v1.0 可编辑可修改大学量子力学主要知识点复习资料，填空及问答部分1能量量子化辐射黑体中分子和原子的振动可视为线性谐振子，这些线性谐振子可以发射和吸收辐射能。

这些谐振子只能处于某些分立的状态，在这些状态下，谐振子的能量不能取任意值，只能是某一最小能量 的整数倍εεεεεn ,,4,3,2,⋅⋅⋅ 对频率为 的谐振子, 最小能量为: νh =ε 2.波粒二象性波粒二象性（wave-particle duality ）是指某物质同时具备波的特质及粒子的特质。

波粒二象性是量子力学中的一个重要概念。

在经典力学中，研究对象总是被明确区分为两类：波和粒子。

前者的典型例子是光，后者则组成了我们常说的“物质”。

1905年，爱因斯坦提出了光电效应的光量子解释，人们开始意识到光波同时具有波和粒子的双重性质。

1924年，德布罗意提出“物质波”假说，认为和光一样，一切物质都具有波粒二象性。

根据这一假说，电子也会具有干涉和衍射等波动现象，这被后来的电子衍射试验所证实。

德布罗意公式h νmc E ==2λhm p ==v3.波函数及其物理意义在量子力学中，引入一个物理量：波函数 ，来描述粒子所具有的波粒二象性。

波函数满足薛定格波动方程0),()](2[),(22=-∇+∂∂t r r V mt r t i ψψ 粒子的波动性可以用波函数来表示，其中，振幅表示波动在空间一点(x ,y,z )上的强弱。

所以，应该表示 粒子出现在点(x,y,z )附件的概率大小的一个量。

从这个意义出发，可将粒子的波函数称为概率波。

自由粒子的波函数)](exp[Et r p i A k -⋅=ψ=ψ波函数的性质：可积性，归一化，单值性，连续性 4. 波函数的归一化及其物理意义常数因子不确定性设C 是一个常数，则 和 对粒子在点(x,y,z )附件出现概率的描述是相同的。

相位不定性如果常数 ，则 和 对粒子在点(x,y,z )2(,,)x y z ψ(,,)c x y z ψαi e C =(,,)i e x y z αψ(,,)x y z ψ附件出现概率的描述是相同的。

表示粒子出现在点(x,y,z )附近的概率。

表示点(x,y,z )处的体积元中找到粒子的概率。

这就是波函数的统计诠释。

自然要求该粒子在空间各点概率之总和为1必然有以下归一化条件5. 力学量的平均值既然 表示 粒子出现在点 附件的概率，那么粒子坐标的平均值，例如x 的平均值x __，由概率论，有 又如，势能V 是 r 的函数：)(r V，其平均值由概率论，可表示为⎰+∞∞-=r d r r V r V 3*)()()( ψψ⎰+∞∞-=r d r r V r V 3*)()()(ψψ再如，动量 的平均值为：为什么不能写成因为x 完全确定时p 完全不确定，x 点处的动量没有意义。

能否用以坐标为自变量的波函数计算动量的平均值 可以，但需要表示为p __r d r p r ⎰+∞∞-=3*)(ˆ)(ψψ其中为动量 的算符 6.算符量子力学中的算符表示对波函数（量子态）的一种运算如动量算符∇-≡i pˆ 能量算符Eti E ˆ≡∂∂=动能算符222ˆ∇-=mT动能平均值r d r T r T ⎰+∞∞-=3*)(ˆ)(ψψ 角动量算符pr l ˆˆ⨯= 角动量平均值r d r l r l ⎰+∞∞-=3*)(ˆ)( ψψ 薛定谔方程),()],(2[),(22t r t r V mt r t i ψψ+∇-=∂∂2|(,,)|x y z x y z ψ∆∆∆x y z τ∆=∆∆∆2|(,,)|1x y z dxdydz ψ∞=⎰22|()||(,,)|r x y z ψψ=),,(z y x r =23*3|()|()(),x r xd r r x r d r ψψψ+∞+∞-∞-∞==⎰⎰3d r dxdydz=*3()(),p p p p d p ϕϕ+∞-∞=⎰⎰+∞∞-=rd r r p r p 3*)()()(ψψ∇-≡ i p ˆp算符，被称为哈密顿算符， 7.定态数学中，形如 的方程，称为本征方程。

其中 方程称为能量本征方程，被称为能量本征函数， E 被称为能量本征值。

当E 为确定值，),(t r ψ=)(r E ψ)exp(Et i-拨函数所描述的状态称为定态，处于定态下的粒子有以下特征：粒子的空间概率密度不随时间改变，任何不显含t 的力学量的平均值不随时间改变，他们的测值概率分布也不随时间改变。

8.量子态叠加原理但一般情况下，粒子并不只是完全处于其中的某一本征态，而是以某种概率处于其中的某一本征态。

换句话说，粒子的状态是所有这些分立状态的叠加，即)()(x c x n nn ψψ∑=，具有),(中发现粒子处于态)(表示在态||2x x c n n ψψ的概率能量n E9. 宇称若势函数V （x ）=V （-x ），若)(x ψ是能量本征方程对于能量本征值E 的解，则)(x -ψ也是能量本征方程对于能量本征值E 的解具有确定的宇称。

