电荷与真空中的静电场9-1两个小球都带正电，总共带有电荷5.0 105C,如果当两小球相距2.0m时, 任一球受另一球的斥力为1.0N.试求：总电荷在两球上是如何分配的。
分析：运用库仑定律求解。
解：如解图9-1所示，设两小球分别带电q1，q2则有q1+q25. C 1 10 5①解图9-1由库仑定律得F qq?厂29 109盹1②4 n °r4由①②联立解得9-2两根6.0 10 2m长的丝线由一点挂下，每根丝线的下端都系着一个质量为0.5 10 3kg的小球.当这两个小球都带有等量的正电荷时，每根丝线都平衡在与沿垂线成60°角的位置上。
求每一个小球的电量。
分析：对小球进行受力分析，运用库仑定律及小球平衡时所受力的相互关系求解。
解：设两小球带电q，小球受力如解图9-2所示2F T cos30 ①4n 0R 解图9-2mg T sin30 ②联立①②得叫E tan30。
③q其中代入③式，得r9-3在电场中某一点的场强定义为E —，q。
若该点没有试验电荷，那么该点是否存在电场？为什么？答：若该点没有试验电荷，该点的场强不变.因为场强是描述电场性质的物理量，仅与场源电荷的分布及空间位置有关，与试验电荷无关，从库仑定律知道，试验rr —电荷q°所受力F与q0成正比，故E 一是与q°无关的。
q。
9-4直角三角形ABC 如题图9-4所示，AB 为斜边，A 点上 J有一点荷q i 1.8 10 9C ,B 点上有一点电荷q 2 4.8 10 9C ,已知BC 0.04m , AC 0.03m ,求C 点电场强度E 的大小和;超方向(cos37 0.8,sin370.6).分析：运用点电荷场强公式及场强叠加原理求解。
解：如解图9-4所示C 点的电场强度为E E r1 E 2C 点电场强度E 的大小方向为C即方向与BC 边成33.7 °9-5两个点电荷q 1 4 10 6C, q 2 8 10 6C 的间距为0.1m ,求距离它们都是0.1m 处的电场强度E 。
分析：运用点电荷场强公式及场强叠加原理求解。
解：如解图9-5所示E 1，E 2沿x 、y 轴分解 电场强度为9-6有一边长为a 的如题图9-6所示的正六角形，四个顶点 都放有电荷q ,两个顶点放有电荷一q 。
试计算图中在六角 形中心O 点处的场强。
分析：运用点电荷场强公式及场强叠加原理求解。
解:如解图 9-6 所示.设 q 1 q 2 q 3 q 6=q , q 4 q 5 =分析：将带电直线无限分割，取一段电荷元，运用点电荷场强公式表示电荷元的 场强，再积分求解。
注意：先将电荷元产生的场强按坐标轴分解然后积分，并利 用场强对称性。
解：如解图9-7建立坐标，带电直线上任一电荷元在 P 点产生的场强大小为题图9-4解图9-4解图9-5点电荷在o 点产生的电场强度大小均为E E 1E 2 E 3 L E 6q 24 n Q 3各电场强度方向如解图9-6所示, E 3与E 6抵消.根据矢量合成，按余弦定理有 解得 方向垂直向下.9-7电荷以线密度 均匀地分布在长为I 的直线上， 电直线的中垂线上与带电直线相距为 R 的点的场强。
求带——Hy v\ A题图9-6解图9-6根据对称性分析，合场强 首的方向沿y 轴的方向9-8两个点电荷q i 和q 2相距为I ，若（1）两电荷同号；（2） 两电荷异号，求电荷连线上电场强度为零的点的位置 •分析：运用点电荷场强公式及场强叠加原理求解。
解：如解图9-8所示建立坐标系，取q i 为坐标原点，指向 q 2的方向为x 轴正方向.（1）两电荷同号.场强为零的点只可能在q i 、q 2之间，设距q i 为x 的A 点.据题意有E i E 2即解图9-8解得⑵ 两电荷异号•场强为零的点在q i q 2连线的 延长线或反向延长线上，即E i =E 2解之得：xdEdx4 o (R 2 x 2)解图9-79-9无限长均匀带电直线，电荷线密度为 入被折成互成直角的 两部分•试求如题图9-9所示的P 点和P'点的电场强度. 分析：运用均匀带电细棒附近的场强公式及场强叠加原理求解。
解：以P 点为坐标原点，建立如解图9-10 (a)所示坐标系 均匀带电细棒产生的场强公式 E(cos 1 cos 2)i (sin 2 sin Jj4 n o a在P 点n1, 2n4所以竖直棒在P 点的场强为1 水平棒在P 点的场强为 所以在P 点的合场强 即P 点的合场强的大小为 方向与x 轴正方向成45° 同理以P 点为坐标原点，建立如图题 9-10解图⑵坐标在P 点 3 1 冗,2 n4 所以竖直棒在P 点的场强为 水平棒在P 点的场强为 i\ + \ +\ + \ + 4 \r+ |7 +a +A—所以在P 点的合场强为即P 点的合场强的大小为 方向与x 轴成-135 ° 9-10无限长均匀带电棒h 上的线电荷密度为1,12上的线 电荷密度为 2 , h 与〔2平行，在与h , J 垂直的平面上有一 点P,它们之间的距离如题图9-10所示，求P 点的电场强度。
分析：运用无限长均匀带电细棒的场强公式及场强叠加原 理求解。
解：h 在P 点产生的场强为 12在P 点产生的场强大小为 方向如解图9-11所示。
