第3节等比数列【选题明细表】基础对点练(时间:30分钟)1.(2016·北京海淀模拟)在数列{a n}中,“a n=2a n-1,n=2,3,4,…”是“{a n}是公比为2的等比数列”的( B )(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件解析:当a n=0时,满足a n=2a n-1,n=2,3,4,…,但{a n}是等差数列,不是等比数列,故充分性不成立;又当{a n}是公比为2的等比数列时,有错误!未找到引用源。
=2,n=2,3,4,…,即a n=2a n-1,n=2,3,4,…,所以必要性成立,故选B.2.(2016·湖北华师一附中3月联考)在等比数列{a n} 中,a2a3a4=8,a7=8,则a1等于( A )(A)1 (B)±1(C)2 (D)±2解析:因为数列{a n}是等比数列,所以a2a3a4=错误!未找到引用源。
=8,所以a3=2,所以a7=a3q4=2q4=8,所以q2=2,a1=错误!未找到引用源。
=1,故选A.3.(2016·河北衡水中学五调)已知等比数列{a n}的公比q=2,且2a4, a6,48成等差数列,则{a n}的前8项和为( B )(A)127 (B)255 (C)511 (D)1 023解析:因为2a4,a6,48成等差数列,所以2a6=2a4+48,所以2a1q5=2a1q3+48,又因为q=2,所以a1=1,所以S8=错误!未找到引用源。
=255.故选B.4.(2016·山东烟台一模)已知数列{a n}是等比数列,且每一项都是正数,若a1,a49是2x2-7x+6=0的两个根,则a1·a2·a25·a48·a49的值为( B )(A)错误!未找到引用源。
(B)9错误!未找到引用源。
(C)±9错误!未找到引用源。
(D)35解析:因为{a n}是等比数列,且a1,a49是方程2x2-7x+6=0的两根,所以a1·a49=错误!未找到引用源。
=3.而a n>0,所以a25=错误!未找到引用源。
.所以a1·a2·a25·a48·a49=(a25)5=9错误!未找到引用源。
.故选B.5.(2016·河南开封一模)设等比数列{a n}的前n项和为S n,若S m-1=5,S m=-11,S m+1=21,则m等于( C )(A)3 (B)4 (C)5 (D)6解析:由已知得,S m-S m-1=a m=-16,S m+1-S m=a m+1=32,故公比q=错误!未找到引用源。
=-2,又S m=错误!未找到引用源。
=-11,故a1=-1,又a m=a1·q m-1=-16,故(-1)×(-2)m-1=-16,求得m=5.故选C.6.(2016·山西吕梁一模)已知S n是公差不为0的等差数列{a n}的前n 项和,且S1,S2,S4成等比数列,则错误!未找到引用源。
等于( C ) (A)4 (B)6 (C)8 (D)10解析:设公差为d,则S1=a1,S2=2a1+d,S4=4a1+6d,因为S1,S2,S4成等比数列,所以错误!未找到引用源。
=S1S4,即(2a1+d)2=a1(4a1+6d),解得d=0(舍去)或d=2a1,所以错误!未找到引用源。
=错误!未找到引用源。
=错误!未找到引用源。
=8.故选C.7.(2016·河南商丘一模)在各项均为正数的等比数列{a n}中,若a2=1, a8=a6+2a4,则a6= .解析:设公比为q,因为a2=1,则由a8=a6+2a4得q6=q4+2q2,q4-q2-2=0,解得q2=2,所以a6=a2q4=4.答案:48.等比数列{a n}的首项a1=-1,前n项和为S n,若错误!未找到引用源。
=错误!未找到引用源。
,则{a n}的通项公式a n= .解析:因为错误!未找到引用源。
=错误!未找到引用源。
,所以错误!未找到引用源。
=-错误!未找到引用源。
,因为S5,S10-S5,S15-S10成等比数列,且公比为q5,所以q5=-错误!未找到引用源。
,q=-错误!未找到引用源。
,则a n=-1×(-错误!未找到引用源。
)n-1=-(-错误!未找到引用源。
)n-1. 答案:-(-错误!未找到引用源。
)n-1{a n}是公差不为零的等差数列,并且a5,a8,a13是等比数列{b n}的相邻三项.若b2=5,则b n= .解析:因为{a n}是公差不为零的等差数列,并且a5,a8,a13是等比数列的相邻三项,所以(a5+3d)2=a5(a5+8d),所以a5=错误!未找到引用源。
d,所以q=错误!未找到引用源。
=错误!未找到引用源。
=错误!未找到引用源。
,因为b2=5,q=错误!未找到引用源。
,所以b1=错误!未找到引用源。
=3,所以b n=b1q n-1=3×(错误!未找到引用源。
)n-1.答案:3×(错误!未找到引用源。
)n-1{a n}的前n项和为S n,满足S n=4a n-p,其中p为非零常数.(1)求证:数列{a n}为等比数列;(2)若a2=错误!未找到引用源。
