一.(30分)简述题(每小题3分)1. 一个LTI 系统有多种描述方法,试给出五种方法,并指出它们之间的联系。
2. 一个确定信号在频域用傅里叶变换表示,试按信号在时域是周期、非周期、连续、离散,分别写出相应形式的傅里叶变换。
离散傅里叶变换(DFT )是其中一种形式吗?3. 一个存在全部时域),(+∞-∞的周期信号,如果要求在变换域求其作用于LTI 系统的响应,应采用傅里叶变换还是拉氏变换?或者两种变换都可采用?为什么? 4. 若由下列系统函数描述的离散时间系统是稳定的,那它一定是因果的吗?为什么?z z z H 311211)(--=5. 根据下列微分方程,能否判定该系统是稳定的吗?为什么?)()(2)('t x t y t y =-6. 由下式描述的系统是时不变的吗?为什么?(式中的)(n x ,)(n y 分别表示系统的输入和输出)∑+∞-∞=--=k kn n k x n y )()31(3)( 7. 试给出设计数字滤波器的一般步骤。
8. 能否仅根据其频率响应的有限个取样值,确定出该数字滤波器?说明你的理由。
9. 如何保证所设计的FIR 数字滤波器具有线性相位?10. 分别给出序列线性卷积、圆周卷积和周期卷积的定义,并指出它们间的联系。
二.(25分)考虑一个离散时间LTI 系统,当其输入为)1(21)()(-+=N n n x δδ相应的输出为)()21()(n u n y n =1.(10分)用时域法求此系统的单位抽样响应)(n h ; 2.(10分)用z 变换法求此系统的单位抽样响应)(n h ; 3.(5分)给出描述此系统的差分方程,并画出模拟框图。
三.(25分)考虑一个输入、输出分别为)(t f 和)(t y 的连续时间系统,其系统函数为14)(22--=s s s H1.(3分)画出)(s H 的极点和零点图;2. (5分)假定)(s H 是稳定的,确定其收敛域,并求系统的单位冲激响应)(t h ; 3.(5分)求描述此系统的线性常系数微分方程,并画出其直接II 型框图; 4.(5分)若输入)5.0exp()(t t f -=,对全部t ,求系统输出)(t y ;5. (7分)确定描述此系统的状态方程和输出方程,并求状态转移矩阵)(t ϕ。
四.(25分)已知系统框图如图1(a )所示,其中输入信号)(t x 为周期性矩形脉冲,如图1(b )所示;)(t T δ为周期性单位冲激串,其周期)(),(;121t h t h T =分别是图中两个子系统的冲激响应,其表达式分别为+∞<<∞-=+∞<<∞-=t t t h t tt t h ,)3sin(2)(,)sin(2)(21ππππ1.(5分)求)(t x 的频谱)(ωj X 的表示式,并画出其频谱图(注明过零点的频率值);2.(5分)求)(1t y 的频谱)(1ωj Y 的表示式,并画出其频谱图;3.(5分)求)(2ωj Y 的表示式(以)(1ωj Y 表示),并画出其频谱图;该频谱会发生混叠吗?为什么?4.(5分)写出)(3ωj Y 的表示式(以)(1ωj Y 表示),并画出其频谱图;5.(5分)写出)(t y 的频谱)(ωj Y 的表示式,指明)(ωj Y 对应的原信号)(t y 有何特点。
五.(20分)设有两个实序列)(1n x 和)(2n x ,其长度分别为8192和64,试给出快速计算)(1n x 和)(2n x 线性卷积的方法步骤及其相应的运算量。
要求利用基2FFT ,同时尽量减少乘法运算次数。
六.(25分)关于IIR 数字滤波器:1.(15分)给出一般形式的IIR 数字滤波器的三种基本结构,即直接型、级联型和并联型,并指出上述三种结构的优缺点及应用场合。
2.(10分)证明采用双线性变换方法设计的IIR 数字滤波器与原模拟滤波器具有相类似的特性。
一.(30分)简述题(每小题5分)11. 画出函数)(cos t δ的波形,并计算积分值:⎰+-+=ππδdt t t A )(cos )1(12. 已知)]4()()[1()(--+=n u n u n n x ,画出下列函数的图形:)()2()12()(n x n n x n y -δ++=13. 已知LTI 系统的输入和输出满足如下关系∑-∞==nk nk k x n y )()31(3)( 试确定该系统是否因果、稳定,并说明理由。
14. 系统函数111)(--=zz H α,其中1||<α,试问}arg{α无论如何取值,)(z H 代表的一定是低通滤波器吗?为什么?15. 已知序列}4,3,2,1{)(=n x 和}1,1,0,0{)(=n y ,给出)(n x 和)(n y 的4点圆周卷积和4点圆周相关的结果。
16. 利用双线性法,从模拟低通设计数字低通滤波器时,为什么要预畸?简单说明预畸的作法?二.(25分)已知一个因果LTI 离散时间系统的初始条件为2)0(0=y ,1)1(0=y ,当输入序列)()(n u n x =时,其完全响应为)(])3(5.2)2(45.0[)(n u n y n n -+=要求:1.(8分)系统的零输入响应)(0n y 。
2.(5分)系统函数)(z H ,并画出其零极点图。
3.(5分)判断此系统的频率响应函数)(ωj e H 是否存在。
如存在,请写出其表示式;如不存在,请说明原因。
4.(7分)由)(z H 写出系统的状态方程的A 、B 、C 、D 矩阵。
