1. 偏导数求解方法：例题：求22z=3x xy y ++在(1,2)处的偏导数. 解：把y 看作常量，得23zx y x∂=+∂ 把x 看作常量，得32zx y y∂=+∂ 将（1,2）带入上述结果，就得12|21328x y z x==∂=⋅+⋅=∂ 12|31227x y z y==∂=⋅+⋅=∂ 2. 高阶偏导数求解方法.设函数z (x,y)f =在区域D 内具有偏导数(x,y)x zf x∂=∂(x,y)y z f y ∂=∂ 按照对变量求导次序不同有下列四个二阶偏导数：22()(x,y)xx z z f x x x∂∂∂==∂∂∂, 2()(x,y)xy z zf y x x y ∂∂∂==∂∂∂∂2()(x,y)yx z z f x y y x ∂∂∂==∂∂∂∂, 22()(x,y)yy z zf y y y∂∂∂==∂∂∂3. 全微分.(求偏导数后加上,dx dy ) 函数(x,y)z f =的全微分： z z dz dx dy x y∂∂=+∂∂. 例题：计算函数xy z e =在点(2,1)处的全微分. 解： ,x y x yz z ye xe x y∂∂==∂∂222211|,|2x x y y z ze e x y ====∂∂==∂∂ 所以222dz e dx e dy =+ 4. 多元复合函数求导法则(先求偏导数，再对复合函数求偏导数).例题1：设z uv sin t =+，而t u e =，cos v t =，求全导数dydt。
解：sin cos t dz z du z dv zve u t t dt u dt v dt t∂∂∂=++=-+∂∂∂ cos sin cos (cos sin )cos t t te t e t t e t t t =-+=-+例题2：求22(xy ,x y)z f =的22zx∂∂（其中f 具有二阶连续偏导数）.解：22''122'2'1222'''''2''2''1112221224''3''22''111222()(2)2()(y 2)2(2)y 44z z y f f yx x x x xf y y f x x xy f xyf y f xy f x yf f xy f x y f ∂∂∂∂==+∂∂∂∂∂∂=+∂∂=++++=++5. 隐函数求导公式.定理1：设函数F(x,y)在点00P(x ,y )的某一领域内具有连续偏导数，且00F(x ,y )0=，00F (x ,y )0y ≠在点00(x ,y )的某一领域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数(x)y f =，它满足条件00(x )y f =，并有x ydy Fdx F =-. 定理2：设函数F(x,y,z)在点000P(x ,y ,z )的某一领域内具有连续偏导数，且000F(x ,y ,z )0=，000F (x ,y ,z )0z ≠在点000(x ,y ,z )的某一领域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数(x,y)z f =，它满足条件000(x ,y )z f =，并有xz z F x F ∂=-∂，y zF z y F ∂=-∂.例题：设方程xyz +=(x,y)z z =，求(1,0,1)dz |-.解：令(x,y,z)F xyz =+-Fx yz =+，Fy xz =+Fz xy =+z Fx x Fz ∂=-=∂yz F y y F z z ∂=-=∂(1,0,1)(1,0,1)|1,|z zx y --∂∂==∂∂(1,0,1)dz |dx -=-.6. 空间曲线的切线和法平面。
设曲线Γ的参数方程为(t),y (t),z (t)x ϕψω===(t αβ≤≤，三个函数在[,]αβ上可导).取曲线Γ上一点000M(x ,y ,z ),则曲线在M 点处的切线方程为000'''x y y z z (t)(t)(t)x ϕψω---== 切线方向向量成为切向量，向量 '''((t),(t),(t))T ϕψω= 就是曲线Γ在点M 的一个切向量.法平面过000M(x ,y ,z )，且以T 为法向量，法平面方程为'''000(t)(x )(t)(y y )(t)(z z )0x ϕψω-+-+-=例题：求曲线23,,x t y t z t ===在点(1,1,1)处的切线及法平面.解：因为'''2x 1,2,3t t t y t z t ===。
而点(1,1,1)所对应的参数t=1，所以 (1,2,3)T = 切线方程为111123x y z ---== 法平面方程为(x 1)2(y 1)3(z 1)0-+-+-= 即 236x y z ++=.7. 曲面的切平面与法线.设曲面∑由(x,y,z)0F =给出，000M(x ,y ,z )是曲面∑上的一点. 垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量，向量0000000((x ,y ,z ),(x ,y ,z ),(x ,y ,z ))x y z n F F F = 就是曲面∑在点M 处的一个法向量。
