P(ABC)＝P(A)P(B|A)P(C|AB). (2)
一般地，有下列公式：
P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2|A1)...P(An|A1…An－1). (334 )
例 7 盒中有3个红球，2个白球，每次从袋中任取一只， 观察其颜色后放回，并再放入一只与所取之球颜色相同的 球，若从盒中连续取球4次,试求第1、2次取得白球、第3 、4次取得红球的概率。
P(A)
一般地，设A、B是S中的两个事件，则
P (B|A )P (A B ) P (A )
(1.4.1 )
称为事件A发生的条件下事件B发生的条件概率 32
例6 设袋中有3个白球，2个红球，现从袋中任意抽取两次 ，每次取一个，取后不放回， （1）已知第一次取到红球，求第二次也取到红球的概率; （2）求第二次取到红球的概率 （3）求两次均取到红球的概率
记为 P ( A )
频率具有稳定性。
22
学以致用
抛阶砖游戏
“抛阶砖”是国外游乐场的典型游戏之一.参 与者只须将手上的“金币”（设“金币”的半径 为1）抛向离身边若干距离的阶砖平面上，抛出的 “金币”若恰好落在任何一个阶砖（边长为2.1的 正方形）的范围内（不与阶砖相连的线重叠）， 便可获大奖. 不少人被高额奖金所吸引，纷纷参 与此游戏，却很少有人得到奖品，请用今天所学 知识解释这是为什么。
29
4.概率的计算
i.加法公式：对任意两事件A、B，有 P(A+B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)
该公式可推广到任意n个事件A1,A2,…,An的情形
该公式可推广
P(A+B+C)＝P(A)＋P(B) ＋P(C)－P(AB) －P(AC) －P(BC) +P(ABC)
30
例4 (2004年研究生入学考试题)
设A—第一次取到红球, B—第二次取到红球
(1)P(B| A)14 (2)P(B)21P523252
(3)P(AB)21 1
P52 10
33
(2)条件概率下的乘法公式
设A、B，P（A）>0,则
P(AB)＝P(A)P(B|A).
(1)
式(1)就称为事件A、B的概率乘法公式。
式(1)还可推广到三个事件的情形：
20
第二节 频率与概率
1.频率
定义：记
fn
(
A)
nA n
；
其中 n A —A发生的次数(频数)；n—总试验次
数。称f n ( A ) 为A在这n次试验中发生的频率。
例：
➢ 中国国家足球队，“冲击亚洲”共进行了n次，其中成功了
一次，则在这n次试验中“冲击亚洲”这事件发生的频1率n 为；
➢ 某人一共听了16次“环境统计学”课，其中有12次迟到，
事件的运算律 交换律：A B B A ; A B B A ; 结合律： A(BC)(AB)C;
A(BC)(AB)C; 分配律：A (B C )(A B ) (A C );
A (B C )(A B ) (A C );
德.摩根律：A B A B ;A B A B . 19
第一节 随机事件
7 10
7
87
,
P(B)=
10
7
（3）C出现次数
m=
9
5
C
2 7
,
P(C)=95CFra bibliotek2 7
10 7
28
第二节 频率与概率
• 例3：一袋中有8个球，其中3个为红球，5个为黄球，设摸到 每一球的可能性相等，从袋中不放回摸两球， 记A={恰是一 红一黄}，求P(A)．
解：P(A)C 3 1C 5 1/C 8 21 25 853.6%
(反, 反), (反, 正), (正, 反), (正, 正)
因此样本空间 ={(反, 反), (反, 正), (正, 反), (正, 正)}
10
第一节 随机事件
4)掷两次骰子作为一次试验, 将两次试验结果排 序, 则共有36种可能的结果: ={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6), (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6), (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6), (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6), (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6), (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}
环境统计学
（Environmental Statistics ）
1
环境统计学
• 第1章 绪论
• 第2章 概率统计基础
• 第3章 环境一元线性回归分析
• 第4章 环境多元线性回归分析
• 第5章 环境系统聚类分析
• 第6章 环境模糊聚类分析
• 第7章 环境判别分析
• 第8章 环境主成分分析
• 第9章 环境因子分析
1)掷一次硬币为一个试验, 则有两个可能的试验结果, 正面和反面, 则 ={正面, 反面}
2) 掷一次骰子为一个试验, 则有六个可能的试验结果, 1点, 2点, 3点, 4点, 5点和6点, 因此样本空间为
={1点, 2点, 3点, 4点, 5点, 6点}
9
第一节 随机事件
3)掷两次硬币作为一次试验, 将两次试验结果排序, 则共有四种可能的结果:
点估计 区间估计 置信区间
假设检验
4
第一节 随机事件
随机变量
概率分布
关键词与
概率
基本概念
随机变量的 特征数
样本 空间
随机试验 随机事件
5
第一节 随机事件
1.随机试验
(1). 试验：对自然现象进行一次观察或进行一次科学 实验，称为一次试验。
Examples: 掷一枚硬币，测烟气中SO2含量
(2).随机试验：为了研究随机现象, 就要对客观事物进 行观察.
