k1 q k1
。
波矢为 k2 的电子吸收这个声子跃迁到 k2 态
k2 q k2
4
根据泡利不相容原理，费密能级以下的深能级已被电 子所填满，它们难以通过吸收或发射声子与其它能级相近 的电子发生作用。
根据量子力学的结论：满足
Ek1 Ek2 q
（1）
的两个电子可以通过交换声子产生净吸引。(波矢为q的声 子的角频率ωq , 德拜频率ωD是ωq的最大值 ) 所以只有费密面附近约 可能产生间接相互吸引作用。
0 x
k F m D kF m
2 2
k k F k F
1 D k F
EF 1 1 04 1 010 m D k F 1 0-6 m 1 03 n m
可见ξ0 数量级是晶格长度的几千倍。
11
二、BCS理论要点
以库柏对为基础的 BCS 理论，其解释超导 电性的主要要点是：
4、超导电流是靠库柏对传输的
当超导体不载电流时,所有库柏对的动量为零（ki ↑, - ki↓） ，没有电流。当超导体处于载流超导态时，每 个库柏对的总动量不再为零，所有的库柏对都获得一 个附加动量 p = ћ k ，表示为
〔（ki+k／2）↑，（- ki+k／2 ） ↓ 〕
即在载流态，超导体中的电子在 k 空间分布整体 地移动了 k／2 。
0
31
超导状态下的电流 I 与 最大约瑟夫逊电流 I 的关系 为 I = I0 sinθ 式中θ 表示两超导体的 量子状态的相位差。当θ = 900 时，出现 A B 的开 关特性: I < I 超导结上不产生 电压降，零电阻。 I = I 超导结上产生电 压降，有电阻。
0
→
0
0
当流过约瑟夫逊结的电 流较小时（I < I ） ，超导 结处于隧道状态。具有超导 电性，不产生电压降，此效 应称直流约瑟夫逊效应 。
c
22
BCS理论要点小结
以库柏对为基础的 BCS 理论，其解释超导 电性的主要要点是：
1、超导电子就是这些库柏电对 2、超导能谱中存在能隙Eg = 2△（T） 3、临界温度及其上限 4、超导电流是靠库柏对传输的
23
4.6 超导隧道 效应(约瑟夫 森效应)
1、 20世纪60年代超导研究的另一项重大突 破是在弱连接超导体中发现了约瑟夫森效应。 所谓的弱连接超导体是指两块超导体中间夹 一个纳米厚度的绝缘膜，形成超导层—绝缘层－ 超导层﹙S-I-S﹚的结构，类似于一块夹心层很薄 的三明治，如图12－16所示。 24
(0) 2D e

1 g ( EF )V
式中 ωD ——德拜频率 g(EF)——正常态费密能级处的态密度。 V——电子之间的有效相互作用矩阵元，它是代表电子 —声子耦合强弱的系数。
可见g ( EF )V越大, 则(0)越大
16
能隙△（T）随温度升 高而减少， △（0）最大，
△（Tc）=0 ，能隙消失。 如图
费米面附近的电子形成电子配对，每个电子对的 总能量比两个独立电子的能量和 E1+E2 小，并 把电子对状态称为库伯对。
1
超导态中的库伯对是怎样形成的呢？ 同位素效应即临界温度 Tc 与原子质量有 关的事实说明超导电性与晶格振动有关； 另外，一般的良导体(如贵金属、碱金属) 都不是超导体， Tc 较高的超导体在正常情况 下都是电阻率较高的不良导体，由于电阻率 的大小反映了电子 —— 声子相互作用的强弱， 这就说明 Tc 高的超导体是电子 —— 声子 相互作用较强的材料。 所以（晶格振动）声子与电子的相互作 用强度与超导电性有密切关系。
1、超导电子就是这些库柏电对 2、超导能谱中存在能隙 3、临界温度及其上限 4、超导电流是靠库柏对传输的
12
1、超导电子就是这些库 柏电子对
在 T = 0 K时，费密面附近的所有电 子都形成库柏对； 并且所有的库柏对都处在能量相等的 同一量子态，称为超导基态，可用同一波 函数进行描述； 由于库柏对的线度 103nm ,为晶格常 数的几千倍，库柏对之间必然交叉重叠， 所以库柏对在运动过程中是高度相关的。
2
在超导体中，电子与离子间的 吸引作用比金属导体中的更强一些， 电子周围带正电荷的晶格会因为与电 子的库仑作用被扰动，即电子发射了 或吸收了声子。
所以也可以说电子1和电子2之间 的相互吸引是通过交换声子来实现的。
下面介绍库伯对形成的条件。
3
波矢（p／ħ）为 k1 的电子与晶格作用发射波矢为 q 的 声子而跃迁到波矢为 k1 态，
20
在 0 K < T < Tc 时，作为载流子的库柏对也 会不断的受到晶格振动的散射，但由于库柏对集合 在运动中的高度相关性（有序）。 散射作用只能使一个库柏对
变成另一个库柏对
〔（ki+k／2）↑，（- ki+k／2 ） ↓ 〕 〔（kj+k／2）↑，（- kj+k／2 ） ↓ 〕
库柏对质心的动量并无变化，集合总动量保持 不变，所以电流没有变化，这就是零电阻现象。 21 （有散射但无电阻）
超导能隙已被红外光吸 收等实验所证实。
17
3、临界温度及其上限
BCS理论导出临界温度结果可表示为
k BTc 1.13D e
①． 因D M 应的结果：
1 2

