人教A版必修第二册《8.3 简单几何体的表面积与体积》练习卷（1）一、选择题（本大题共3小题，共15.0分）1.如图，正方体ABCD−A′B′C′D′的棱长为4，动点E，F在棱AB上，且EF=2，动点Q在棱D′C′上，则三棱锥A′−EFQ的体积()A. 与点E，F位置有关B. 与点Q位置有关C. 与点E，F，Q位置都有关D. 与点E，F，Q位置均无关，是定值2.某圆锥的母线长是4，侧面积是4π，则该圆锥的高为()A. √15B. 4C. 3D. 23.半径为2cm的球的体积是()A. 8π3cm3 B. 16π3cm3 C. 323πcm3 D. 643πcm3二、填空题（本大题共11小题，共55.0分）4.(1)已知正六棱柱的各棱长都为a，那么其体积是________．(2)若正四棱锥的高为6，侧棱长为8，则棱锥的体积为________．(3)如果一个圆柱、一个圆锥的底面直径和高都等于一个球的直径，那么圆柱、球、圆锥的体积之比为________．5.已知一个正三棱台的两个底面的边长分别为8和18，侧棱长为13，则这个棱台的侧面积为______ ．6.已知正四棱锥P−ABCD的体积为43，底面边长为2，则侧棱PA的长为_______．7.一个六棱锥的体积为2√3，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为̲．8.表面积为6π的圆柱，当其体积最大时，该圆柱的高与底面半径的比为______ ．9.若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为2√3，则这个圆锥的全面积为______ ．10.将边长为1的正方形以其一边所在直线为轴旋转一周，所得几何体的侧面积是________．11.圆台两底面的半径分别为2和5，母线长是3√10，则它的轴截面的面积为____.12.已知正三棱柱的各条棱长均为a，圆柱的底面直径和高均为b，若它们的体积相等，则a3:b3的值为______．13.已知三棱锥S−ABC中，SA=SB=SC=AB=AC=2，则三棱锥S−ABC体积的最大值为______ ．14.如图，在平面四边形ABCD中，AB丄AD，AB=AD=1，BC=CD=5，以直线AB为轴，将四边形ABCD旋转一周，则所得旋转体的体积为______．三、解答题（本大题共2小题，共24.0分）15.正六棱锥的底面周长为24，斜高SH与高SO所成的角为30°．求：(1)棱锥的高；(2)侧棱长．16.已知圆台的上、下底面半径分别是2、5，且侧面面积等于两底面面积之和，求该圆台的母线长及体积大小．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：本题考查了学生的空间想象力及体积的转化，属于基础题．V A′−EFQ=V Q−EFA′，且△EFA′的面积不变，点Q到△EFA′所在平面的距离也不变，据此可判断．解：V A′−EFQ=V Q−EFA′，△EFA′的面积不变，点Q到△EFA′所在平面的距离也不变，故三棱锥A′−EFQ的体积与点E，F，Q位置均无关，是定值，故选D．2.答案：A解析：主要考查了圆锥的相关概念，属于基础题．根据圆锥的侧面积及母线长求出底面半径，进而利用勾股定理求出圆锥的高即可．解：如图，设圆锥的母线长为l，底面半径为r，高为h，则πrl=4π，解得r=1，所以ℎ=√l2−r2=√42−1=√15．故选A．3.答案：C解析：解：球的半径r=2，则球的体积为V=43πr3=43π×23=323π(cm3).故选C．由球的条件公式：V=43πr3，代入半径计算即可得到．本题考查球的体积的计算，考查运算能力，属于基础题．