细说圆中得分类讨论题------之两解情况
钱漪 由于圆既就是轴对称图形,又就是中心对称图形,还具有旋转不变性,有许多问题需要分类讨论,分类讨论就是一种同学们应该掌握并且相当重要得数学思想,对于锻炼同学
们得缜密思维与分析问题能力异常得重要,但同学们在遇到分类讨论题时易出现漏解情况,这就要求同学们在解题时一要读懂题意,明白题干得要求,二要有顺序步骤得做。
先从几个方面举例说明如下: 一、根据点与圆得位置分类
例１、点P 就是圆O 所在平面上一定点,点P 到圆上得最大距离与最短距离分别为８与２,则该圆得半径为 。
分析:根据点与圆得位置关系,这个点P 与圆有两种位置关系。
分为点在圆内与点在圆外两种情况。
解:过点P 与圆心O 作直线分别与圆O 相交于A 、B 两点。
PA 、PB 分别表示圆上各点到点P 得最长距离与最短距离。
(1)当点P 在圆内时; (2)当点P 在圆外时;
所以,圆O 得直径为2或6。
二、三角形与圆心得位置关系
例２:已知内接于圆O,
,则
得度数为________。
分析:因点A 得位置不确定。
所以点A 与圆心O 可能在BC 得同侧,也可能在BC 得异侧。
也可分析为圆心在得内部与外部两种情况。
解:(1)当点A 与圆心O 在BC 得同侧时,如图3,
B P
A
(2)当点A 与圆心O 在BC 得异侧时,如图4,
所以
得度数就是
或。
练习:已知圆内接中,AB=AC,圆心O 到BC 得距离为3cm,圆得半径为6cm,求腰长AB 。
(两种情况如图5、图6)
A
C
图5 图6
三、角与圆心得位置关系
例3:在半径为1得⊙O 中,弦AB 、AC 得长分别为
与
,则∠BAC 得度数就是____。
分析:角与圆心得位置关系为圆心在角内部与外部两种情况。
解:如图7,当圆心在∠BAC 内部时,连接AO 并延长交⊙O 于E 在Rt △ABE 中,由勾股定理得:,所以
∠BAE ＝30°
同理,在Rt △CAE 中,EC ＝AC, 所以∠EAC ＝45°,
当圆心O 在∠BAC 得外部时(∠BAC'),由轴对称性可知:
所以∠BAC 为
75°或15°
四、圆中两平行弦与圆心得位置关系
例4、 圆O 得直径为10cm,弦AB//CD,AB=6cm,,求AB 与CD 得距离。
分析:题中得弦AB 、CD 都比圆O 中得直径小,所以AB 与CD 可能在圆心得同侧,也可能在圆心得异侧。
C'
E
C
A
解:(1)当AB、CD在圆心得同侧时,如图8,过点O作交AB于点M,交CD于N,连结OB、OD,得,,然后由勾股定理求得:,故AB与CD得距离为1cm。
(2)当在圆心得异侧时,如图9,仍可求得。
故AB与CD得距离为7cm。
所以AB与CD得距离为1cm与7cm。
五、圆与圆得位置关系
例5、已知圆与圆相内切,圆心距为,圆
半径为,求圆得半径。
分析:根据两圆相内切得特点:圆心距等于大圆半径
减去小圆半径。
但该题得条件中没有给定谁就是大圆,
谁就是小圆。
这时可把圆瞧成大圆,也可把圆瞧成小圆。
解:(1)当圆就是大圆时,则圆得半径等于大圆半径4cm减去圆心距1cm,求得圆得半径为3cm。
(2)当圆就是小圆时,则圆得半径等于小圆半径4cm加上圆心距1cm,求得圆
得半径为5cm。
所以圆得半径就是3cm或5cm。
例6、两圆相切,半径分别为4cm与6cm,求两圆得圆心距。
分析:此题中得两圆相切没有说明就是内切还就是外切,所以应该分两种情况考虑。
解:(1)当两圆内切时,两圆心得距离等于大圆半径减去小圆半径,即。
(2)当两圆外切时,两圆心得距离等于大圆半径加上小圆半径,即。
所以两圆得圆心距就是2cm或10cm。
例7、相交两圆半径分别为5 cm 与4cm ,公共弦长6cm,则两圆得圆心距等于_______
