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轴扭转计算

5.3.1实心圆轴横截面上的应力
工程中要求对受扭杆件进行强度计算,根据扭矩T确定横截面上各点的切应力。下面用实心圆轴推导切应力在横截面上的分布规律。
1、变形几何关系
取一实心圆轴,在其表面等距离地画上圆周线和纵向线,如图5.9(a)所示,然后在圆轴两端施加一对大小相等、方向相反的扭转力偶矩 ,使圆轴产生扭转变形,如图5.9(b)所示,可观察到圆轴表面上各圆周线的形状、大小和间距均未改变,仅是绕圆轴线作了相对转动;各纵向线均倾斜了一微小角度 。
5.2横截面面积相同的空心圆轴和实心圆轴相比,为什么空心圆轴的强度和刚度都较大?
习题
5.1试作下列各轴的扭矩图。
题5.1图
5.2图示传动轴,转速 ,A轮为主动轮,输入功率 ,B、C、D为从动轮,输出功率分别为 , 。⑴试作轴的扭矩图;⑵如果将轮A和轮C的位置对调,试分析对轴受力是否有利。
题5.2图题5.3图
图5.11
3、静力学关系
根据图5.11所示,横截面上任意点的切应力 和扭矩有如下静力学关系
将(5.3)式代入
式中, 称截面的极惯性矩,代入上式,得
(5.4)
将(5.4)式代入(5.3)式,得到圆轴扭转横截面上任意点切应力公式
(5.5)
当 时,表示圆截面边缘处的切应力最大
(5.6)
式中, 称为抗扭截面系数。它是与截面形状和尺寸有关的量。
5.15实心轴和空心轴通过牙嵌式离合器连接在一起,已知轴的转速 ,传递功率 ,材料的许用切应力 ,试选择实心轴直径 和内外径比值 的空心轴外径 。
题5.15图
5.16已知传动轴的功率分别为 , , ,若AB段和BC段轴的最大切应力相同,试求此两段轴的直径之比及两段轴的扭转角之比。
题5.16图
5.17已知轴的许用切应力 ,切变模量 ,许用单位扭转角 ,试问此轴的直径d达到多大时,轴的直径应由强度条件决定,而刚度条件总可满足。
塑性材料
脆性材料
例题5.2汽车的主传动轴,由45号钢的无缝钢管制成,外径 ,壁厚 ,工作时的最大扭矩 ,若材料的许用切应力 ,试校核该轴的强度。
解:1、计算抗扭截面系数
主传动轴的内外径之比
抗扭截面系数为
2、计算轴的最大切应力
3、强度校核
主传动轴安全
例题5.3如把上题中的汽车主传动轴改为实心轴,要求它与原来的空心轴强度相同,试确定实心轴的直径,并比较空心轴和实心轴的重量。
5.3.2极惯性矩和抗扭截面系数
极惯性矩 和抗扭截面系数 可按其定义通过积分求得。下面介绍其计算方法。
对于图5.12(a)实心圆轴,可在圆轴截面上距圆心为 处取厚度为 的环形面积作为微面积dA,于是 ,从而可得实心圆截面的极惯性矩为
抗扭截面系数为
如为图(b)空心圆轴,则有
式中 为空心圆轴内外径之比。空心圆轴截面的抗扭截面系数为
图5.10
设半径R,根据平面假设,可以设想扭转时各横截面如同刚性平面一样绕杆轴作相对转动。则由图可知变形后,纵向线段 变为 , 和 的夹角为 (切应变), 对应横截面的圆心角 ,在小变形的条件下可以建立如下关系。
为了研究横截面上任意点的切应变,从圆轴截面内取半径为 的微段,如图5.10(b)所示。同理可得
第5章扭转
5.1 扭转的概念及外力偶矩的计算
5.1.1、扭转的概念
在工程实际中,有很多以扭转变形为主的杆件。例如图示5.1,常用的螺丝刀拧螺钉。
图5.1
图示5.2,用手电钻钻孔,螺丝刀杆和钻头都是受扭的杆件。
图5.2
图示5.3,载重汽车的传动轴。
图5.3
图示5.4,挖掘机的传动轴。
图5.4
图5.5所示,雨蓬由雨蓬梁和雨蓬板组成(图5.5a),雨蓬梁每米的长度上承受由雨蓬板传来均布力矩,根据平衡条件,雨蓬梁嵌固的两端必然产生大小相等、方向相反的反力矩(图5.5b),雨蓬梁处于受扭状态。
5.18长度、材料、外力偶矩相同的两根圆轴,一根是实心轴,直径为 ,另一根为空心轴,内外径之比 ,试求两轴具有相等强度时的重量比和刚度比。
5.19图示圆轴承受集度为m的均匀分布的扭力矩作用,已知轴的抗扭刚度 和长度l,试求B截面的扭转角 。
题5.18图题5.19图
5.20传动轴外径 ,长度 , 段内径 , 段内径 ,欲使轴两段扭转角相等,则 应是多长。
图5.5
分析以上受扭杆件的特点,作用于垂直杆轴平面内的力偶使杆引起的变形,称扭转变形。变形后杆件各横截面之间绕杆轴线相对转动了一个角度,称为扭转角,用 表示,如图5.6所示。以扭转变形为主要变形的直杆称为轴。
图5.6
本章着重讨论圆截面杆的扭转应力和变形计算。
5.1.2、外力偶矩的计算
工程中常用的传动轴(图)是通过转动传递动力的构件,其外力偶矩一般不是直接给出的,通常已知轴所传递的功率和轴的转速。根据理论力学中的公式,可导出外力偶矩、功率和转速之间的关系为:
若两横截面之间T有变化,或极惯性矩 变化,亦或材料不同(切变模量G变化),则应通过积分或分段计算出各段的扭转角,然后代数相加,即:
在工程中,对于受扭转圆轴的刚度通常用相对扭转角沿杆长度的变化率 来度量,用 表示,称为单位长度扭转角。即:
(5.8)
5.5.2圆轴扭转刚度条件
工程中轴类构件,除应满足强度要求外,对其扭转变形也有一定要求,例如,汽车车轮轴的扭转角过大,汽车在高速行驶或紧急刹车时就会跑偏而造成交通事故;车床传动轴扭转角过大,会降低加工精度,对于精密机械,刚度的要求比强度更严格。下式即为刚度条件
例题5.1图示传动轴,转速 ,A轮为主动轮,输入功率 ,B、C、D为从动轮,输出功率分别为 , , ,试求各段扭矩。
解:1、计算外力偶矩
2、分段计算扭矩,设各段扭矩为正,用矢量表示,分别为
(图c)
(图d)
(图e)
, 为负值说明实际方向与假设的相反。
3、作扭矩图
例题5.1图
5.3 等直圆轴扭转时横截面上的切应力
(5.1)
式中m----作用在轴上的外力偶矩,单位为 ;
N-----轴传递的功率,单位为 ;
n------轴的转速,单位为r/min。
图5.7
5.2 圆轴扭转时横截面上的内Байду номын сангаас及扭矩图
5.2.1扭矩
已知受扭圆轴外力偶矩,可以利用截面法求任意横截面的内力。图5.8a为受扭圆轴,设外力偶矩为 ,求距A端为x的任意截面 上的内力。假设在 截面将圆轴截开,取左部分为研究对象(图5.8b),由平衡条件 ,得内力偶矩T和外力偶矩 的关系
内力偶矩T称为扭矩。
扭矩的正负号规定为:自截面的外法线向截面看,逆时针转向为正,顺时针转向为负。
图5.8
图示5.8的b和c,从同一截面截出的扭矩均为正号。扭矩的单位是 或 。
5.2.2扭矩图
为了清楚地表示扭矩沿轴线变化的规律,以便于确定危险截面,常用与轴线平行的 坐标表示横截面的位置,以与之垂直的坐标表示相应横截面的扭矩,把计算结果按比例绘在图上,正值扭矩画在 轴上方,负值扭矩画在 轴下方。这种图形称为扭矩图。
5.3T为圆轴横截面上的扭矩,试画出截面上与T对应的切应力分布图。
5.4图示圆截面空心轴,外径 ,内径 ,扭矩 ,试计算 的A点处的扭转切应力 以及横截面上的最大和最小的扭转切应力。
题5.4图
5.5一直径为 的圆截面轴,其转速为 ,设横截面上的最大切应力为 ,试求所传递的功率。
5.6将直径 ,长 的钢丝一端嵌紧,另一端扭转一整圈,已知切变模量 ,求此时钢丝内的最大切应力 。
(5.9)
在工程中, 的单位习惯用 (度/米)表示,将上式中的弧度换算为度,得
对于等截面圆轴,即为
许用扭转角 的数值,根据轴的使用精密度、生产要求和工作条件等因素确定,对一般传动轴, 为 ~ ,对于精密机器的轴, 常取在 之间。
例题5.4图示轴的直径 ,切变模量 ,试计算该轴两端面之间的扭转角。
例题5.4图
解:1、求实心轴的直径,要求强度相同,即实心轴的最大切应力也为 ,即
2、在两轴长度相等、材料相同的情况下,两轴重量之比等于两轴横截面面积之比,即
讨论:由此题结果表明,在其它条件相同的情况下,空心轴的重量只是实心轴重量的31%,其节省材料是非常明显的。这是由于实心圆轴横截面上的切应力沿半径呈线性规律分布,圆心附近的应力很小,这部份材料没有充分发挥作用,若把轴心附近的材料向边缘移置,使其成为空心轴,就会增大 或 ,从而提高了轴的强度。然而,空心轴的壁厚也不能过薄,否则会发生局部皱折而丧失其承载能力(即丧失稳定性)。
图5.9
根据观察到的现象,由表及里作出如下假设。
⑴变形后,圆轴上所有的横截面均保持为平面,即平面假设;
⑵横截面上的半径仍保持为直线;
⑶各横截面的间距保持不变。
圆轴扭转时,横截面上的切应力非均匀分布,仅依靠静力方程无法求出,必须利用变形条件建立补充方程,即切应力的导出需按解超静定问题的相似步骤进行。
根据上述假设,从圆轴中取相距为 的微段进行研究,如图5.10(a)所示。
极惯性矩 的量纲是长度的四次方,常用的单位为 或 。抗扭截面系数 的
量纲是长度的三次方,常用单位为 或 。
(a)(b)
图5.12
5.4 等直圆轴扭转时的强度计算
5.4.1圆轴扭转强度条件
工程上要求圆轴扭转时的最大切应力不得超过材料的许用切应力 ,即
对于等截面圆轴,表示为
上式称为圆轴扭转强度条件
试验表明,材料扭转许用切应力 和许用拉应力 有如下近似的关系。
题5.8图
5.9一钢轴受扭矩 ,许用切应力 ,许用扭转角 ,切变模量 ,试选择轴的直径。
5.10桥式起重机题5.10图所示。若传动轴传递的力偶矩 ,材料的许用切应力 , ,同时规定 0.5°/m。试设计轴的直径。
题5.10图
5.11某空心钢轴,内外径之比 ,转速 ,传递功率 ,已知许用切应力 ,许用扭转角 ,切变模量 ,试设计钢轴的内径和外径。
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