§7-2 梁的挠曲线近似微分方程
一、曲率与弯矩的关系：
1 M r EI
1 M(x) ……（1 ）
r(x) EIz
y
二、曲率与挠曲线的关系（数学表达式)
1
r(x)
y 1(y)2
3 2
y1,→→
1 y
r(x)
x
Cy
……（2）
三、挠曲线与弯矩的关系： 联立（1）、（2）两式得
EyIM(x)
4、确定挠曲线方程和转角方程
5、计算任意截面的挠度、转角；挠度的最大值、转角的最大值。
例：求图示悬臂梁自由端的挠度及转角( EI=常数）。
解：a) 建立坐标系并写出弯矩方程
M (x)F (Lx)
b) 写出微分方程并积分
L
F
E y I M (x ) F (L x ) EyI1 2F(Lx)2C1 EIy1 6F(Lx)3C1xC2
c) 应用位移边界条件求积分常数
x=0处 : y(0) = 0 ; (0)=0 C11 2F2L;C21 6F3L
d) 确定挠曲线、转角方程
x
y
y(x) F 3L2xx3 6EI
yF x22Lx 2EI
e) 自由端的挠度及转角
y(L) FL3 (L) FL2
3EI
2EI
例：求图示简支梁的最大挠度
§7-1 梁变形的基本概念 挠度和转角
度量梁变形的参数---
梁的挠度，横截面的转角。
F
一、挠曲线：梁变形后的轴线。
性质：连续、光滑、弹性、 极其平坦的平面曲线。
二、挠度：横截面形心沿垂直于
xx
轴线方向的位移。用“y” 表示。
Cy
三、转角：横截面绕中性轴转过
的角度。用“” 表示。
F
挠度：横截面形心沿垂直于
E ( x ) I y ( M ( x ) d ) d x C x 1 x C 2
3、根据弯曲梁变形的边界条件和连续条件确定积分常数。
边界条件： （1）、固定端处：挠度等于零、转角等于零。
（2）、固定铰支座处；可动铰支座处：挠度等于零。
连续性条件：（3）、在弯矩方程分段处：
一般情况下左、右的两个截面挠度相等、转角相等。
a)
EI y1
Fb 2L
x12
C1
EIy2
Fb 2L
x22
F(x2 a)2 2
C2
EIy 1
Fb 6L
x13 C 1 x1
D1
EIy2
Fb 6L
x23
F(x2 a)3 6
C2x2
D2
Fb
b)写出微分方程并积分
左侧段（0≤x1≤a）：
l
a
b Fa
F
x1
l
A
C
B
x2
右侧段（a≤x2≤L）：
轴线方向的位移。 用“y” 表示。
转角：横截面绕中性轴转过
xx
的角度。用“” 表示。
x
Cy
四、挠度和转角的关系
y = y（x） ……挠曲线方程。 挠度向下为正；向上为负。
θ=θ(x) ……
转角方程。 由变形前的横截面转到变形后，
tgdyy(x)y
顺时针为正；逆时针为负。
dx
tgy(挠曲线为一条平坦的曲线)
M(x) y EI
EyIM(x)
M> 0
x
x
y ( x ) 0
y
y
结论：挠曲线近似微分方程——
M<0
y ( x ) > 0
EyIM (x)
EI
d2y dx2
M(x)
挠曲线近似微分方程的近似性——忽略了“Fs”以及( y)2
响
使用条件：弹性范围内工作的细长梁。
对变形的影
§7-3 积分法计算梁的变形
步骤：（EI为常量） 1、根据载荷分段列出弯矩方程 M（x）。
2、根据弯矩方程列出挠曲线的近似微分方程并进行积分
EyI(x)M (x)
E y (x I ) E(x I ) M (x )d C x 1
E ( x ) I y ( M ( x ) d ) d x C x 1 x C 2
3、根据弯曲梁变形的边界条件和连续条件确定积分常数。
第七章 弯曲变形
§1 梁变形的基本概念 挠度和转角 §2 挠曲线近似微分方程 §3 积分法计算梁的变形 §4 叠加法计算梁的变形 §5 简单超静定梁
工程中对梁的设计，除了必须满足强度条件外，还必 须限制梁的变形，使其变形在容许的范围之内。
梁弯曲变形的计算 目的：要控制梁的最大变形
在一定的限度内。 ----弯曲刚度的计算
ql3
C1
, 24
C2 0
ql/2
q ql/2
A
B
C
x
l
d)确定挠曲线和转角方程
y qx (l3 2lx2 x3) 24EI
y q (l3 6lx2 4x3)
24EI
e)最大挠度及最大转角
y max
max
x L 2
5 ql 4 384 EI
A ql 3
B
24 EI
例：求图示梁的跨中的挠度和转角
Fb
左侧段（0≤x1≤a）：
EI y1
Fb L
x1
EI y1
Fb 2L
x12
C1
（EI=常数） abL
Fb l
a
b Fa
解：a)建立坐标系并写出弯矩方程
F
AC段
M(x1)
Fb L x1
x1
A
C
l
B
CB段
M(x2)F Lb x2F(x2a)
x2
b)写出微分方程并积分
左侧段（0 ≤ x1 ≤ a）：
右侧段（a ≤ x2 ≤ L）：
EI y1
Fb L
x1
EIy2
Fb L
x2
F(x2
EI y1
Fb L
x1
EIy2
Fb L
x2
F(x2
a)
EI y1
Fb 2L
x12
C1
EIy2
Fb 2L
x22
F(x2 a)2 2
C2
EIy 1
Fb 6L
x13
C1 x1
D1
EIy2
Fb 6L
x23
F(x2 a)3 6
C2x2
D2
c) 应用位移边界条件和连续条件求积分常数
连续条件：y1(a) = y2(a), y’1(a) = y’2(a); 边界条件：y1(0) = 0 , y2(L) =0 C 1C 26 F L(L b 2 b 2); D 1D 20
PF
Aห้องสมุดไป่ตู้
C
B
D
P
边界条件： yA 0 yB 0
连续条件：
y C
左
y C
右
C左 C右
yD 0 D 0
积分法计算梁变形的步骤
1、根据荷载分段列出弯矩方程 M（x）。 2、根据弯矩方程列出挠曲线的近似微分方程并进行积分
EyI(x)M (x) E y (x I ) E(x I ) M (x ) d C x 1
和最大转角 ( EI = 常数 ）
解：a) 建立坐标系并写出弯矩方程
ql q2x q M (x) x (l
xx2)
2 22
b)写出挠曲线近似微分方程并积分
EyIq(lxx2)
EyIq(2lx2 22
x33)C1
EIyq 2(l6x31 x42 )C1xC2 c)应用位移边界条件求积分常数
x=0： y=0; x=l： y=0.