,求{a n}的通项公式.(1)证明:当n=1时,S1=4a1-p,得a1=错误!未找到引用源。
≠0,当n≥2时,a n=S n-S n-1=(4a n-p)-(4a n-1-p)=4a n-4a n-1,得3a n=4a n-1,即错误!未找到引用源。
=错误!未找到引用源。
,因而数列{a n}为公比为错误!未找到引用源。
的等比数列.(2)解:由(1)知,数列{a n}的通项公式为a n=错误!未找到引用源。
×(错误!未找到引用源。
)n-1,又a2=错误!未找到引用源。
,可知p=3,于是a n=(错误!未找到引用源。
)n-1.{a n}的前n项和,且公比q≠1,n是无穷等比数列已知1是错误!未找到引用源。
S2和错误!未找到引用源。
S3的等差中项,6是2S2和3S3的等比中项.(1)求S2和S3;(2)求此数列{a n}的前n项和.解:(1)根据已知条件错误!未找到引用源。
整理得错误!未找到引用源。
解得3S2=2S3=6,即错误!未找到引用源。
(2)因为q≠1,则错误!未找到引用源。
可解得q=-错误!未找到引用源。
,a1=4.所以S n=错误!未找到引用源。
=错误!未找到引用源。
-错误!未找到引用源。
(-错误!未找到引用源。
)n.能力提升练(时间:15分钟){a n}满足:a n+1=λa n-1(n∈N*,λ∈R且λ≠0),若数列{a n-1}是等比数列,则λ的值等于( D )(A)1 (B)-1(C)错误!未找到引用源。
(D)2解析:由a n+1=λa n-1,得a n+1-1=λa n-2=λ(a n-错误!未找到引用源。
).由于数列{a n-1}是等比数列,所以错误!未找到引用源。
=1,得λ=2.故选D.13.(2016·河北衡水中学调研)已知等差数列{a n}的公差d≠0,且a1,a3,a13成等比数列,若a1=1,S n为数列{a n}的前n项和,则错误!未找到引用源。
的最小值为( A )(A)4 (B)3 (C)2错误!未找到引用源。
-2 (D)错误!未找到引用源。
解析:由a1,a3,a13成等比数列得错误!未找到引用源。
=a1a13⇒(a1+2d)2=a1(a1+12d)⇒4d2=8a1d,因为d≠0,因此d=2a1=2,S n=n2,a n=2n-1,从而错误!未找到引用源。
=错误!未找到引用源。
=(n+1)+错误!未找到引用源。
-2≥2错误!未找到引用源。
-2=4,当且仅当n=2时取等号,故选A.14.(2016·山西四校联考)已知数列{a n}满足a1=1,a n+1·a n=2n(n∈N*),则S2 016= .解析:由题意得a n·a n+1=2n,a n+2·a n+1=2n+1⇒错误!未找到引用源。
=2, 因此a1,a3,a5,…构成一个以1为首项,2为公比的等比数列;a2,a4,a6,…构成一个以2为首项,2为公比的等比数列;从而S2 016=(a1+a3+…+a2 015)+(a2+a4+…+a2 016)=错误!未找到引用源。
+2×错误!未找到引用源。
=3(21 008-1).答案:3(21 008-1)15.已知数列{a n}满足a1=5,a2=5,a n+1=a n+6a n-1(n≥2).(1)求证:{a n+1+2a n}是等比数列;(2)求数列{a n}的通项公式.(1)证明:因为a n+1=a n+6a n-1(n≥2),所以a n+1+2a n=3a n+6a n-1=3(a n+2a n-1)(n≥2).又a1=5,a2=5,所以a2+2a1=15,所以a n+2a n-1≠0(n≥2),所以错误!未找到引用源。
=3(n≥2),所以数列{a n+1+2a n}是以15为首项,3为公比的等比数列.(2)解:由(1)得a n+1+2a n=15×3n-1=5×3n,则a n+1=-2a n+5×3n,所以a n+1-3n+1=-2(a n-3n).又因为a1-3=2,所以a n-3n≠0,所以{a n-3n}是以2首项,-2为公比的等比数列.所以a n-3n=2×(-2)n-1,即a n=2×(-2)n-1+3n(n∈N*).{a n}的前n项的和为S n,等比数列{b n}的各项均为正数,公比是q,且满足:a1=3,b1=1,b2+S2=12,S2=b2q.(1)求a n与b n;(2)设c n=3b n-λ·错误!未找到引用源。
,若数列{c n}是递增数列,求λ的取值范围.解:(1)由已知可得错误!未找到引用源。
所以q2+q-12=0,解得q=3或q=-4(舍),从而a2=6,所以a n=3n,b n=3n-1.(2)由(1)知,c n=3b n-λ·错误!未找到引用源。
=3n-λ·2n.由题意,c n+1>c n对任意的n∈N*恒成立,即3n+1-λ·2n+1>3n-λ·2n恒成立,亦即λ·2n<2·3n恒成立,即λ<2·(错误!未找到引用源。
)n恒成立. 由于函数y=(错误!未找到引用源。
)n是增函数,所以[2·(错误!未找到引用源。