把E 2写成分量形式，有题图9-10在P 点产生的合场强为r r rE E 1 E 210.8 n 0解图9-109-11 一细棒被弯成半径为R 的半圆形，其上部均匀分布有电荷Q ,下部均匀分布电荷 Q ，如题图9-11所示,求圆心0 点处的电场强度。
分析：在半圆环说上取电荷元，运用点电荷场强公式及场强 叠加原理积分求解。
将带电半圆环分割成无数个电荷元， 运 用点电荷场强公式表示电荷元场强。
将电荷元电场进行矢量题图9-11分解，再进行对称性分析，然后积分求解。
2Q r解：把圆环分成无限多线元dl ，dl 所带电量为dq 2Qdl ，产生的场强为dE n R则dE 的大小为解图9-11把dE 分解成dE x 和dE y ,则由于Q 、 Q 带电量的对称性，x 轴上的分量相互抵 消，则所以圆环在0点产生的场强为9-12.一均匀带电球壳内半径 R 1 6cm ，外半径 R> 10cm ，电荷体密度为2 10 5C m3 4，求：到球心距离r 分别为5cm 、8cm 、12cm 处场点的场强.分析 此题属于球对称性电场，三个场点分别位于球层内半径以内、内外半径之 间、外半径以外三个区域，由高斯定理做高斯面求解。
解：根据高斯定理E dSr 12cm 时,4 n 3 3—（R ； R 13）3沿半径向外.9-13两平行无限大均匀带电平面上的面电荷密度分别为 + 6和-2®如题图9-13所示,(1) 求图中三个区域的场强E 1，E 2，E 3的表达式；33rR 142—3.48 10 N C 4 n o r当r 5 cm 时,q 0，得r 8 cm 时， q/ 33（rR；）方向沿半径向外.题图9-13(2)若 4.43 10 6C m 2，那么，E i , E ? , E 3各多大？分析：首先确定场强正方向，然后利用无限大均匀带电平板场强及场强叠加原理 求解。
解：(1)无限大均匀带电平板周围一点的场强大小为在I 区域U 区域川区域 (2)若 4.43 10 6C m 2 则9-14点电荷q 位于一边长为a 的立方体中心，试求(1) 在该点电荷电场中穿过立方体的任一个面的电通量；(2) 若将该场源点电荷移动到该立方体的一个顶点上，这时穿过立方体各面的 电通量是多少？ 分析此题需结合高斯定理以及对称性关系来求解。
解：(1) 由高斯定理可知，通过立方体的总的电通量■ E dS 2s 0立方体有六个面，当q 在立方体中心时，每个面上电通量相等，所以 通过每个面的电通量为(2)电荷在顶点时，将立方体延伸为边长2a 的立方体，使q 处于边长2a 的立方体中心，则通过边长2a 的正方形上电通量边长2a 的正方形共有四个边长a 的正方形，由于对称性，则通过边长 为a 的正方形的电通量为q 24 09-15 一均匀带电半圆环，半径为分析：将带电半圆环分割成无数个电荷元， 根据点电荷电势公式表示电荷元的电 势，再利用电势叠加原理求解。
解：把半圆环无穷分割，如解图 9-15取线元dl ，其带电量为dq —d|，则其n R在圆心0的电势为：. dq Qdl解图9-15duR ，电量为+Q ，求环心处的电势。
4 n 0R 4 n 0 R n R所以整个半圆环在环心 0点处的电势为9-16 一面电荷密度为 的无限大均匀带电平面，若以该平面处为电势零点，求带电平面周围的电势分布。
分析：利用无限大均匀带电平面的场强公式及电势与电场 强度的积分关系求解。
解图9-16解：如解图9-16所示建立坐标系，所以无限大平面周围 的场强分布为取该平面电势为零，则周围任一点 P 的电势为9-17 如题图 9-17所示，已知 a 8 102m ,b 6 10 2m ,8 8q 1 3 10 Cq 3 10 C ，D 为qg 连线中点，求： （1） D 点和B 点的电势；（2） A 点和C 点的电势；（3） 将电量为2 10 9C 的点电荷q o 由A 点移到C 点， 电场力所做的功；（4将q 0由B 点移到D 点，电场力所做的功。
分析：由点电荷的电势的公式及叠加原理求电势。
静电力 是保守力，保守力做功等于从初位置到末位置势能增量的 负值。
解：（1）建立如解图9-17所示坐标系，由点电荷产生的 电势的叠加得 同理，可得（2） U A 」 ------------- _:4n 0b 4 n 0Jb 2 a 2（3） 将点电荷q 0由A 点移到C 点，电场力所做的功 （4） 将q 0由B 点移到D 点，电场力所做的功9-18如题图9-18所示，在A ，B 两点处放有电量分别为 q ， q 的点电荷，AB 间距离为2R ，现将另一正试验点电荷q 。
从O 点经过半圆弧移到C 点，求移动过程中电 场力做的功. 分析同上题。
解：O 点的电势为C 点的电势为所以9-19两点电荷q 1=1.5 X 0-8C ，q ? =3.0 X 0-8C ，相距*=42cm ，要把它们之间的距.4*C* 1£-------- (7 --------题图9-17解图9-17离变为r2 =25cm，电场力做功为多少此题用电场力做功定义式积分求解，需注意电场力做功的正负值半径为R i 和R 2（R 2 > R i ）的两无限长同轴圆柱面，单位长度上分别带有电量和，试求：（1） 空间场强分布； （2） 两圆柱面之间的电势差。