曲面的切面方程是000000000000(x ,y ,z )(x )(x ,y ,z )(y y )(x ,y ,z )(z z )0x y z F x F F -+-+-=曲面的法线方程是000000000000x y y z z (x ,y ,z )(x ,y ,z )(x ,y ,z )x y z x F F F v---==.例题：求旋转抛物面221z x y =+-在点(2,1,4)的切平面及法线方程.解: 22(x,y)x 1f y =+-(2,1,4)(,,1)=(2x,2y,-1)|(4,2,1)x y n f f n =-=-所以在点处的切平面方程是 4(x 2)2(y 1)(z 4)0-+---= 即 4x+2y-z-6=0 法线方程为214421x y z ---==- 求切平面的步骤：已知函数(x,y,z)F ，求其在000(x ,y ,z )处的切平面. (1)求一阶偏导数,,x y z F F F ; (2)法向量(,,)x y z n F F F = ;(3)切平面为: 000(x )(y y )(z z )0x y z F x F F -+-+-=. 8. 方向导数.如果函数(x,y)f 在点000(x ,y )p 可微分，那么函数在该点沿任一方向l 的方向导数存在，且有00(x ,y )00y 00|(x ,y )cos +(x ,y )sin x ff f lαβ∂=∂ 其中cos sin αβ，是方向l 的方向余弦. 例题：求函数2y z xe =在点(1,0)处沿着从点P (2,3)到点Q (1,2)-的方向导数.解：这里方向l 即(3,1)PQ =--的方向，与l同向的单位向量为e =. 因为函数可微分，且22(1,0)(1,0)|1,|22y y z ze xe x y∂∂====∂∂ 故所求方向导数为(1,0)|12z l ∂=+=∂ 9. 梯度.函数(x,y)f 在点000(x ,y )p 处的梯度记作00(x ,y )grad f ，即 0000y 00(x ,y )(x ,y )+(x ,y )x grad f f i f j = 10. 多元函数的极值和其求法.定理1：设函数(x,y)z f =在点00(x ,y )具有偏导数，且在点00(x ,y )处有极值，则有00y 00(x ,y )=0(x ,y )=0x f f ，定理2：设函数(x,y)z f =在点00(x ,y )的某一领域连续且有一阶及二阶连续偏导数00y 00(x ,y )=0(x ,y )=0x f f ，，令x 00x y00y y 00(x ,y )=A (x ,y )=B ,(x ,y )=C ,x f f f ，则(x,y)z f =在00(x ,y )处是否取得极值的条件如下：(1) 2AC-B 0>时具有极值，且当A<0或C<0时00(x ,y )f 是极大值，当A>0或C>0时00(x ,y )f 是极小值； (2) 2AC-B 0<时，00(x ,y )f 不是极值；(3) 2AC-B 0=时，可能有极值，也可能没有极值.（以上方法失效，需进一步判定）例题：求函数3322(x,y)x 339f y x y x =-++-的极值. 解：先解方程组22(x,y)3690(x,y)360x yf x x f y y ⎧=+-=⎪⎨=-+=⎪⎩ 求得驻点为(1,0)(1,2)(3,0)(3,2)--、、、. 再求二阶偏导数x (x,y)6x 6x f =+， x y (x ,y )0f =， yy (x,y)6y 6f =-+ 在点(1,0)处，2AC-B 1260=⋅>，又A>0，所以函数在(1,0)处有极小值(1,0)5f =-；在点(1,2)处，2AC-B 12(6)0=⋅-<，所以(1,2)f 不是极值； 在点(3,0)-处，2AC-B 1260=-⋅<，所以(3,0)f -不是极值； 在点(3,2)-处，2AC-B 12(6)0=-⋅->，又A<0，所以函数在(3,2)-处有极大值(3,2)31f -=.11. 条件极值 拉格朗日乘数法.(必考)要找函数(x,y)z f =在附加条件(x,y)0ϕ=下的可能极值点，可以先作拉格朗日函数：(x,y)(x,y)(x,y)L f λϕ=+其中λ为参数.求其对x 和y 的一阶偏导数，并使之为零，然后与(x,y)0ϕ=联立起来：(x,y)(x,y)0(x,y)(x,y)0(x,y)0x x yy f f λϕλϕϕ+=⎧⎪+=⎨⎪=⎩由方程组解出x ，y 及λ，这样得到的(x,y)就是函数(x,y)z f =在附加条件(x,y)0ϕ=下的可能极值点.例题1：求函数222(,y,z)23f x x y z =++在条件222100x y z ++=下的最大值和最小值. 解：作拉格朗日函数：222222(,y,z)23(100)L x x y z x y z λ=+++++- 令：222220*********x yz L x x L y y L z z x y z λλλ=+=⎧⎪=+=⎪⎨=+=⎪⎪++=⎩⇒0010x y z =⎧⎪=⎨⎪=±⎩0100x y z =⎧⎪=±⎨⎪=⎩ 1000x y z =±⎧⎪=⎨⎪=⎩因为(10,0,0)100,(0,10,0)200,(0,0,10)300f f f ±=±=±= 所以(10,0,0)100,(0,0,10)300min max f f f f =±==±= 例题2：抛物面22z x y =+被平面1x y z ++=截成一椭圆，求原点到这一椭圆的最长与最短距离.解：在椭圆上任取一点(x,y,z)，其到原点的距离是d =2222(x,y,z)f d x y z ==++.作拉格朗日函数：22222(,y,z)()(1)L x x y z x y z x y z λμ=++++-+++- 令：22220220201x y z L x x L y y L z z x y x y z λμλμλμ=++=⎧⎪=++=⎪⎪=-+=⎨⎪=+⎪⎪++=⎩112222x y x y z z ⎧⎧--====⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪=-=+⎩⎩1111(,,29,(,,292222f f --=-+=+ 由题目本身可知，最长和最短距离一定存在，所以,min max d d ==。