x px / 2
23
x px / 2
由于公式通常只用于数量级的估计，所以它又常 简写为： x p
x
推广到三维空间，则还应有： 说明：
y py ,
z pz
（1） 不确定性关系说明，微观粒子不可能同时 具有确定的位置和动量。粒子位置的不确定量越 小，动量的不确定量就越大，反之亦然。 （2） 不确定关系是由微观粒子的波粒二象性引起 的，而不是测量仪器对粒子的干扰，也不是仪器的 误差所致。
1 1 2 2 2 得： P 2 E0 E k E k E k 2 E k m0 c c c h hc 代入德布罗意公式 ，有: 2 P 2 E k 2 E k m0 c hc h 2 若 Ek m0c 则: 2 2m 0 E k 2 E k m0 c
Px
x a
y
21
电子通过单缝后，电子 要到达屏上不同的点， 具有 x方向动量 Px， 考虑中央明纹区：
x
px
p py

a x o
Px
0 px p sin
根据单缝衍射公式，其 第一级的衍射角满足：
y
sin

a
动量在 Ox轴上的分量的不确定量为:
P Px Px P sin x
E h
h h P c
4
1924年，德布罗意大胆地设想，波粒二象性不是 光所特有的，一切实物粒子也具有波粒二象性。 实物粒子：静止质量不为零的那些微观粒子，如 原子、电子、中子等。 粒子性：主要是指它具有集中的不可分割的特性。 波动性：它能在空间表现出干涉、衍射等波动现象， 具有一定的波长、频率。 实物粒子的波称为德布罗意波或物质波，物质波 的波长称为德布罗意波长。
h 2 1.4 10 nm m
X射线波段
宏观物体的波动性不必考虑，只考虑其粒子性。
8
例：静止的电子经电场加速，加速电势差为U，速度υ << c。求：德布罗意波长。不考虑相对论效应
解：
1 2eU 2 eU m0 2 m0 h h h m 0 m0 2eU m0 2em0U
20
21-6 不确定关系 一、引入 •经典力学：宏观粒子的运动具有决定性的规律，原 则上说可同时用确定的坐标与确定的动量来描述宏 观物体的运动。 •微观粒子：由于波动性，粒子以一定的概率在空间 出现，即粒子在任一时刻不具有确定的位置。 二、电子单缝衍射 电子通过单缝位 置的不确定量:
x

a x o
7
法国物理学家， 1929年诺贝尔物 理学奖获得者， 波动力学的创始 人，量子力学的 奠基人之一。
如：速度υ = 5.0102m/s飞行的子弹，质量为 m =10-2Kg，对应的德布罗意波长为：
h 1.3 10 25 nm m
太小测不到！
如：电子m=9.110-31Kg，速度υ = 5.0107m/s， 对应的德布罗意波长为：
24
海森伯因创立用矩阵数学描述微观粒子运动 规律的矩阵力学，获1932年诺贝尔物理奖。
不确定关系可用来划分经典力学与量子力学的界 限，如果在某一具体问题中，普朗克常数可以看成是 一个小到被忽略的量，则不必考虑客体的波粒二象性， 可用经典力学处理。
25
例：一颗质量为10g的子弹，以500m/s的速度飞行， 设速度的不确定量为0. 1% υ ，问在确定该子弹的位 置时，有多大的不确定量？ 解：子弹速度的不确定量为:
6
德布罗意 (Louis Victor due de Broglie, 1892-1960)
德布罗意原来学习历史， 后来改学理论物理学。他善于 用历史的观点，用对比的方法 分析问题。 1923年他提出电子既具有 粒子性又具有波动性。1924年 正式发表一切物质都具有波粒 二象性的论述。并建议用电子 在晶体上做衍射实验来验证。 1927年被实验证实。 爱因斯坦觉察到德布罗意 物质波思想的重大意义，誉之 为“揭开一幅大幕的一角”。
I
U
K
电子枪 检测器
电子束
M

散 射 线
G
54
U
电子被镍晶体衍射实验
实验发现，电子束 强度并不随加速电压而 单调变化，而是出现一 系列峰值。
12
2d si n k
2 D si n cos k 2 2


D sin k
相 对 强 度
U 54V
50
衍射角
k 1, 50
22
h 代入德布罗意关系： 得出： p
h Px 即 x px h x
考虑到更高级的衍射图样，则应有：
h 2
x px h
上述讨论只是反映不确定关系的实质，并不 表示准确的量值关系。 1927年德国物理学家海森伯由量子力学得到 位置与动量不确定量之间的关系：
1
4．物质波概念的提出令人惊讶
在论文答辩时，物质波概念的新颖，使答辩 委员会不知如何评价，但也不敢轻易否定，有人 问他：有没有办法验证这一观点？ 他回答：“通过电子在晶体上的衍射实验， 应当有可能观察到这种假定的波动的效应。” 他哥哥实验室中的一位实验物理学家道维勒 试图用阴极射线管做这个实验，没有成功！放弃 了。 为此，他的导师郎之万将论文副本寄给了爱因 斯坦。
实验结果:

