1、直接计算法 直接计算法在基尼提出收入不平等的一种度量时，就已经给出了具体算法，而且这种 算法并不依赖于洛伦茨曲线，它直接度量收入不平等的程度。定义
1
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△＝
nn ∑∑
Yj－Yi∣/n2,
0≤△≤2u
j=1 i=1∣
式（2）
式中，△是基尼平均差，∣Yj－Yi∣是任何一对收入样本差的绝对值，n 是样本容量，
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基尼系数的计算方法及数学推导
2001 金融三班 袁源
摘要：本文归纳了基尼系数的四种计算方法：直接计算法、拟合曲线法、分组计算法和分解 法，并进行了数学推导和证明。在此基础上，文章比较了各种算法优缺点，分析了误 差可能产生的环节。
关键词：洛伦茨曲线 基尼系数
一、洛伦茨曲线和基尼系数
1905 年，统计学家洛伦茨提出了洛伦茨曲线，如图一。将社会总人口按收入由低到高 的顺序平均分为 10 个等级组，每个等级组均占 10％的人口，再计算每个组的收入占总收入 的比重。然后以人口累计百分比为横轴，以收入累计百分比为纵轴，绘出一条反映居民收入 分配差距状况的曲线，即为洛伦茨曲线。
Yn＋Yn－1＋…Y2
Yn＋Yn－1＋…Y3－Y1 Yn＋Yn－1＋…Y4－Y1－Y2
…
Y1＋Y2＋…Yn Y1＋Y2＋…Yn－2＋Y1＋Y2＋…Yn－1 Y1＋Y2＋…Yn Y1＋Y2＋…Yn－1＋Y1＋Y2＋…Yn
Yn－Y1－Y2－…Yn－2 －Y1－Y2－…Yn－1
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加总最后一行，得到：
yi=
Yi
n
∑Yi
得到近似表达式:
式（9） 式（10）
G=2SA=
2 n
（y1+2y2+···＋nyn）－（
n+1 ） n
式（11）
（证明过程见附录二）
分组计算法不依赖于洛伦茨曲线的函数形式，但在以直代曲的环节会出现误差，增加
分点的个数可以减少这种误差。
4、分解法
上述的计算方法的最终目的都在于求出基尼系数的值，而分解法则是在求出上述值的
基础上，力图研究基尼系数的构成因素，除了得出总的基尼系数的信息之外，在计算过程中
还能够获得分解部分内部的基尼系数值。另外，分解法求出基尼系数的过程一般都依赖于已
有部分的基尼系数的值，从这个意义上说，分解法并不是独立计算基尼系数的方法，它更重
要的意义在于对基尼系数的分解，即定义的各个不同基尼系数值之间的相互关系。
示收入分配绝对不平等。基尼系数在 0～1 之间，系数越大，表示越不均等，系数越小，表
示越均等。
二、基尼系数的计算方法
式（1）虽然是一个极为简明的数学表达式，但它并不具有实际的可操作性。为了寻求 具有可操作性的估算方法，自基尼提出基尼比率以来，许多经济学家和统计学家都进行了这 方面的探索。在已有的研究成果中，主要有四种有代表性的估算方法，结合自己的计算，笔 者将它们归纳为直接计算法、拟合曲线法、分组计算法和分解法。
G=P12 u1 u
G1+
P22 u2 u
G2+P1P2︱
u1－u2 u
︱
式（13）
式中，G 表示总体基尼系数，G1 和 G2 分别表示农村和城镇的基尼系数，P1、P2 分别表 示农村人口和城镇人口占总人口的比重，u1、u2、u 分别表示农村、城镇和总体的人均收入。
对比式（12）和式（13），可以发现式（13）是式（12）的一种具体运用，P12 u1 G1 和 u
＝
1 2n
n 〔（n－1）Yn＋（n－3）Yn－1＋（n－5）Yn ∑Yi
－2……－（1－n）Y2－（n－1）Y1〕 比较式（14）和式（15）可得 G=△/2u＝2SA。
式（15）
附录二：
证明：当分点个数n有限时，G=2SA=
2 n
（y1+2y2+···＋nyn）－（
n+1 ） n
定义：yi=
Yi
n
∑Yi
SP＝21
AB（AC＋BD）＝ 1 2n
i-1
i
∑ Yi＋∑ Yi
n
∑Yi
i
＝1 2n
（
∑Yi
n
∑Yi
＋
i-1
∑ Yi
n
）
∑Yi
n
SB＝∑
1 2n
i-1
i
∑ Yi＋∑ Yi
n
∑Yi
SA=SA＋B－SB＝21
n
－∑
1
2n
i-1
i
∑ Yi＋∑ Yi
n
∑Yi
＝1 2n
n
n i-1
