1.1.2 余弦定理
1. 掌握余弦定理的两种表示形式；
2. 证明余弦定理的向量方法；
3. 运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题．
一、课前准备
复习1：在一个三角形中，各 和它所对角的 的 相等，即 = = ．
复习2：在△ABC 中，已知10c =，A =45 ，C =30 ，解此三角形．
思考：已知两边及夹角，如何解此三角形呢？
二、新课导学
※ 探究新知
问题：在ABC ∆中，AB 、BC 、CA 的长分别为c 、a 、b .
∵AC = ， ∴AC AC •=
同理可得： 2222cos a b c bc A =+-， 2222cos c a b ab C =+-．
新知：余弦定理：三角形中任何一边的 等于其他两边的 的和减去这两边与它们的夹角的 的积的两倍．
思考：这个式子中有几个量？
从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？ 从余弦定理，又可得到以下推论：
222
cos 2b c a A bc
+-=
， ， ． [理解定理]
（1）若C =90︒，则cos C = ，这时222c a b =+
由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例． （2）余弦定理及其推论的基本作用为：
①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边； ②已知三角形的三条边就可以求出其它角．
试试：
（1）△ABC 中，a =2c =，150B =，求b ．
（2）△ABC 中，2a =，b ，1c ，求A ．
※ 典型例题
例1．在∆ABC 中，已知=a c 060=B ，求b 及A
变式1：在△ABC 中，若,3))((bc a c b c b a =-+++则A = ( )
A ．090
B ．060
C ．0135
D ．0
150
例2. 在△ABC 中，已知()()3a b c a b c ab +++-=，且2cos sin sin A B C ⋅=，试确定三角形的形状。

变式2：在△ABC 中，若,cos cos cos C c B b A a =+则△ABC 的形状是什么？
三、总结提升
※
学习小结
1. 余弦定理是任何三角形中边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；
2. 余弦定理的应用范围： ① 已知三边，求三角；
② 已知两边及它们的夹角，求第三边．
※ 知识拓展
在△ABC 中，
若222a b c +=，则角C 是直角； 若222a b c +<，则角C 是钝角； 222是锐角．
※
自我评价
你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好
B. 较好
C. 一般
D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 已知三角形的三边长分别为3、5、7，则最大角为（ ）. A ．60 B ．75 C ．120 D ．150
2. 已知锐角三角形的边长分别为2、3、x ，则x 的取值范围是（ ）.
A x <<
B x ＜5
C ． 2＜x
D ＜x ＜5
3．在△ABC 中，AB=5，BC=6，AC=8，则△ABC 的形状是（ ）
A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ． 钝角三角形
D ．非钝角三角形 4. 在△ABC 中，|AB |＝3，|AC |＝2，AB 与AC 的夹角为60°，则|AB －AC |＝________． 5. 在△ABC 中，已知三边a 、b 、c 满足222b a c ab +-=，则∠C 等于 ．
1.. 已知在ABC ∆中，︒=∠45A ，2=a ，6=c 解此三角形。

2.. 如图，在四边形ABCD 中，已知AD CD ⊥,10AD =， 14AB =, 60BDA ∠=,
135BCD ∠=，求BC 的长.
A
D
1.1.2 余弦定理参考答案
※ 典型例题
例1．⑴解：∵2222cos =+-b a c ac B
=222+-⋅cos 045
=2121)+- =8
∴=b
求A 可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：
⑵解法一：∵cos 2221
,22+-=
b c a A bc
∴0
60.=A
解法二：∵sin 0sin sin45,=a A B b
又 2.4 1.4 3.8,+=
21.8 3.6,⨯=
∴a ＜c ，即00＜A ＜090,∴0
60.=A
变式1： D 01
2sin ,sin 2sin sin ,sin ,302
b a B B A B A A ===
=或0150 例2.解：因为2cos sin sin A B C ⋅=，由正弦定理得 sin cos 2sin 2C c
A B b
==。

由余弦定理，222cos 2b c a A bc
+-=，得2222
,c b c a a b =+-∴=。

又因为()()3a b c a b c ab +++-=，所以2
2
()3,a b c ab +-=
∴2
2
2
43b c b -= 得b c = ，∴a b c ==.因此△ABC 为等边三角形。

变式2：在△ABC 中，若,cos cos cos C c B b A a =+则△ABC 的形状是什么？ 解：cos cos cos ,sin cos sin cos sin cos a A b B c C A A B B C C +=+=
sin 2sin 2sin 2,2sin()cos()2sin cos A B C A B A B C C +=+-= cos()cos(),2cos cos 0A B A B A B -=-+=
cos 0A =或cos 0B =，得2
A π
=
或2
B π
=
. 所以△ABC 是直角三角形。

※
当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
4．7 5. 60︒
1. 解：由余弦定理得：
445cos 62)6(22=︒⋅-+b b ∴
02322
=+-b b ∴ 13±=b 又
C b b cos 222)6(222⨯-+= ∴2
1cos ±=C ，︒=∠60C 或︒=∠120C ∴ ︒=∠75B 或︒=∠15B ∴ 13+=
b ，︒=∠60C ，︒=∠75B 或13-=b ，︒=∠120C ，︒=∠15B
2. 解：在ABD ∆中，设BD x =，
则BDA AD BD AD BD BA ∠⋅⋅-+=cos 22
22，
即
60cos 1021014222⋅⋅-+=x x ， ∴096102
=--x x ，
∴161=x ，62-=x （舍去），
由正弦定理：BCD BD
CDB BC ∠=
∠sin sin ，
∴
2830sin 135sin 16=⋅=
BC ．
A
B
C
D。