第2课时 弧度制
课时目标
1.了解度量角的单位制，即角度制与弧度制．
2．理解弧度制的定义，能够对弧度和角度进行正确的换算．
识记强化
1．我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，即用弧度制度量时，这样的圆心角等于1 rad.
2．弧长计算公式：l ＝|α|·r (α是圆心角的弧度数)；扇形面积公式S ＝12l ·r 或S ＝1
2
|α|·r 2(α
是弧度数且0<α<2π)．
3．角度与弧度互化
度数 360° 180° 1° (180π
)° 弧度数 2π π π180
1
课时作业
一、选择题 1．－315°化为弧度是( )
A ．－43π
B ．－5π3
C ．－7π4
D ．－76π
答案：C
解析：－315°×π180＝－7π
4
2．在半径为2 cm 的圆中，有一条弧长为π
3
cm ，它所对的圆心角为( )
A.π6
B.π3
C.π2
D.2π3 答案：A
解析：设圆心角为θ，则θ＝π32＝π
6
.
3．与角－π
6
终边相同的角是( )
A.5π6
B.π3
C.11π6
D.2π3 答案：C
解析：与角－π6终边相同的角的集合为αα＝－π6＋2k π，k ∈Z ，当k ＝1时，α＝－π
6
＋2π
＝11π
6
，故选C.
4．下列叙述中正确的是( )
A ．1弧度是1度的圆心角所对的弧
B ．1弧度是长度为半径的弧
C ．1弧度是1度的弧与1度的角之和
D ．1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小，它是角的一种度量单位 答案：D
解析：由弧度的定义，知D 正确．
5．已知集合A ＝{x |2k π≤x ≤2k π＋π，k ∈Z }，B ＝{α|－4≤α≤4}，则A ∩B 为( ) A ．∅
B ．{α|－4≤α≤π}
C ．{α|0≤α≤π}
D ．{α|－4≤α≤－π}∪{α|0≤α≤π} 答案：D
解析：求出集合A 在[－4,4]附近区域内的x 的数值，k ＝0时，0≤x ≤π；k ＝1时，4<2π≤x ≤3π；在k ＝－1时，－2π≤x ≤－π，而－2π＜－4，－π＞－4，从而求出A ∩B .
6．下列终边相同的一组角是( )
A ．k π＋π
2
与k ·90°，(k ∈Z )
B ．(2k ＋1)π与(4k ±1)π，(k ∈Z )
C ．k π＋π6与2k π±π
6，(k ∈Z )
D.k π3与k π＋π
3，(k ∈Z ) 答案：B
解析：(2k ＋1)π与(4k ±1)π，k ∈Z ，都表示π的奇数倍．
二、填空题
7．在半径为2的圆中，弧长为4的弧所对的圆心角的大小是________rad. 答案：2
解析：根据弧度制的定义，知所求圆心角的大小为4
2
＝2 rad.
8．设集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫
αα＝k π2－π3，k ∈Z ，N ＝{α|－π<α<π}，则M ∩N ＝________.
答案：⎩⎨⎧⎭
⎬⎫－5
6π，－π3，π6，23π
解析：由－π<k π2－π3<π，得－43<k <83.∵k ∈Z ，∴k ＝－1,0,1,2，∴M ∩N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－5
6π，－π3，π6，23π.
9．时钟从6时50分走到10时40分，这时分针旋转了________弧度． 答案：－23π
3
解析：时钟共走了3小时50分钟，分针旋转了－⎝⎛⎭⎫3×2π＋56·2π＝－23π
3
三、解答题
10．一条铁路在转弯处成圆弧形，圆弧的半径为2 km，一列火车以30 km/h的速度通过，求火车经过10 s后转过的弧度数．
解：∵圆弧半径R＝2 km＝2 000 m，
火车速度v＝30 km/h＝
25
3m/s，
∴经过10 s后火车转过的弧长l＝
25
3×10＝
250
3(m)，
∴火车经过10 s后转过的弧度数|α|＝
l
R＝
250
3
2 000＝
1
24.