4.答案：(1)3√32a3(2)112(3)3:2:1解析：本题考查棱柱，棱锥，圆柱，圆锥，球体的体积，熟练掌握公式是关键，属于基础题．解：(1)由题意可知S底=6×12×a×√32a=3√32a2∴V=sℎ=3√32a2×a=3√32a3，(2)由题意可知正四棱锥底面边长为2√14，∴V=13sℎ=13×(2√14)2×6=112，(3)设球的半径为R，则圆柱和圆锥的底面半径和高为2R，∴V圆柱=πR2×2R=2πR3，V圆锥=13πR2×2R=23πR3，V球=43πR3，∴V圆柱：V圆锥：V球=3:2:1，故答案为(1)3√32a3(2)112(3)3:2:1．5.答案：468解析：解：作出一个侧面等腰梯形的高，也是棱台的斜高，则由等腰梯形的性质，可得斜高ℎ′=√132−(18−82)2=12再用棱台侧面积公式，得棱台的侧面积为S侧=12(3×8+3×18)×12=468故答案为：468正棱台的侧面积公式S棱台侧=12(C1+C2)ℎ′，其中C1、C2分别是上下底的周长，ℎ′是棱台的斜高．由此在侧面等腰梯形中，计算出棱台的斜高的长度，再结合公式可求出此棱台的侧面积．本题给出正三棱台棱台上下底面边长和侧棱长，求三棱台的侧面积，着重考查了正棱台的侧面积公式，属于基础题．6.答案：√3解析：本题主要考查棱锥的体积的应用．解：根据题意得，V P−ABCD=13×2×2·ℎ=43，解得ℎ=1，所以侧棱的长为：√(√2)2+1=√3，故答案为√3．7.答案：12解析：本题考查了棱锥的体积，侧面积的求法，解答的关键是能够正确利用体积与表面积公式解题．判断棱锥是正六棱锥，利用体积求出棱锥的高，然后求出斜高，即可求解侧面积．解：∵一个六棱锥的体积为2√3，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，∴棱锥是正六棱锥，设棱锥的高为h，则13×6×√34×22⋅ℎ=2√3，∴ℎ=1，棱锥的斜高为：√ℎ2+(√32×2)2=√1+3=2，该六棱锥的侧面积为：6×12×2×2=12．故答案为12.8.答案：2解析：解：设该圆柱的高为h，底面半径为r，∴表面积为2πr2+2πrℎ=6π，即r2+rℎ=3，∴ℎ=3−r2r；∴圆柱的体积为V=πr2ℎ=πr2⋅3−r2r=πr(3−r2)=3πr−πr3，∴V′=3π−3πr2，令V′=0，解得r=1，此时V最大；此时ℎ=3−121=2，∴ℎr =21=2．故答案为：2．设出圆柱的高为h，底面半径为r，由表面积公式，求出r与h的关系，写出圆柱的体积V的解析式，求出V取最大时的h与r的比值．本题考查了圆柱体的表面积与体积公式的应用问题，解题时应利用公式建立函数解析式，利用导数求函数解析式的最值，是综合题．9.答案：6π解析：解：一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为2√3，则它的边长是a，所以√34a2=2√3，∴a=2√2，这个圆锥的全面积是：2π+12×2π×√2×2√2=6π故答案为：6π．先求出圆锥的底面半径和母线长，然后再求圆锥的全面积．本题考查圆锥的有关知识，考查空间想象能力，是基础题．10.答案：2π解析：本题是基础题，考查旋转体的侧面积的求法，考查计算能力．边长为1的正方形，绕其一边所在直线旋转一周，得到的几何体为圆柱，从而可求圆柱的侧面积．解：边长为1的正方形，绕其一边所在直线旋转一周，得到的几何体为圆柱，则所得几何体的侧面积为：1×2π×1=2π，故答案为2π．11.答案：63解析：本题考查圆台的结构特征，属基础题．根据圆台的轴截面是等腰梯形，结合已知数据进行计算即可．