• 不可能事件: 不包括任何元素的空集, 即 每次试验一定不会发生, 称为不可能事件, 用表示, 则={ }.
13
第一节 随机事件
5.事件间的关系及其运算 (1)事件的包含：BA或AB
B
A
(2)事件的相等：A=B
14
第一节 随机事件
(3)事件的并(和)：A+B 或 AB 即A、B中至少有一个发生.
对立事件一定互不相容, 但互不相容,事 件未必对立.
A B
17
第一节 随机事件
(8)完备事件组
若事件A1,A2,…,An为两两互不相容事件, 并且
A1+A2+…+An=,称构成一个完备事件组或构成一
个划分.
最常用的完备事件组是
A1
A3
某事件A与它的对立事件 A
A2
A4
A A
18
第一节 随机事件
记 A={听课迟到}，则
fn(A)121675%
# 频率 f n ( A ) 反映了事件A发生的频繁程度。
21
第二节 频率与概率
2.概率
如果随机事件 A 在 n 次试验中发生了
m 次，称比值 m n 为随机事件 A 的频率，
记为
Fn ( A)
m n
随机事件 A 发生可能性大小的数值称为
随机事件 A 发生的概率(probability)，
6
第一节 随机事件
2.随机试验
特点:
•在相同的条件下试验可以重复进行;
•每次试验的结果具有多种可能性, 而且在试验之前可以明确试验的所有 可能结果;
•在每次试验之前不能准确地预言该次试验将出现哪一种结果.
例： ✓ 抛一枚硬币，观察试验结果； ✓ 对某路公交车某停靠站登记下车人数； ✓ 对某批电子产品测试其输入电压； ✓ 对听课人数进行一次登记；
27
第二节 频率与概率
例2 从0，1，2，….,9十个数字中随机有放回地取7个数 字，求下列事件的概率
（1）A=7个数字全不相同； （2）B=不含0和1； （3）C=0恰好出现两次
解：基本事件总个数为n= 107
（1）事件A出现次数
m=
P
7 10
（2）事件B出现次数 m= 8 7
,
P(A)=
P 10
7
第一节 随机事件
3.样本空间
给定一个试验, 所有可能的结果的全体构成 一个集合, 这个集合称作样本空间, 用大写的希 腊字母表示, 这个样本空间中的每一个元素也称 作此样本空间的一个样本点, 可以用小写的希腊
字母表示.
σξ ψυ φ
西格马 可塞 普西 衣普西隆 斐
8
第一节 随机事件
试验和样本空间的例子
设随机 A,B及 事和 件A事 B的 件概率分别 是 0.4,0.3和 0.6.则积A事 B的件 概 P(A 率 B)___
解 由已知得:
0 . 6 P ( A B ) P ( A ) P ( B ) P ( A B )
0 . 4 0 . 3 P ( A B )
得 P(AB)0.1
故 P (A B ) P (A B ) P (A ) P (A B )（熟记）
（2）每个样本点出现的概率相等，即
P ({ 1 } )P ({ 2} ) P ({ n} )1 n
称满足以上2个性质的模型为古典概型。
25
第二节 频率与概率
随机事件 A , A{i1, , i2 , im },
定义
P(A) m
n
称此概率为随机事件 A 的古典概率。
0mn, 0P(A)1,
0 .4 0 .1 0 .3
31
ii.乘法公式
(1)条件概率 已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率称为A条件下 B的条件概率，记作P(B|A)