x f x g 恰有三个零点，则实数a 的取值范围为 ▲ .13.ln 31,3e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 14. 已知等差数列}{n a 的前n项和为n S ，若322(1)2010(1)1a a -+-=，320092009(1)2010(1)1a a -+-=-，则下列四个命题中真命题的序号为 ▲ .①20092009S =； ②20102010S =； ③20092a a <； ④20092S S < 14.②③二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内.15. 【2014高考广东卷文第16题】（本小题满分14分）已知函数()sin 3f x A x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，x R ∈，且5122f π⎛⎫= ⎪⎝⎭. （1）求A 的值；（2）若()()ff θθ--=0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求6f πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭.15. 解：（1）553()sin()sin 1212342f A A ππππ=+==………4分 解得 3.A =…6分（2）由（1）得()3sin()3f x x π=+，所以()()3sin()3sin()3sin()3sin()3333f f ππππθθθθθθ--=+--+=++-3(sin coscos sin )3(sin cos cos sin )3333ππππθθθθ=++- 6sin cos 3sin 3πθθ===. 所以sin 3θ=………10分又(0,)2πθ∈，所以cos 3θ=. …12分所以()3sin()3sin()3cos 3f ππππθθθθ-=-+=-===…14分16. （本小题满分14分） [2014•北京文卷]已知{}n a 是等差数列，满足13a =，412a =，数列{}n b 满足14b =，420b =，且{}n n b a -是等比数列. （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n b 的前n 项和.16.解：⑴ 设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意得41123333a a d --===……2分 所以()()11312n a a n d n n =+-==，，． ………4分设等比数列{}n n b a -的公比为q ，由题意得·· 344112012843b a q b a --===--，解得2q =． ………6分 所以()11112n n n n b a b a q ---=-=． 从而()13212n n b n n -=+=，，………8分⑵ 由⑴知()13212n n b n n -=+=，，．数列{}3n 的前n 项和为()312n n +，数列{}12n -的前n 项和为1212112n n -=--×．…12分所以，数列{}n b 的前n 项和为()31212n n n ++-． ………14分17．（本小题满分14分）（如东县第一次学情检测）某种出口产品的关税税率t 、市场价格x (单位：千元)与市场供应量p (单位：万件)之间近似满足关系式：p =2(1-kt )(x -b )2，其中k 、b 均为常数. 当关税税率为75%时，若市场价格为5千元，则市场供应量约为1万件;若市场价格为7千元，则市场供应量约为2万件． (1)试确定k 、b 的值；(2)市场需求量q (单位：万件)与市场价格x 近似满足关系式：2x q p q -=,=时，市场价格称为市场平衡价格. 当市场平衡价格不超过4千元时，试确定关税税率的最大值．17. 解 (1)由已知,22(1075)(5)(1075)(7)1222k b k b -.--.-⎧=⎪⎨=⎪⎩⇒ 22(1075)(5)0(1075)(7)1k b k b ⎧-.-=,⎨-.-=,⎩ 解得b =5,k =1. …………………………………………………………4分 (2)当p =q 时,2(1-t )(x -5)22x -=, ……………………………………6分∴(1)t -22(5)1(5)x x x t x -=-⇒=+=-1+12510x x,+- ………8分BP25()f x x x=+设 12121212122504;()()()0x x x x f x f x x x x x -<<<-=->所以25()f x x x=+在(0,4]上单调递减， ………………………10分所以当x =4时,f (x )有最小值414.即当x =4时，t 有最大值5 ……………………12分故当x =4时，关税税率的最大值为500%. ……………………14分注：直接使用函数单调性结论未证明的扣2分，用导数解答正确不扣分，没有答的扣2分.18．（本题满分16分）如图△ABC 为正三角形，边长为2，以点A 为圆心，1为半径作圆，PQ 为圆A 的任意一条直径． ⑴若12CD DB =，求||AD ； ⑵求⋅的最小值．