三次函数与四次函数大连市红旗高中王金泽 wjz9589＠在初中，已经初步学习了二次函数，到了高中又系统的学习和深化了二次函数，三次函数是继二次函数后接触的新的多项式函数类型，它是二次函数的发展，和二次函数类似也有“与x轴交点个数”等类似问题。

三次函数是目前高考尤其是文科高考的热点，不仅仅如此，通过深化对三次函数的学习，可以解决四次函数问题。

2008年高考有多个省份出现了四次函数高考题，本文的目的就是，对三次函数做个重点的归纳，并且阐述在四次函数中的应用第一部分：三次函数的图象特征、以及与x轴的交点个数（根的个数）、极值情况三次函数图象说明a对图象的影响可以根据极限的思想去分析当a＞0时，在x→+∞右向上伸展，x→-∞左向下伸展。

当a＜0时，在x→+∞右向下伸展，x→-∞左向上伸展。

(可以联系二次函数a对开口的影响去联想三次函数右侧伸展情况)与x轴有三个交点若032>-acb,且)()(21<⋅xfxf，既两个极值异号；图象与x轴有三个交点与x轴有二个交点若032>-acb,且)()(21=⋅xfxf，既有一个极值为0，图象与x轴有两个交点与x轴有一个交点1。

存在极值时即032>-acb,且0)()(21>⋅xfxf，既两个极值同号，图象与x轴有一个交点。

2。

不存在极值，函数是单调函数时图象也与x轴有一个交点。

1.()0f x =根的个数三次函数d cx bx ax x f +++=23)(导函数为二次函数:)0(23)(2/≠++=a c bx ax x f ， 二次函数的判别式化简为：△=)3(412422ac b ac b -=-， (1) 若032≤-ac b ，则0)(=x f 恰有一个实根；(2) 若032>-ac b ,且0)()(21>⋅x f x f ，则0)(=x f 恰有一个实根； (3) 若032>-ac b ,且0)()(21=⋅x f x f ，则0)(=x f 有两个不相等的实根； (4) 若032>-ac b ,且0)()(21<⋅x f x f ，则0)(=x f 有三个不相等的实根.说明(1)(2)0)(=x f 含有一个实根的充要条件是曲线)(x f y =与X 轴只相交一次，即)(x f 在R 上为单调函数（或两极值同号），所以032≤-ac b （或032>-ac b ，且0)()(21>⋅x f x f ）.(3)0)(=x f 有两个相异实根的充要条件是曲线)(x f y =与X 轴有两个公共点且其中之一为切点，所以032>-ac b ，且0)()(21=⋅x f x f .(4)0)(=x f 有三个不相等的实根的充要条件是曲线)(x f y =与X 轴有三个公共点，即)(x f 有一个极大值，一个极小值，且两极值异号.所以032>-ac b 且0)()(21<⋅x f x f .2.极值情况：三次函数d cx bx ax x f +++=23)(（a ＞0）, 导函数为二次函数)0(23)(2/>++=a c bx ax x f ， 二次函数的判别式化简为：△=)3(412422ac b ac b -=-， (1) 若032≤-ac b ，则)(x f 在),(+∞-∞上为增函数；(2) 若032>-ac b ，则)(x f 在),(1x -∞和),(2+∞x 上为增函数，)(x f 在),(21x x 上为减函数，其中aac b b x a ac b b x 33,332221-+-=---=.证明：c bx ax x f ++=23)('2, △=)3(412422ac b ac b -=-，(1) 当0≤∆ 即032≤-ac b 时，0)('≥x f 在 R 上恒成立， 即)(x f 在),(+∞-∞为增函数.(2) 当0>∆ 即032>-ac b 时，解方程0)('=x f ，得aac b b x a ac b b x 33,332221-+-=---=由0)('>x f 得1x x <或2x x >，)(x f 在),(1x -∞和),(2+∞x 上为增函数. 由0)('<x f 得21x x x <<，)(x f 在),(21x x 上为减函数.总结以上得到结论:三次函数)0()(23>+++=a d cx bx ax x f , (1) 若032≤-ac b ，则)(x f 在R 上无极值；(2) 若032>-ac b ，则)(x f 在R 上有两个极值；且)(x f 在1x x =处取得极大值，在2x x =处取得极小值. 由此三次函数的极值要么一个也没有，要么有两个。

【例题1】：（2005全国二卷）设a 为实数，函数32()f x x x x a =--+． （Ⅰ）求()f x 的极值；（Ⅱ）当a 在什么范围内取值时，曲线()y f x =与x 轴仅有一个交点．解：（I ）f x x x '()=--3212若f x '()=0，则x =-131， 当x 变化时，)(),('x f x f 变化情况如下表：x()-∞-，13-13()-131， 1 ()1，+∞f x '() ＋0 －0 ＋f x ()↑极大值↓极小值↑所以f(x)的极大值是a f +=-275)31(，极小值是f a ()11=- （II ）函数f x x x x a x x a ()()()=--+=-++-322111由此可知x 取足够大的正数时，有f x ()>0，x 取足够小的负数时有f x ()<0，所以曲线y f x =()与x 轴至少有一个交点。