无简并，则若的解，如果能量本征值是能量本征方程对应于设)()(),()()(x x x V x V Ex ψψψ-=10.束缚态通常把在无限远处为零的波函数所描写的状态称为束缚态ˆAf af =ˆA →算符,f →本征函数,a →本征值22ˆ()2H V r m=-∇+22ˆ[()]()()()()2E E E E V r r E r H r E r mψψψψ-∇+=→=)(r E ψ:()()()()()()()()()cos()cos()cos()sin()sin()sin()P P x x P x x x P x x x x P x x x P x x x ψψψψψψψψψ=-=-==-=-→=-=→=-=-定义空间反演算符为如果或，称具有确定的偶宇称或奇宇称，如偶宇称奇宇称注意：一般的函数没有确定的宇称11. 一维谐振子的能量本征值 12. 隧穿效应量子隧穿效应为一种量子特性，是如电子等微观粒子能够穿过比它们能量大的势垒的现象。

这是因为根据量子力学，微观粒子具有波的性质，而有不为零的概率穿过位势障壁。

又称隧穿效应，势垒贯穿。

按照经典理论，总能量低于势垒是不能实现反应的。

但依量子力学观点，无论粒子能量是否高于势垒，都不能肯定粒子是否能越过势垒，只能说出粒子越过势垒概率的大小。

它取决于势垒高度、宽度及粒子本身的能量。

能量高于势垒的、运动方向适宜的未必一定反应，只能说反应概率较大。

而能量低于势垒的仍有一定概率实现反应，即可能有一部分粒子(代表点)穿越势垒(也称势垒穿透barrier penetration)，好像从大山隧道通过一般。

这就是隧道效应。

例如H+H2低温下反应，其隧道效应就较突出。

13. 算符对易式一般说来，算符之积不满足交换律，即，由此导致量子力学中的一个基本问题：对易关系对易式 ，通常 坐标对易关系角动量的对易式,0]ˆ,ˆ[,ˆ]ˆ,ˆ[,ˆ]ˆ,ˆ[,ˆ]ˆ,ˆ[,0]ˆ,ˆ[,ˆ]ˆ,ˆ[,ˆ]ˆ,ˆ[,ˆ]ˆ,ˆ[,0]ˆ,ˆ[,0],ˆ[,],ˆ[,],ˆ[,],ˆ[,0],ˆ[,],ˆ[,],ˆ[,],ˆ[,0],ˆ[=-====-=-====-====-=-===z y x y z y x z x z y y y z x y y z x z y x x x y z z y y y x x x pl p i p l p i p l p i p l p l p i p l p i p l p i p l p l z l x i y l y i x l x i z l y l z i x l y i z l z i y l x lyx z x z y z y x z z y y x x l i l l l i l l l i l l l l l l l l ˆ]ˆ,ˆ[,ˆ]ˆ,ˆ[,ˆ]ˆ,ˆ[,0]ˆ,ˆ[,0]ˆ,ˆ[,0]ˆ,ˆ[ ======.,2,1,0,)2/1(⋅⋅⋅=+==n n E E n ω A B B A ˆˆˆˆ≠A B B A B A B Aˆˆˆˆ]ˆ,ˆ[,ˆˆ-≡∀设和0]ˆ,ˆ[≠B A ⎩⎨⎧≠===βαβαδααββ,0,]ˆ,[ i i p zy x ,,,=βα14.厄密算符平均值的性质,ˆ~ˆˆ,ˆ*的厄密共轭算符称为的共轭转置算符则A A A A ∀。

＝即记为*~ˆˆ,ˆA A A ++先转置，再共轭。

**ˆ~ˆψτϕϕτψA d A d ⎰⎰= 体系的任何状态下，其厄密算符的平均值必为实数，在任何状态下平均值为实的算符必为厄米算符，实验上可观测量相应的算符必须是厄米算符。

厄密算符的属于不同本征值的本征函数彼此正交。

15. 量子力学关于算符的基本假设1、微观粒子的状态由波函数 描写。

2、波函数的模方表示 t 时刻粒子出现在空间点(x,y,z )的概率。

3、力学量用算符表示。

4、波函数的运动满足薛定格方程16. 算符的本征方程，本征值与本征函数数学中，形如的方程，称为本征方程。

其中3*其中，,)(均可展开如下：状态完备态矢，系统的任何能构成一组正交归一都是不简并的，则,果的本征态与本征值，如ˆ是算符和dr a a x A A A n n n nn n n n n ⎰∑==∀ψψψψψψψ17. 不确定度关系的严格表达18. 两个算符有共同本征态的条件ˆAf af =),(t rψψ=2|),(|t r ψ2222ˆ(,)()(,)(,),2ˆ(,)2i r t V r t H r t t mHV r t mψψψ∂=-∇+=∂=-∇+→哈密顿算符ˆA→算符,f →本征函数,a →本征值ˆ,ˆˆˆn n nn nAA A n A A A A AAψψψψψψ==满足的和不止一组可能有组，因此此式称为的本征方程，称为的一个本征值，称为的一个本征态。

两个算符对易，即0]ˆ,ˆ[ B A19. 力学量完全集若算符的本征值是简并的，仅由其本征值无法惟一地确定其本征态。

若要惟一地确定其本征态，必须再加上另一些与之对易的算符的本征值才可。

例如，仅由 的本征值不能确定体系状态，必再加上的本征值才能确定体系状态。

这样，为了完全确定一个体系的状态，我们定义力学量完全集。

定义：如果有一组彼此独立而且相互对易的厄米算符 ，它们只有一组共同完备本征函数集，记为，可以表示一组量子数，给定一组量子数后，就完全确定了体系的一个可能状态，则称为体系的一组力学量完全集。

20. 力学量完全集共同本征态的性质若能级简并21. 守恒量对于Hamilton 量H 不含时的量子体系，如果力学量A 与H 对易，则无论体系处于什么状态（定态或非定态），A 的平均值及其测值的概率分布均不随时间改变，所以把A 称为量子体系的一个守恒量。