三.(25分)某系统由两个LTI 子系统并联而成,其中一个子系统的单位抽样响应为)()31()(1n u n h n =,并联后的系统频率响应为ωωωω2712512)(j j j j ee e e H ---+-+-= 1.(8分)求另一个子系统的单位抽样响应)(2n h ; 2.(8分)假设系统输入)()21()(n u n x n=,用频域分析法分别求两个子系统的输出)(1n y 和)(2n y ;3.(4分)在相同输入的情况下,求并联系统的输出)(n y ;4.(5分)写出并联系统联系输入和输出的差分方程,并画出模拟图。
四.(25分)已知一个LTI 系统在以下三种输入信号的情况下具有相同初始条件,当输入信号为)()(1t t x δ=时,其全响应为)()()(1t u e t t y t -+=δ;当输入信号为)()(2t u t x =时,其全响应为)(3)(2t u e t y t -=。
要求:1.(12分)根据以上两个条件,求出该系统的)(s H ,)(t h 和系统的零输入响应)(0t y ; 2.(8分)用拉氏变换法求当输入信号)1()1()()(3--+=t u t t tu t x 时的零 状态响应及全响应;3.(5分)画出该系统的任意一种模拟图和幅频特性曲线。
五.(25分)关于FFT 及其应用:1.(15分)设有一有限长实序列)(n x ,10-≤≤N n ,试给出利用基2FFT 计算自相关序列)(n y 的方法步骤,要求尽量减少乘法运算次数。
(提示:自相关指)(n x 与其自身的线性相关)2.(10分)给出按频率抽取(DIF )基2FFT 算法的蝶形运算公式,画出N=8时相应的算法流图,并说明其特点。
六.(20分)设理想数字带通滤波器的幅频响应为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤≤≤≤=πωππωπωπω||2,4||02||41|)(|j d e H要求用频率取样设计法设计相应的N=17时的线性相位FIR 数字带通滤波器:1.(5分)确定频率取样值)(k H ,1,,1,0-=N k;2.(5分)给出系统函数)(z H ; 3.(5分)给出频率响应)(ωj e H ;4.(5分)画出系统的任意一种结构图。
一.(30分)简述题(每小题5分)17. 由差分方程][][][n x n y n y =-+12描述的系统在什么条件下是稳定的。
18. 已知LTI 系统,给定初始状态不变,当输入为)()(t u t x =时,系统全响应为)()()(t u e e t y t t 3232---=;当输入为)()(t u t x 3=时,系统全响应为)()()(t u e e t y t t 3254---=;问给定初始状态下的零输入响应)(t y 0为何?19. 两个离散时间信号都是从0时刻开始取值为1,长度为4的序列, 分别求它们的线性卷积和4点圆周卷积。
20. 确定如下信号的奈奎斯特抽样率)(s i n )(s i n )(t c t c t x 50200+=21. 一个连续时间信号的拉氏变换)(s X 有两个极点1221-==s s ,,指出)(s X 所有可能的收敛域(ROC ),并对每一种ROC 指出其反变换)(t x 可能是下述哪一种函数:右边;左边;双边。
22. 已知一个连续时间信号的最高频率成分不超过5kHz ,按10kHz 进行抽样,得到离散信号;对此离散信号作DTFT ,在πω30.=处存在一个冲激串。
问:(1)在ω轴其它位置是否也有冲激,若有,写出其位置的值; (2)这个冲激对应的模拟信号的频率值是多大?二.(25分)已知系统的单位冲激响应)()()(T t u t u t h --=,求:(1)(9分)系统函数)(s H 及频率响应)(ωj H ,并画出)(ωj H 的幅频特性和相频特性;(2)(8分)当输入为)()()(T t u t u t h --=时,求系统的零状态响应)(t y x ,并画出其波形;(3)(8分)当输入为)()()(nT t et x n ts --=∑∞=-δ031时,求系统的零状态响应)(t y x ,并画出其波形。
三.(25分)已知系统如图3所示2001]sin [)(tt t x πωωπ=⎩⎨⎧<<=05310ωωωω||)(A H⎩⎨⎧<=031ωωω||)(B H求:(1)(7分)写出)(ω1X 的表达式,画出)(ω1X 及)(ω2X 的频谱图;(2)(6分)画出)(ω3X 的频谱图; (3)(6分)画出)(ω4X 的频谱图;(4)(6分)画出)(ω5X 的频谱图,并求出)(t x 5的数学表示式。
四.(25分)已知一个离散时间LTI 系统的抽样响应][n h 如图4(a )所示,其中k 是未知整数,a,b,c 是未知实数,已知][n h 满足如下条件: (1) 设)(ωj eH 是][n h 的DTFT ,且)(ωj e H 为实偶函数;(2) 若输入n j ne n x ω=-=)(][1,∞<<∞-n ,则输出为0=][n y ;(3) 若输入][)(][n u n x n 21=,则输出292==n n y |][; 试确定:(1)(7分)系统函数)(z H (表达式中允许带未知数);其它其它(2)(12分)系统的单位抽样响应][n h (即确定][n h 中未知数的值) (提示:先确定k 的值及a 与c 的关系)(3)(6分)系统在如图4(b )所示][n x 作用下的零状态响应][n y x ;五.(25分)关于DFT 和FFT1.(15分)设有一有限长序列][n x ,1210-=N N ,,,, ,需要用DFT 计算其频谱,为减小栅栏效应和频谱泄漏,通常有效的做法是在序列的末端添加若干零,同时采用窗函数技术。