15
质点5-系2 角角动动量量守恒守定恒律
由
外
若
则
或
恒矢量
当质点系所受的合外力矩为零时，其角动量守恒。
16
两人质量相等
既忽略 滑轮质量
终点线
一 人 用 力 上 爬
又忽略 轮绳摩擦
终点线
一 人 握 绳 不 动
可能出现的情况是:
1(1) 两人同时到达； (2) 用力上爬者先到； (3) 握绳不动者先到； (4) 以上结果都不对。
解 因作用于物体的合外力矩为零，
故物体角动量守恒，得
O
vB
mv Ad mv Bl
lB
∴
vB

mvAd ml

4(m / s)
物体角动量： LB mv Bl
LB 1kg m2 / s
d
m vA
A
31
例7 我国第一颗东方红人造卫星的椭圆轨道长半轴为a = 7.79 ×
106 m，短半轴为 b = 7.72×106 m，周期 T = 114 min，近地点和远 地点距地心分别为 r1 = 6.82×106 m和 r2 = 8.76×106 m。（1）证明 单位时间内卫星对地心位矢扫过的面积为常量；（2）求卫星经 近地点和远地点时的速度V1 和V2 。
[ C] 【例3 】 一质点作匀速率圆周运动时,它的 （A）动量不变，对圆心的角动量也不变。 （B）动量不变，对圆心的角动量不断改变。 （C）动量不断改变，对圆心的角动量不变。 （D）动量不断改变，对圆心的角动量也不断改变。
[C]
19
1）角动量。 2）角动量守恒定律。 33）有心力与角动量守恒定律。
称为
若质点所受的合外力的方向始终通过参考点，其角动量守恒。如行星 绕太阳运动，以及微观粒子中与此类似的运动模型，服从角动量守恒定律。
10
开应用普质勒点的第角二动量定守律恒定律可以证明
开普勒第二定律
行星与太阳的连线在相同时间内扫过相等的面积
11
t时刻 m 对 O 的 角动量大小为:
瞬间 位矢扫过的微面积
R
m
900
P
m0
1
同上理可得 m 的速度v2 Gm0 / R
{
L2
大小；L2
2R m
Gm0 sin135 0 m R
Gm0 R
方向：垂直图平面向外，
27
【例5】质量同为m的两个小球系于一轻质弹簧两端，放在光滑
水平桌面上，弹簧处于自由伸长状态，长为 a，其劲度系数为k，
今使两球同时受水平冲量作用，各获得与连线垂直的等值反向初
高中物理复赛专题 之
角动量及其守恒
角动量的概念是在研究物体转动问题时引入的。与动 量、能量一样，角动量也是一个描述质点和质点系运动状 态的基本物理量；角动量守恒定律也是一个与动量守恒定 律和能量守恒定律并列的守恒定律。但是，角动量的概念 和数学表达要比动量、能量复杂一些。
〔例〕质点绕某一中心转动
宏观: 行星绕太阳运动
由机械能守恒：
2 1 mv2 1 k(b a)2
2
2

2

1 2
mv02
解以上两式，并将 b=2a代入，得： v0
2k a 3m
28
THE END
29
作业
练习三 10、11
30
例6 如图所示，在光滑水平面上有一长l=0.5m的绳子，一端固定
于O点，另一端系一质量m=0.5kg的物体。开始时，物体位于位置 A处，OA间的距离d=0.5m，绳子处于松弛状态。现在使物体以与 OA垂直的初速度 vA 4m / s 向右运动，到达位置B时物体速度的方 向与绳垂直。试求物体在B处的角动量和速度。 (课本5-4)
大小：L=rpsin θ = mrvsinθ
方向： r ( m v )
单位：千克·米2/秒（kg·m2/s）。
4
问题的提出
质点
地 球 上 的 单 摆
变
大小会变
对 的角动量 大小
太 阳 系 中 的 行 星
变变 变
大小未必会变。靠什么判断？
5
导致角动量 随时间变化的根本原因是什么？
思路： 分析
与什么有关？
解
地球在引力(有心力)作用下绕太阳运动，
对力心O 的力矩为零，因此角动量守恒。
即: r1mv 1 r2mv 2
∴
v

rv 11
3.03104 m
s
2r
2
(1) 该过程中地球动量守恒吗？
地球动量不守恒，因地球速度大小、方向均在变*。
(2) 能否按引力等于向心力立方程求解？ 曲率半径未知，条件不够。
和质点的角动量
2
L2
。
解： 力矩定义式
M rF

