抽象函数的周期
抽象函数的周期没有具体公式，它需要掌握一定的规律，记住一些抽象函数的格式。
本文列出几种常见的抽象函数的周期类型，供大家参考（以下x 取定义域内的任意值且a 、b 、T 为非零常数，a ≠b ）。
1. f x f x T ()()=+型：f x ()的周期为T 。
证明：对x 取定义域内的每一个值时，都有f x T f x ()()+=，则f x ()为周期函数，T
叫函数f x ()的周期。
2. f x a f x b ()()+=+型：f x ()的周期为||b a -。
证明：f x a f x b f x f x b a ()()()()+=+⇒=+-。
3. f x a f x ()()+=-型：f x ()的周期为2a 。
证明：f x a f x a a f x a f x ()[()]()[()]+=++=-+=--2=f x ()
例. 设f x ()是R 上的奇函数，f x f x ()()+=-2，当01≤≤x 时，f x x ()=，则
f (.)20055等于（ ）
A. 0.5
B. －0.5
C.
D. － 4. f x a f x ()()
+=-1型：f x ()的周期为2a 。
证明：f x a f x a a f x a f x f x ()[()]()()()+=++=-
+=--=2111。
5. f x a f x ()()
+=1型：f x ()的周期为2a 。
证明：f x a f x a a f x a f x f x ()[()]()()()+=++=
+==2111。
6. f x a f x f x ()()()
+=+-11型：f x ()的周期为4a 。
证明：f x a f x a a f x a f x a ()[()]()()+=++=++-+211 =+
+
--+-=-1111111f x f x f x f x f x ()()()()()， ∴f x a f x a a f x a f x f x ()[()]()()
()+=++=-+=--=4221211。
7. 两线对称型：函数f x ()关于直线x a =、x b =对称，则f x ()的周期为||22b a -。
证明：
f x f a x f x f b x f a x f b x f x f x b a ()()()()()()()()=-=-⎧⎨⎩
⇒-=-⇒=+-222222，。
正弦函数y x =sin 关于直线x =π
2、x =32
π对称，则y x =sin 的周期为||23222
2××πππ-=。
8. 一线一点对称型 ： 函数f x ()关于直线x a =及点（b ，0）对称，则f x ()的周期为
||44b a -。
证明：
f x f a x f b x f x f a x f b x f x b a f x ()()()()()()()()=--=-⎧⎨⎩
⇒-=--⇒+-=-222222，所以f x b a f x b a b a f x b a f x f x ()[()]()[()]()+-=+-+-=-+-=--=44222222余弦函数y x =cos 关于直线x =0及点（π
20，）对称，则y x =cos 的周期为
||42402××π
π-=。
9. 两点对称型： 函数f x ()关于点（a ，0）、（b ，0）对称，则f x ()的周期为||22b a -。
证明：f a x f x f b x f x f a x f b x f x f x b a ()()()()
()()()()222222-=--=-⎧⎨⎩⇒-=-⇒=+-。
正弦函数y x =sin 关于点（0，0）、()π，0对称，则y x =sin 的周期为
||2202××ππ-=。
习题
⒈ 若)x 2(f y =的图象关于直线2a x =和)a b (2
b x >=对称，则)x (f 的一个周期为 A. 2b a + B. )a b (2- C. 2
a b - D. )a b (4- ⒉ 设函数)x (f y =是定义在R 上的偶函数，它的图象关于直线2x =对称，已知
]2,2[x -∈时，函数1x )x (f 2+-=，则]2,6[x --∈时，=)x (f . ⒊在R 上定义的函数)x (f 是偶函数，且)x 2(f )x (f -=，若)x (f 在 区间]2,1[上是减函数，则)x (f
A. 在区间]1,2[--上是增函数，在区间]4,3[上是增函数
B. 在区间]1,2[--上是增函数，在区间]4,3[上是减函数
C. 在区间]1,2[--上是减函数，在区间]4,3[上是增函数
D. 在区间]1,2[--上是减函数，在区间]4,3[上是减函数
⒋设)x (f 是定义在R 上的奇函数，且)x (f y =的图象关于直线21x = 对称，则=++++)5(f )4(f )3(f )2(f )1(f .
⒌ 已知定义在R 上的奇函数)x (f 满足)x (f )2x (f -=+，则)6(f 的值为
A. 1-
B. 0
C. 1
D. 2
⒍ 已知偶函数)x (f y =满足)1x (f )1x (f -=+，且当]0,1[x -∈时，9
43)x (f x +=， 则)5log (f 31的值等于
A. 1-
B. 5029
C. 45
101 D. 1 ⒎ 设)x (f 为R 上的奇函数，且0)3x (f )x (f =++-，若1)1(f -=-，
2log )2(f a <，则a 的取值范围是 .
⒏ 函数)x (f 对于任意实数x 满足条件)x (f 1)2x (f =
+，若5)1(f -=，则))5(f (f 等于 A. 5 B. 5- C. 51 D. 5
1- ⒐ 已知定义在R 上的函数)x (f y =满足下列三个条件：
① 对于任意的R x ∈，都有)x (f )4x (f =+；
② 对于任意的2x x 021≤<≤，都有)x (f )x (f 21<；
③ 函数)2x (f y +=的图象关于y 轴对称。
则下列结论正确的是
A. )5.15(f )5(f )5.6(f >>
B. )5.15(f )5.6(f )5(f >>
C. )5.6(f )5.15(f )5(f >>
D. )5.6(f )5(f )5.15(f >>
⒑定义在),(∞+∞-上的偶函数)x (f 满足)x (f )1x (f -=+，且在]0,1[-
上是增函数，下面是关于)x (f 的判断：
① )x (f 是周期函数；
② )x (f 的图象关于直线1x =对称；
③ )x (f 在]1,0[上是增函数；
④ ).0(f )2(f =
其中正确的判断是 （把你认为正确的判断都填上）。
⒒设函数)x (f 在),(∞+∞-上满足)x 2(f )x 2(f +=-， )x 7(f )x 7(f +=-，且在闭区间]7,0[上只有.0)3(f )1(f ==
⑴ 试判断函数)x (f y =的奇偶性；
⑵ 试求方程0)x (f =在闭区间]2005,2005[-上的根的个数，并证明你的结论。
⒓ 函数)x (f y =的图象为1C ，1C 关于直线1x =对称的图象为2C ，将2C 向左平移2个单位后得到图象3C ，则3C 对应函数为
A. )x (f y -=
B. )x 1(f y -=
C. )x 2(f y -=
D. )x 3(f y -=
⒔ 函数)R x ()x (f y ∈=满足)x (f 是偶函数，又2003)0(f =，
)1x (f )x (g -=为奇函数，则=)2004(f .
答案：⒈ D ；⒉ 1)4x ()x (f 2++-=；⒊ B ；⒋ 0；⒌ B ；⒍ D ；⒎ 1a >或2
1a 0<< ⒏ D ；⒐ A ；⒑ ①②④；⒒ ⑴ 非奇非偶函数；⑵ 802个根；⒓ A ；⒔ 2003.。