解：圆台的轴截面为等腰梯形，∵圆台两底面的半径分别是2和5，母线长是3√10，∴圆台的高为√(3√10)2−(5−2)2=9，∴该圆台的轴截面的面积是12×(4+10)×9=63．12.答案：π:√3解析：本题考查棱柱与圆柱的体积公式，属于基础题目．利用棱柱、圆柱的体积公式求解即可．解：正三棱柱的体积V1=√34a2×a=√34a3，圆柱的体积V2=π(b2)2×b=π4b3，所以√34a3=π4b3，所以a3:b3=π:√3．13.答案：1解析：画出图形，知三棱锥S−ABC中，SA=SB=SC=AB=AC=2，BC的大小不定，三棱锥S−ABC体积最大时即三棱锥B−SAC的体积最大，当三棱锥B−SAC底面上的高最大时，即平面BAS⊥平面SAC时，三棱锥B−SAC的体积最大，从而求出体积最大值．本题借助于求三棱锥的体积考查空间中的垂直关系，其关键是三棱锥底面积一定，高取最大值时，体积最大．解：如图，三棱锥S−ABC中，SA=SB=SC=AB=AC=2，三棱锥S−ABC的体积为：V S−ABC=V B−SAC，当且仅当平面BAS⊥平面SAC时，三棱锥S−ABC的体积最大，此时，在平面BAS中，作BD⊥SA，则BD⊥平面SAC；∴BD是三棱锥B−SAC底面上的高，所以三棱锥的最大体积为：V S−ABC=V B−SAC=13⋅S△SAC⋅BD=13⋅12⋅2⋅2⋅sin60°⋅√32⋅2=1．故答案为：1．14.答案：12π解析：解：旋转体为圆台中去掉一个圆锥．连接AC交BD于O，则BD=√2，∴AO=OB=OD=√22．∴OC=√BC2−OB2=7√22，∴AC=4√2，过C作CE垂直于旋转轴，垂足为E，则CE=AE=4．∴圆台的上下地面半径分别为1，4，高为4，圆锥的底面半径为4，高为3，∴旋转体的体积为V=13π⋅(1+16+4)⋅4−13⋅16π⋅3=12π．根据三角形知识求出旋转体的底面半径和圆锥部分的高，代入体积公式得出答案．本题考查了旋转体的几何特征，体积计算，属于中档题．15.答案：解：(1)∵正六棱锥的底面周长为24，∴正六棱锥的底面边长为4，在正六棱锥S−ABCDEF中，取BC中点H，连结SH，则SH⊥BC，设O是正六棱锥S−ABCDEF的中心，连结SO，则SO⊥底面ABCDEF，∴OH⊥BC，∵斜高SH与高SO所成的角为30°，∴∠OSH=30°，∠SHO=60°，在Rt△SOH中，OH=√32BC=2√3，∴棱锥的高SO=OH⋅tan60°=2√3×√3=6．(2)在Rt△SOB中，SO=6，OB=BC=4，∴侧棱长SB=SO2+OB2=√36+16=2√13．解析：本题主要考查了正六棱锥的高，侧棱长，属于基础题．(1)设O是正六棱锥S−ABCDEF的中心，连结SO，则SO⊥底面ABCDEF，在Rt△SOH中，OH=√32BC=2√3，∴棱锥的高SO=OH⋅tan60°=2√3×√3=6．(2)在Rt△SOB中，SO=6，OB=BC=4，故侧棱长SB=SO2+OB2=√36+16=2√13．16.答案：解：设圆台的母线长为l，则圆台的上底面面积为S上=π⋅22=4π，圆台的下底面面积为S下=π⋅52=25π，所以圆台的底面面积为S=S上+S下=29π．又圆台的侧面积S侧=π(2+5)l=7πl，于是7πl=29π．即l=297为所求．该圆台的高为√(297)2−32=207，于是该圆台的体积为V=13πℎ(S上+S下+√S上S下)=260π7．解析：设圆台的母线长为l，求出圆台的上底面面积，圆台的下底面面积，利用圆台的底面面积等于圆台的侧面积求出圆台的母线，求出高，即可求解圆台的体积．本题考查圆台的表面积与体积的计算公式的应用，是基础题．。