①在点1处： 力矩 M1
2
在点1处，m所受引力指向P点，故 M1 0
角动量 L1
由m作圆周运动的动力学方程，可得速度v
P
R
m
900
m0
1
G
m0m R2

m
v2 R
v Gm0 R
L r mv
{
∴ 角动量 L1
v1
v2
（指猴子这一侧的绳子）
而 v绳地 v物地 v2 , 则 v1 v v2
∴
v2

v 2
34
机械能是否守恒？
R
猴加速上爬过程中，重物也将加速上升。
对于猴、重物、地球组成的系统，由
于存在非保守内力 T1、T 2 做功，故系统机
T1
T2
械能不守恒。
动量是否守恒？
m2 g m1 g

d
2 3
，试求：(1)小球所受重力相对A，B，C的力矩；
(2)小球相对A，B，C的角动量。
解
(1)
力矩
M

r

F
{
MA
大小； M A mgd1
A
方向：垂直图平面向里，


g
d1
d2
m
v
d3
MB MA
M
C
0
(2)角动量 L r mv
B
C
{ L

A
LB
0
L
常量
dt
dt
2m
2m
（2） 卫星和地球视为系统，由角动量守恒，得
r1mv1 T dS
dt

r2mv2
ab

r1mTv12Lmr2mva2 b
L


v1

v2

2ab
Tr1
2ab
Tr2

8.1103 m / s 6.3103 m / s
20
5-3 有心力与角动量守恒定律
自然界中有些力具有这样的性质：力的方向始终通过 某一固定点，力的大小仅依赖于质点与这个点之间的距离。 我们称这样的力为有心力，相应的固定点称为力心。例如， 万有引力是有心力；静电作用力也是有心力。
物体运动仅受有心力作用时，
m
力对力心O点的力矩始终为零。
有心
在有心力作用下，运动物体
7
质点的角动量定理也可用积分形式表达
由
所受的合外力矩
称为 冲量矩
角动量的增量
8
1）角动量。 2）角动量守恒定律。 3）有心力与角动量守恒定律。
9
5-2 角动量守恒定律
根据质点的 角动量定理
若
则
即
常矢量
当质点 所受的合外力对某参考点 的力矩
为零时，质点对该点的角动量的时间变化率 为
零，即质点对该点的角动量 守恒。
m1v1R m2v2 R
∴ v1 v2
而 v绳地 v物地 v2 ,
17
讨论：
质点系
忽略轮、绳质量及轴摩擦
若
系统受合外力矩为零，角动量守恒。
系统的末 态角动量
系统的初 态角动量
得
不论体力强弱，两人等速上升。
若
系统受合外力矩不为零，角动量不守恒。
同高从静态开始 往上爬
可应用质点系角动量定理进行具体分析讨论。
18
【例2】 质点系的内力可以改变
（A）系统的总质量。 （B）系统的总动量。 （C）系统的总动能。 （D）系统的总角动量。
r 力F
对力心O的角动量守恒。
力心o
L1 L2
r1

mv1

r2

mv2
21
行星绕太阳运动：
引力指向太阳，行星
在引力(有心力)作用下
绕 且 力矩r太为//零F阳，，运M对动力r心，FO
而 的
0,
因此行星绕太阳运动过
程中角动量守恒。
22
例1 地球在远日点时，它离太阳的距离为 r1 =1.52×1011 m ，运动速率 v1 =2.93×104 m/s，当地球在近日点时，它 离太阳的距离r2 =1.47×1011 m，则运动速率v2为多少？
解 卫星在引力(有心力)作用下绕地球运
动，对力心O 的力矩为 零，因此角
动量守恒。设卫星质量为m，有:
L

r

p

r

mv

常矢量
r1 o
V2
r2
（1）dt时间内卫星位矢扫过面积 dS
V1
r
dr
dS 1 r dr sin
2
32
∴
dS

1 2
r
dr sin