1 g EF V
，所以由BCS理论可以得到同位素效
Tc M

1 2
与实验结果一致，说明BCS理论成功。 ②．g(EF)V 越大，Tc 越高，这意味着电子--声子耦合作 用越强，越容易形成超导态。 但V大也意味着在正常态下材料的电阻大，所以不良导 18 体更容易出现超导态，这与前面提到的实验事实相一致
13
2、超导能谱中存在能隙
在 T＞0K 时，晶格的热 振动可以把一些库柏对拆开变 成正常电子。温度越高，库柏 对越少，正常电子越多。当 T≥Tc 时，所有库柏对都变成正 常电子。 破坏库柏对需要一定的能量 2△, 说明在超导能谱中存在能 隙2△ （ kB · Tc的量级）。 左图是正常态N的能谱，右 图是超导态S的能谱。
26
两超导体中间的绝缘﹙真空， 正常﹚层也能让超导电流通过的现 象叫超导隧道效应。 可以用超导微观理论解释。在 20世纪60年代初，这一现象首先由 约瑟夫森在理论上预言，不久即被 实验证实，所以超导隧道效应也叫 约瑟夫森效应，超导隧道结也叫约 瑟夫森结。
27
弱连接的多种形式：
根据以上隧道结的原理，两块超导体中间夹 一层金属也可以形成约瑟夫森结﹙S-N-S﹚。 超导体中间不夹东西﹙真空﹚，而只是靠的 很近也可以形成约瑟夫森结〔扫描隧道电子显微镜 (STM)用的结〕。 约瑟夫森结还可以是两块超导体的点接触 （超导线磨尖的一端与另一超导体表面轻轻接触）， 或微桥接触（基底上靠近的两块超导薄膜通过一狭 窄区域----微桥连接）等结构，其关键是让两块超 导体间能有弱连接而导致隧道效应。
28
弱连接超导体的连接弱表现在两个方面。 一个是临界电流密度﹙jc﹚很小，这意味着很 小的电流密度就会破坏零电阻性。 另一个是它对磁场极为敏感。在这里，很弱的 磁场是指通过结的磁通量只要变化 φ 0／2 时(磁 通量子 φ 0～2×10-15 Wb),就足以使通过结的电流从 最大变到最小。 因为磁通量子 φ 0 是个极小的磁通量，利用 这个对微弱磁通量极度灵感的特性，可以制成直流 超导量子干涉器件﹙DC SQUID﹚,它是超导量子干 涉器件的一种。可用来测量微弱磁场 B 。
9
结论：库柏对内最可能出现的电子状态是， 两个电子波矢相反，自旋相反。
可用（k1
↑, - k1↓）表示。
所以库柏对是动量为零、自旋为零的玻色子
在没有电流时，每个库柏对由两个动量相反, 自旋相反的电子组成，它们的合动量为零。
10
估计库柏对的线度 ξ0 （库柏对两电子的平均 间距或相干长度）由测量不准关系： mD k 1 k F
29
约瑟夫森结的 I ~ V 特性如图３.４４所 示。
电流 I 是绝缘层电 压 V 的函数，若电流 由零逐渐增大(O→A)， 由于超导电子的隧道 效应，绝缘体上不产 生电压降，好象不存 在绝缘层的零阻超导。
30
当电流超过某一临界 电流值 I 时（A点，一般 为几十微安到几十毫 安。 ），即达最大约瑟夫 森电流，超导状态被破坏， 过渡到有电阻情况(A→B) 。 电流进一步增大，将 沿B→C→D变化。 相反，电流由大变小， 那么将沿D→C→B→E→O 变化，出现 I - V 特性的滞 后现象。 如果通过方向相反的 电流，则出现与图中曲线 对称的I - V特性曲线(第三 象限)。
③．
k BTc 1.13 D e

1 g EF V
0 2D e

1 g EF V
二式联立得，
20 3.53k BTc
说明 Tc 有一定的上限，许多科学家认为，在电子— 声子相互作用的框架内， Tc 最多只能达到 40K (一般 30K 左右)，称这样的超导体为低温超导体(BCS理论仅适 19 用于低温超导体)。
4.5 超导电性的微观理论
前述的宏观唯象理论可以解释超导电性的一些现象，但不能 说明超导电性的本质起因。真正试图从微观本质上说明超导电性 的理论，是1975年由巴丁（Bardeen）、库伯（Cooper）和施里弗 （Schriffer）提出的，称为BCS理论。本节作简要介绍。
一、库伯对及其形成机制
二流体模型认为超导态中存在一种特殊载流子——超导电子； 由磁通量子化的伦敦理论可知 e* = 2e ，即超导电子是配对 的； 所以BCS理论认为超导态的超导电子处在一种特殊的状态：
若晶格振动的散射破坏了库柏对，就会使电流 减小，产生电阻，不过这种破坏库柏对的散射过程 所需能量至少为 2△（T） ，因此常将超导态的能 隙写成 Eg = 2△（T） 在电流密度很低时，电流本身无法给库柏对提 供这样多的能量，但若电流密度较高时，电流就有 可能给库柏对提供大于 2△（T） 的能量使库柏对 拆散，这就解释了为什么存在临界电流密度 jc 。 当 j > j 时，库柏对﹙超导电子﹚全部变为正常 电子，就出现了电阻。