该点可微的 必要 条件.
3.函数z xe2y在点P(1,0)的梯度 (1 , 2 ) .
grad u( x, y) (ux , uy )
2
4.设f
(
x)
1,
1
x2
x 0 ,0 x
,
则其以2为周期的傅里叶
级数在点x 2处收敛于 0 .
5.若级数 un绝对收敛,则级数 un必定 收敛 .
n1
n1
6.若级数 un条件收敛，则级数 un 必定 发散 .
n1
n1
(填收敛或发散)
3
二、单项选择题(每小题 3分，共18分)
1.设f
( x,
y)
xy x2 y2
,
x2 y2 0，则f ( x, y)在点(0, 0)处( B )
0,
x2 y2 =0
( A)连续 (B)可导 (C)可微 (D)有极限
4.若幂级数 an xn在x 1处收敛,则该级数在x
n1
1 处( 2
B
)
( A)发散 (B)绝对收敛 (C)条件收敛 (D)敛散性无法确定
5.级数
n1
an
x
n收敛是
lim
n
an
0(
A
)条件
( A)充分 (B)充分必要 (C)必要 (D)非充分也非必要
6.下列级数中收敛的是( C ).
3n
( A) n1 n
(B) n1
1
1
n2 1 (C )n1 nsin n3
1
(D) n1 (1 1 )n n
5
三、计算题(每题10分，共40分)
1.设函数z z( x, y)由方程 x ln z 确定,求dz. zy
解：方程 x ln z 两边微分： zy
d( x ) z
y d( z ) zy
zdx xdz z2
12
练习：求f ( x, y) x2 y2 2在椭圆域D {( x, y) x2 y2 1}
上的最大值和最小值. (05研)
4
解：(1)解方程组
f f
x y
( (
x, x,
y) y)
2x 2
0 得区域内部的驻点(0, y0
0)
(2)求边界上的可能极值点
令F ( x, y, ) x2 y2 2 ( x2 y2 1)
解：原式= 3xdxdy y2dxdy 6 ydxdy 9 dxdy
D
D
D
D
=0 y2dxdy 0 9 12 D
=9 1 ( x2 y2 )dxdy
2D
(提示：用对称性)
=9 1
2
d
1 2 d
20
0
= 37
4
7
3.计算线积分I ( x2 y)dx ( x sin2 y)dy，其中L是在 L 圆周y 2x x2上点(0,0)到点(1,1)的有向弧.
S( x) (1)n1 x2n x (1)n1 x2n1dx
n1 2n
0 n1
x
(
(1)n1 x2n1 )dx
0 n1
x1 0 1 x2dx arctan x.
11
五、应用题(本题8分)
求f ( x, y) x2 y2 1在椭圆域D {( x, y) x2 y2 1} 4
n 1
n3
n1
n3
p 3 1 所以级数 1 收敛，
2
n3
n1
所以，原级数收敛, 是绝对收敛.
10
(1)n x2n2
解： lim n
2n+2 (1)n1 x2n
x2
2n
x2 1,即 1 x 1时，级数绝对收敛，
x2 1,即x 1, x 1时，级数发散，
所以级数的收敛半径为1，收敛区间为：(1,1)
y z
ydz zdy y2
1 x 11 z dx z2 dz z dz y dy
1x 11
z
dz
z2
dz
z
dx
dy y
z
z2
dz dx
dy
z x y(z x)
6
2.计算二重积分 (3x y2 6 y 9)dxdy, D
其中D {( x, y) x2 y2 1} .
解： P x2 y,Q ( x sin2 y)
y
P 1, Q 1
y
x
o
故所积分与路径无关.
B(1,1)
A
x
设L1 : y 0, x : 0 1; L2 : x 1, y : 0 1
则 原式 ( )( x2 y)dx ( x sin2 y)dy
L1
L2
1 x2dx 1(1 sin2 y)dy sin 2 7 .
0
0
46
8
4.设为圆柱面x2 y2 9介于z 0和z 3之间的部分的外侧,
计算曲面积分 xdydz ydzdx zdxdy .
解：补充曲面：1：z 3,上侧, n (0,0,1)
2：z 0,下侧, n (0,0,1)
( x, y) D {( x, y) x2 y2 9},
2013—2014学年《高等数学》 第二学期期末考试试题及答案
1
一、填空题(每小题3分, 共18分)
1.若直线L：x 1 y 3 z 5 与平面：x 2 y 3z 1 0平行，
m1 2
则m ___4_ .
2.z f ( x, y)在点( x, y)的偏导数 z ，z 存在是z f ( x, y)在 x y
上的最大值和最小值.
解: 设F ( x, y, ) x2 y2 1 ( x2 y2 1),则
4
Fx ( x, y, ) 2x 2 x 0,
解方程组
Fy ( x, F ( x,
y, ) y, )
2
x2Байду номын сангаас
y
y2
4
y
2 1,
0,
得：(0, 2); (1, 0).
f (0, 2) 3; f (1, 0)) 2; 所求的最大值为2,最大值为 3.
原式
3 dv
1 +2
1
2
1
2
3 dv 3 dxdy 0
D
3 32 3 3 32
54
9
四、解答题(每题8分，共16分)
1.级数 (1)n1
2
收敛吗？若收敛, 是绝对收敛
n1
n3
还是条件收敛 ?
解: 首先，考察级数
2
n3
n1
2
lim n3 2 且级数 1 为p 级数，
2.设区域D为x2 y2 1在第一象限的部分,则二重积分
xydxdy ( B )
D
1 y2
1 x2
( A)0 dx0 xydy;
1
1 y2
(C)0 dx0 xydy;
1
1 y2
(B)0 dy0 xydx;
(D) 1
2 d
1 r 2 sin 2dr.
20
0
4
3.设是曲面x2 y2 z2 R2，则 ( x2 y2 z2 )dS ( D ) ( A)2 R2 (B)2 R4 (C )4 R2 ( D)4 R4