结合f(x)的单调性可知： 当f(x)的极大值5270+<a ，即a ∈-∞-()，527时，它的极小值也小于0，因此曲线y f x =()与x 轴仅有一个交点，它在()1，+∞上；当f(x)的极小值a ->10，即a ∈+∞()1，时，它的极大值也大于0，因此曲线y f x =()与x 轴仅有一个交点，它在()-∞-，13上所以当a ∈-∞-+∞()()，，5271 时，曲线y f x =()与x 轴仅有一个交点。

（也可以直接用1()(1)03f f -⋅>，）[变式训练]：a 为何值时f （x ）的图象与直线y=1恰有一个交点 分析：令 极大值1275)31(<+=-a f ，或极小值11)1(>-=a f第二部分：在四次函数中的应用由于四次函数的导函数为三次函数，所以四次函数的问题往往转化为三次函数问题 【例题2】(2008湖南文) 已知函数43219()42f x x x x cx =+-+有三个极值点。

（I ）证明：275c -<<；（II ）若存在实数c ，使函数)(x f 在区间[],2a a +上单调递减，求a 的取值范围。

解：（I ）因为函数43219()42f x x x x cx =+-+有三个极值点, 所以32()390f x x x x c '=+-+=有三个互异的实根.设32()39,g x x x x c =+-+则2()3693(3)(1),g x x x x x '=+-=+- 当3x <-时，()0,g x '> ()g x 在(,3)-∞-上为增函数; 当31x -<<时，()0,g x '< ()g x 在(3,1)-上为减函数; 当1x >时，()0,g x '> ()g x 在(1,)+∞上为增函数; 所以函数()g x 在3x =-时取极大值,在1x =时取极小值. 因为()0g x =有三个不同实根, 所以(3)0g ->且(1)0g <. 即2727270c -+++>,且1390c +-+<,解得27,c >-且5,c <故275c -<<.（II ）由（I ）的证明可知，当275c -<<时, ()f x 有三个极值点. 不妨设为123x x x ，，（123x x x <<），则123()()()().f x x x x x x x '=---所以()f x 的单调递减区间是1(]x -∞，,23[,]x x若)(x f 在区间[],2a a +上单调递减，则[],2a a +⊂1(]x -∞，, 或[],2a a +⊂23[,]x x ,若[],2a a +⊂1(]x -∞，,则12a x +≤.由（I ）知，13x <-,于是 5.a <- 若[],2a a +⊂23[,]x x ,则2a x ≥且32a x +≤.由（I ）知，23 1.x -<<又32()39,f x x x x c '=+-+当27c =-时，2()(3)(3)f x x x '=-+;当5c =时，2()(5)(1)f x x x '=+-.因此, 当275c -<<时，31 3.x <<所以3,a >-且2 3.a +≤即3 1.a -<<故5,a <-或3 1.a -<<反之, 当5,a <-或31a -<<时， 总可找到(27,5),c ∈-使函数)(x f 在区间[],2a a +上单调递减.综上所述, a 的取值范围是(5)(3,1)-∞--，. 总结：四次函数的导数是三次函数，有三个极值点说明三次函数有三个相异的实数根。

可以归结为三次函数图象与x 轴有三个交点问题，可以利用第一部分很好的解决 【例题3】(2008江西文)已知函数4322411()(0)43f x x ax a x a a =+-+> （1）求函数()y f x =的单调区间；（2）若函数()y f x =的图像与直线1y =恰有两个交点，求a 的取值范围． 解：（1）因为322()2(2)()f x x ax a x x x a x a '=+-=+- 令()0f x '=得1232,0,x a x x a =-== 由0a >时，()f x '在()0f x '=根的左右的符号如下表所示x(,2)a -∞- 2a -(2,0)a - 0(0,)aa (,)a +∞ ()f x '- 0+ 0-+()f x极小值极大值极小值所以()f x 的递增区间为(2,0)(,)a a -+∞与()f x 的递减区间为(2)(0)a a -∞-，与， （2）由（1）得到45()(2)3f x f a a =-=-极小值，47()()12f x f a a ==极小值4()(0)f x f a ==极大值要使()f x 的图像与直线1y =恰有两个交点，只要44571312a a -<<或41a <， 即4127a >或01a ≤<. 只要我们掌握了三次函数的这些性质，在高考中无论是主观题还是客观题，都能找到明确的解题思路，解题过程也简明扼要。