i
n∑Yi－（∑ ∑ Yi＋∑ Yi）
Y
E
C
A B
O
X
图一
为了用指数来更好的反映社会收入分配的平等状况，1912 年，意大利经济学家基尼根 据洛伦茨曲线计算出一个反映收入分配平等程度的指标，称为基尼系数（G）。在上图中， 基尼系数定义为：
G= SA SA+B
式（1）
当 A 为 0 时，基尼系数为 0，表示收入分配绝对平等；当 B 为 0 时，基尼系数为 1，表
P
O
Xi－1 Xi
Xn X
图三
P
A
B
i－1
i
图四
如图四，计算每一部分面积 SP
SP＝21
AB（AC＋BD）＝ 1 2n
i-1
i
∑ Yi＋∑ Yi
n
∑Yi
n
SB＝∑
1 2n
i-1
i
∑ Yi＋∑ Yi
n
∑Yi
第四步，计算 SA
SA=SA＋B－SB＝21
n
－∑
1
2n
i-1
i
∑ Yi＋∑ Yi
n
∑Yi
＝1 2n
ni
n
（2n－2 ∑∑yi＋2∑yi）－
n+1 2n
＝1 n
（y1+2y2+···＋nyn）－
n+1 2n
G=2SA=
2 n
（y1+2y2+···＋nyn）－（
n+1 ） n
参考资料： 1、 Sundrum.R.M,1990,Incom Distribution in Less Developed Counties, London and New
了样本数据的基尼系数值。
2、拟合曲线法
拟合曲线法计算基尼系数的思路是采用数学方法拟合出洛伦茨曲线，得出曲线的函数
表达式，然后用积分法求出 B 的面积，计算基尼系数。通常是通过设定洛伦茨曲线方程，
用回归的方法求出参数，再计算积分。例如，设定洛伦茨曲线的函数关系式为幂函数：
I=αPβ
式（5）
根据选定的样本数据，用回归法求出洛伦茨曲线，例如，α＝m,β=n.求积分
n
n i-1
i
n∑Yi－∑ ∑ Yi＋∑ Yi
n
∑Yi
n
n i-1
i
分解n∑Yi－∑ ∑ Yi＋∑ Yi 得到矩阵 B
n
n∑Yi Y1＋Y2＋…Yn Y1＋Y2＋…Yn
…
n i-1
i
∑ ∑ Yi＋∑ Yi
＋Y1 Y1＋Y1＋Y2
Y1＋Y2＋Y1＋Y2＋Y3
…
n
n i-1
i
n∑Yi－∑ ∑ Yi＋∑ Yi
n
n i-1
i
n∑Yi－∑ ∑ Yi＋∑ Yi＝（n－1）Yn＋（n－2）Yn－1＋……＋Y2—（n－1）Y1－（n－
2）Y2－……－Yn－1＝（n－1）Yn＋（n－3）Yn－1＋（n－5）Yn－2……－（1－n）Y2－（n －1）Y1
SA=
1 2n
n
n i-1
i
n∑Yi－∑
∑ Yi＋∑Yi
n
∑Yi
SB=∫10 mpndp= m n+1
式（6）
计算
G= SA = SA+B－SB ＝1－ 2m
SA+B
SA+B
n+1
式（7）
拟合曲线法的在两个环节容易产生谬误：一是拟合洛伦茨曲线，得出函数表达式的过 程中，可能产生误差；二是拟合出来的函数应该是可积的，否则就无法计算。
3、分组计算法 这种方法的思路有点类似用几何定义计算积分的方法，在 X 轴上寻找 n 个分点，将洛 伦茨曲线下方的区域分成 n 部分，每部分用以直代曲的方法计算面积，然后加总求出面积。 分点越多，就越准确，当分点达到无穷大时，则为精确计算。
York:Routledge 2、 Cowell.F.A,2000,Measurement of Inequality, in Handbook of Income Distribution,
eds. By A.Atkirrson and F.Bourguignon, Northholland 3、 熊俊：《基尼系数估算方法的比较研究》；《财经问题研究》2003 年 1 月第 1 期 4、 王文森：《基尼系数及推广应用》；《统计与预测》；2003 年 1 月第 1 期
ni
n－ ∑∑yi
Yn＋Yn－1＋……Y2 Yn＋Yn－1＋……Y3 Yn＋Yn－1＋……Y4
……
……
……
y1＋y2＋……yn
y1＋y2＋……yn－1
Yn
y1＋y2＋……yn
y1＋y2＋……yn
0
加总最后一列，得到
6
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ni
n－ ∑∑yi＝（n-1）yn+（n－2）yn－1＋……y2
SA＝21n
伦敦经济学院收入分配方法论专家 Cowell 教授提出，基尼系数在不同人群组之间无法