11．已知角α＝2010°.
(1)将α改写成θ＋2kπ(k∈Z,0≤θ<2π)的形式，并指出α是第几象限角；
(2)在区间[－5π，0)上找出与α终边相同的角；
(3)在区间[0,5π)上找出与α终边相同的角．
解：(1)2 010°＝2 010×
π
180＝
67π
6＝5×2π＋
7π
6.
又π<
7π
6<
3π
2，角α与角
7π
6的终边相同，故α是第三象限角．
(2)与α终边相同的角可以写为r＝
7π
6＋2kπ(k∈Z)．
又－5π≤r<0，
∴k＝－3，－2，－1.
∴与α终边相同的角为－
29
6
π，－
17
6
π，－
5
6
π.
(3)令0≤r＝
7
6
π＋2kπ＜5π，
∴k＝0,1，
∴与α终边相同的角为
7
6
π，
19
6
π.
能力提升
12．如下图所示，在某机械装置中，小正六边形沿着大正六边形的边顺时针方向滚动，小正六边形的边长是大正六边形边长的一半．如果小正六边形沿着大正六边形的边滚动一周后返回出发时的位置，在这个过程中，射线OA围绕点O旋转了θ角，其中O为小正六边形的中心，则θ等于()
A．－4πB．－6π
C．－8πD．－10π
答案：B
解析：小正六边形沿着大正六边形滚动一条边并且到下一条边上时，射线OA旋转了
π
3
＋
2π
3
＝π，则小正六边形沿着大正六边形的边滚动一周后返回出发时的位置时，共旋转了π×6＝6π.又射线OA 按顺时针方向旋转，则θ＝－6π，故选B.
13．已知集合M ＝⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x ⎪⎪
x ＝m π＋π6，m ∈Z ， N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪
x ＝n π2－π
3，n ∈Z ， P ＝⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x ⎪⎪
x ＝k π2＋π
6，k ∈Z ，试确定M 、N 、P 之间满足的关系． 解：解法一：集合M ＝⎩⎨⎧
x ⎪⎪⎭
⎬⎫
x ＝m π＋π6，m ∈Z ； N ＝⎩⎨⎧
x ⎪⎪⎭
⎬⎫x ＝n π2－π3，n ∈Z ＝⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎭
⎬⎫x ＝2m π2－π3或x ＝2m ＋12π－π3，m ∈Z
＝⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎭
⎬⎫
x ＝m π－π3或x ＝m π＋π6，m ∈Z ； P ＝⎩⎨⎧
x ⎪⎪⎭
⎬⎫x ＝k π2＋π6，k ∈Z ＝⎩⎨⎧
x ⎪⎪⎭
⎬⎫x ＝2m 2π＋π
6或x ＝2m －12π＋π6，m ∈Z
＝⎩⎨⎧
x ⎪⎪⎭
⎬⎫
x ＝m π＋π6或x ＝m π－π3，m ∈Z . 所以M N ＝P .
解法二：M ＝⎩
⎨⎧
x ⎪
⎪⎭
⎬⎫
x ＝m π＋π6，m ∈Z ＝⎩⎨⎧
x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＝6m ＋1
6π，m ∈Z
＝⎩⎨⎧
x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＝3·(2m )＋1
6π，m ∈Z ；
N ＝⎩⎨⎧
x ⎪⎪⎭
⎬⎫x ＝n π2－π3，n ∈Z ＝⎩⎨⎧
x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＝3n －2
6π，n ∈Z ；
P ＝⎩⎨⎧
x ⎪⎪⎭
⎬⎫x ＝k π2＋π6，k ∈Z ＝⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＝3k ＋1
6π，k ∈Z
＝⎩⎨⎧
x ⎪⎪⎭
⎬⎫x ＝3n －2
6π，n ∈Z ＝N .
所以M ⊆N ＝P .。