分析:注意两圆心在公共弦长两侧与同侧两种情况
补充:
1、弦所对弧得优劣情况不确定
已知横截面直径为100cm得圆形下水道,如果水面宽AB为80cm,求下水道中水得最大深
度。
20cm或80cm
2、已知圆与圆相内切,
分析:根据两圆相内切得特点:圆心距等于大圆半径减去小圆半径。
但该题得条件中没有给定谁就是大圆,谁就是小圆。
这时可把圆瞧成大圆,也可把圆瞧成小圆。
解:(1)当圆
就是大圆时,则圆
得半径等于大圆半径4cm 减去圆心距1cm,求得圆
得半径为3cm 。
(2)当圆就是小圆时,则圆得半径等于小圆半径4cm 加上圆心距1cm,求得圆
得半径为5cm 。
所以圆
得半径就是3cm 或5cm 。
3、相交两圆得半径分别为8与5,公共弦为8,这两个圆得圆心距等于_________。
分析:因两圆得半径都大于公共弦长得一半,所以两圆得圆心可能在公共弦得同侧,也可能在公共弦得异侧。
解:(1)当两圆得圆心在公共弦得同侧时,如图6,设AB 就是公共弦,交AB 于点C,则
,由勾股定理解得
,故。
A
B
C
O 1O 2
图6
(2)当两圆得圆心在公共弦得异侧时,如图7,可求得。
故。
A O 1
C
O 2
B
所以这两圆得圆心距为
或。
4、如图8,在平面直角坐标系中,P 就是经过O(0,0),A(0,2),B(2,0)得圆上得一个动点(P 与O 、B 不重合),则∠OAB ＝_________度,∠OPB ＝_________度。
解:依题意可知△AOB 就是等腰直角三角形,所以∠OAB ＝45°
当动点P 在上时,∠OPB ＝∠OAB ＝45°
当动点P 在上时,∠OPB ＝180°－45°＝135°
故∠OPB 为45°或135°。
5、已知半径为4与
得两圆相交,公共弦长为4,则两圆得圆心距为_________。
分析:相交两圆圆心得位置有在公共弦得同侧与异侧两种情况。
解:如图9、图10, 在中, 在中,
(1)当圆心在公共弦AB 得同侧时,
如图9
(2)当圆心在公共弦AB 得异侧时,如图
10,
6、已知在直径AB 为13得半圆上有一点C,CD ⊥AB,垂足为D,且CD ＝6,求AD 得长、
分析:由于6＜132 ,即CD ＜1
2 AB,所以点D 在直径上
得位置有两种情况:
解:(1)如图3,当点D 与点A 在圆心O 得同旁时(AD ＜BD).
在Rt △COD 中,OD ＝2
5
6)213(
222
2
=-=-CD
CO ,则AD ＝OA －OD ＝4;
(2)如图4,当点D 与点A 在圆心得两旁时(AD ＞BD)、
同理可求OD ＝52 ,则AD ＝AO ＋OD ＝132 ＋5
2 ＝9、
故所求得AD 得长为
4或9、 点评:图形得位置关系就是几何研究得重要方面,应考虑到图形所有可能情况,全面性
地思考问题.如:本例中,由于圆得轴对称性,相同长度得弦位置往往不止一个.
本题可以拓展到整圆:已知:⊙O 得半径为5,AB 为直径,弦CD ⊥AB,CD=6,则AE= (1
O A B C
D 图3 O D A B C 图4
或9)
7、如图,在平面直角坐标系中,已知⊙C得半径为r,直线l:
4
y=x-4
3
,与x轴、y轴分别
交于A、B两点、
(1)当r=1、5时,将⊙C从点C与坐标原点重合开始, 沿y轴向下运动,当⊙C与直线l相切时,点C移动得距离就是 6、5或1、5
(2)若点C位于坐标原点O,当⊙C与△OAB得斜边AB有1个公共点时,r得取值范围就是r＝2、4或3＜r≤4。
(3)若点C位于坐标原点O,当⊙C与△OAB得边有2
4或3＜r＜4。
8、如图,∠ABC=90°,O为射线BC上一点,以点O为圆心
绕点B按顺时针旋转 (60或120) °时与⊙O相切。