0 10 20 30 40 50 60 70 80
镍晶体: D 2.15 1010 m
D sin 1.65 10 m
10
D
电子波的波长理论值为：
d D sin

2
h h 10 1.67 10 m me v 2me Ek
13
电 子 束
x 射 线
若 Ek m0c 则：
2
hc Ek
2
hc Ek
10
（1）当EK=100eV时，电子静能 E0= m0c2= 0.51MeV， 有： Ek m0c 2 1、2两个结 h 10 1.23 10 (m ) 果，电子的 2m0 Ek 波长均与X 2 Ek m0c 有： （2）当EK=1keV 时， 射线的波长 h 相当。 0.39 1010 (m ) 2m0 Ek
31
这个不确定范围很小，仪器测不出，可见对宏观 物体来说，不确定关系实际上是不起作用的。
26
例: 氢原子中电子的速度为 106m/s，原子的线度 约为10-10m，求: 原子中电子速度的不确定量。
解：原子中的电子位置的不确定量:
x 1010 m
由不确定性比较：
1）光的衍射
对于光波，衍射图样中最亮的地方，从波动的 观点看，该处的光强最大，或者说光振动的振幅平 方最大；从粒子的观点看，某处光的强度大，表示 单位时间内到达该处的光子数多，即光子到达该处 的概率大。 相应地，衍射花样最暗的地方，光强最小，光 子到达该处的概率最小。 所以，光子在某处出现的概率与该处的光强 （光振动的振幅平方）成正比的。
德布罗意与物质波
物质波提出的背景
1．玻尔模型遇到根本困难，亟需突破
2．爱因斯坦的光量子论及光的波粒二象性思想得到国际科 学界的承认
德布罗意是爱因斯坦的狂热崇拜者，认为他是“现代科 学的牛顿”，他领悟了爱因斯坦深刻的思维方式，体会到 “爱因斯坦的光的波粒二重性乃是遍及整个物理世界的一种 绝对普遍现象”，并且勇敢地发展了爱因斯坦的思想。 3．德布罗意本人对量子物理研究感兴趣，有相当好的研究 基础。他把量子理论研究作为他的博士论文方向。他发誓： “要尽我所能去理解那个神秘的量子。”
2
“厚幕的一角被德布罗意揭开了。M.德布罗意的 弟弟做了一项很有意义的工作……我相信，这是对物 理之谜中最棘手的一个谜投下了第一道微弱的光芒。” ——爱因斯坦
没想到我提出的波粒二象性观 念，在德布罗意手里发展得如 此丰富，竟扩展到了运动的粒 子。
爱因斯坦
3
21.4 德布罗意假设 电子衍射实验 一、德布罗意物质波的假设 光具有粒子性，又具有波动性。 光子能量和动量为：
o 12.2 12 . 2 1010 m A U U
当U 15000 V 时, 1 1011 m
要观察电子的波性，必须利用晶体进行类 似于X射线的衍射实验。
9
例：试计算动能分别为100eV、1keV、1MeV、1GeV的 电子的德布罗意波长。电子静能 E0= m0c2= 0.51MeV 解：由相对论公式： E E0 EK , E 2 E0 2 c 2 P 2
与多晶材料的德拜 x 射线衍射图样对比（波长相同）
1929年，德布罗意因提出电子的 波动性获诺贝尔物理学奖。 汤姆逊和戴维逊则因证实电子具 有波动性而分享了1937年的诺贝尔物 理学奖。
汤姆逊
14
接着约恩逊于1961年成功地获得了电子束的 单缝衍射、双缝干涉等实验。
单缝
双缝
三缝
四缝
电子双缝干涉图样
16
三、德布罗意波的统计解释
经典粒子：不被分割的整体，有确定位置和 运动轨道 ；经典的波：某种实际的物理量的空间 分布作周期性的变化，波具有叠加性。 二象性：要求将波和粒子两种对立的属性统 一到同一物体上 。 1926 年玻恩提出：德布罗意波是概率波。
统计解释：在某处德布罗意波的强度是与粒子 在该处邻近出现的概率成正比。
5
质量为m、速率为υ 的自由粒子，一方面可用能 量E和动量P来描述它的粒子性；另一方面可用频率ν 和波长λ 来描述它的波动性。它们之间的关系为：
h h 德布罗意波长为： P m
E h mc
2
P m
h
德布罗意公式
h 1 ( / c ) 2 若考虑相对论效应，则： m0 h 若 υ << c 时，不 考虑相对论效应，则： m 0