⑶判断CQ BP ⋅＋CP BQ ⋅的值是否会随点P 的变化而变化，请说明理由．18． 解：（1）13AD CD CA CB CA =-=-,2213AD CB CA ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭221242128224939329CB CB CA CA ∴=-+=-⨯⨯⨯+=,27AD ∴=……………4分（2）设PAB θ∠=，则120CAQ θ∠=︒-()()BQ CP AQ ABAP AC AQ AB AQ AC AB AP AB AC =---∴=-+()1112cos 12012cos 221cos 2θθθθ=--⨯⨯︒--⨯⨯+⨯⨯=- 12sin 6πθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭……………8分当sin 16πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，即2,3k k Z πθπ=+∈时，⋅有最小值1-，……………10分（3）⋅＋⋅的值不随点P 的变化而变化()()1cos 12sin 6BP CQ BA APCA AQ πθθθ⎛⎫=++=++=++ ⎪⎝⎭由（2）知⋅＝1－2)6sin(πθ+，∴⋅＋⋅＝2 ，所以⋅＋⋅的值不随点P 的变化而变化…………16分19．（本小题满分16分）（14浙江文21倒数2）已知函数()33||(0)f x x x a a =+->，若()f x 在[1,1]-上的最小值记为()g a . （1）求()g a ；（2）证明：当[1,1]x ∈-时，恒有()()4f x g a ≤+. 21. （1）因为11≤≤-x ， ①当10<<a 时，若],1[a x -∈，则a x x x f 33)(3+-=，033)(2<-='x x f ，故)(x f 在),1(a -上是减函数； …2分 若]1,[a x ∈，则a x x x f 33)(3-+=，033)(2>+='x x f ，故)(x f 在)1,(a 上是增函数； 所以，3)()(a a f a g ==. …4分②当1≥a ，则a x ≤，a x x x f 33)(3+-=，033)(2<-='x x f ，故)(x f 在)1,1(-上是减函数， 所以a f a g 32)1()(+-==， …6分综上所述，⎩⎨⎧≥+-<<=1,3210,)(3a a a a a g . …7分（2）令()()(a)h x f x g =-， ①当10<<a 时，3)(a a g =，若]1,[a x ∈，33)(3-+=x x x h 得33)(2+='x x h ，所以)(x h 在)1,(a 上是增函数，所以)(x h 在]1,[a 上的最大值是334)1(a a h --=，且10<<a ，所以4)(≤x h ，故4)()(+≤a g x f . …9分若],1[a x -∈，3333)(a a x x x h -+-=，则33)(2-='x x h ，所以)(x h 在),1(a -上是减函数， 所以)(x h 在],1[a -上的最大值是332)1(a a h -+=-，332)(a a a t -+=则033)(2>-='a a t ，所以)(a t 在)1,0(上是增函数，所以4)1()(=<t a t 即4)1(<-h ，故4)()(+≤a g x f ， …13分 ②当1≥a 时，a a g 32)(+-=，所以23)(3+-=x x x h ，得33)(2-='x x h ， 此时)(x h 在)1,1(-上是减函数，因此)(x h 在]1,1[-上的最大值是4)1(=-h ，故4)()(+≤a g x f ， …15分 综上所述，当]1,1[-∈x 时恒有4)()(+≤a g x f . …16分 20．(本小题满分16分)已知数列{}{}n n a b 与满足11(2)1,nn n n n b a b a +++=-+1*3(1),,2n n b n N -+-=∈12a =且（Ⅰ）求23,a a 的值；（Ⅱ）设*2121,n n n c a a n N +-=-∈，证明{}n c 是等比数列； （Ⅲ）设n S 为{}n a 的前n 项和，求212212k kk kS S a a --+()k N *∈ 20．（Ⅰ）解：由1*3(1),2n n b n N -+-=∈，可得2,,1,n n b n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数,又()1121nn n n n b a b a +++=-+，当121231,21,2,;2n a a a a =+=-==-时由可得当2332,25,8.n a a a =+==时可得 …4分（Ⅱ）证明：对任意*n N ∈ 21212221n n n a a --+=-+ ①2221221n n n a a ++=+ ②②-①，得21211212132,32,4n n n n n n nc a a c c --++--=⨯=⨯=即于是所以{}n c 是等比数列。