一、基础过关
1．若a，b，c>0且a(a＋b＋c)＋bc＝4－23，则2a＋b＋c的最小值是()
A.3－1
B.3＋1
C．23＋2 D．23－2
答案 D
解析由a(a＋b＋c)＋bc＝4－2 3
⇒a(a＋b)＋(a＋b)c＝(a＋b)(a＋c)＝4－23，
而2a ＋b ＋c ＝(a ＋b )＋(a ＋c )≥2(a ＋b )(a ＋c )
＝2
4－23＝2(3－1)．
∴当且仅当a ＋b ＝a ＋c ，即b ＝c 时等号成立． 2． 若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是
( )
A ．a 2＋b 2>2ab
B ．a ＋b ≥2ab C.1a ＋1b >2ab
D.b a ＋a b
≥2 答案 D
解析 ∵a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0，∴A 错误． 对于B 、C ，当a <0，b <0时，明显错误． 对于D ，∵ab >0，∴b a ＋a
b
≥2
b a ·a b
＝2. 3． 若x >0，y >0，且x ＋y ＝4，则下列不等式中恒成立的是
( )
A.1x ＋y ≤14
B.1x ＋1
y ≥1 C.xy ≥2
D.1xy
≥1 答案 B
解析 若x >0，y >0，由x ＋y ＝4，得x ＋y
4＝1，
∴1x ＋1y ＝1
4
(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋1y ＝14⎝⎛⎭⎫2＋y x ＋x y ≥14(2＋2)＝1. 4． 设a >0，b >0，若3是3a 与3b 的等比中项，则1a ＋1
b
的最小值为
( )
A ．8
B ．4
C ．1
D.14
答案 B
解析 由题意知3a ·3b ＝3，即3a ＋
b ＝3，所以a ＋b ＝1. 因为a >0，b >0，所以1a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋1b (a ＋b )＝2＋b a ＋a
b ≥2＋2 b a ·a
b
＝4， 当且仅当a ＝b ＝1
2
时，等号成立．
5． 若a <1，则a ＋1
a －1
有最____(填“大”或“小”)值，为_______．
答案 大 －1
解析 ∵a <1，∴a －1<0，
∴－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1＋1a －1＝(1－a )＋11－a
≥2(a ＝0时取等号)， ∴a －1＋1a －1≤－2，∴a ＋1a －1
≤－1.
6． 若不等式x 2－ax ＋1≥0对一切x ∈(0,1]恒成立，则a 的取值范围是________．
答案 a ≤2
解析 x 2－ax ＋1≥0，x ∈(0,1]恒成立 ⇔ax ≤x 2＋1，x ∈(0,1]恒成立． ⇔a ≤x ＋1
x ，x ∈(0,1]恒成立
∵x ∈(0,1]，x ＋1
x
≥2，∴a ≤2.
7． 设a 、b 、c 都是正数，求证：bc a ＋ca b ＋ab
c
≥a ＋b ＋c .
证明 ∵a 、b 、c 都是正数，∴bc a 、ca b 、ab
c 也都是正数．
∴bc a ＋ca b ≥2c ，ca b ＋ab c ≥2a ，bc a ＋ab
c ≥2b ， 三式相加得2⎝⎛⎭⎫bc a ＋ca b ＋ab c ≥2(a ＋b ＋c )， 即bc a ＋ca b ＋ab
c ≥a ＋b ＋c . 当且仅当a =b =c 时，等号成立。

二、能力提升
8． 已知a ，b ∈(0，＋∞)，则下列不等式中不成立的是
( )
A ．a ＋b ＋
1
ab
≥2 2 B ．(a ＋b )⎝⎛⎭⎫
1a ＋1b ≥4 C.a 2＋b 2ab ≥2ab
D.2ab a ＋b
>ab 答案 D 解析 ∵a ＋b ＋
1ab ≥2ab ＋1ab
≥22，A 成立； (a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ≥2ab ·
2 1
ab
＝4，B 成立； a 2＋b 2≥2ab >0，∴a 2＋b 2ab
≥2ab ，C 成立；
a ＋
b ≥2ab ，∴2ab a ＋b ≤1，2ab
a ＋
b ≤ab .
9．设0<a <1<b ，则一定有
( )
A ．log a b ＋log b a ≥2
B ．log a b ＋log b a ≥－2
C ．log a b ＋log b a ≤－2
D ．log a b ＋log b a >2
答案 C
解析 ∵0<a <1<b ，
∴log a b <0，log b a <0，－log a b >0，
∴(－log a b )＋(－log b a )＝(－log a b )＋⎝⎛⎭⎫
－1log a b ≥2， ∴log a b ＋log b a ≤－2.
10．若对任意x >0，x
x 2＋3x ＋1
≤a 恒成立，则a 的取值范围为________．
答案 ⎣⎡⎭⎫15，＋∞
解析 ∵x >0，∴x
x 2＋3x ＋1>0，易知a >0.
∴x 2＋3x ＋1x ≥1a ，∴1a ≤x ＋1x ＋3.
∵x >0，x ＋1
x ＋3≥2
x ·1
x
＋3＝5(x ＝1时取等号)， ∴1a ≤5.∴a ≥15
. 11． 已知x >y >0，xy ＝1，求证：x 2＋y 2
x －y
≥2 2.
证明 ∵xy ＝1，
∴x 2＋y 2x －y ＝(x －y )2＋2xy x －y ＝(x －y )2＋2x －y ＝(x －y )＋2x －y
≥2
(x －y )·2
x －y
＝2 2.
当且仅当⎩⎨
⎧
x －y ＝
2
x －y
xy ＝1
，即⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝6＋2
2
y ＝
6－22
时取等号．
12．已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证：
(1)1a ＋1b ＋1
ab ≥8；(2)⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ≥9. 证明 (1)1a ＋1b ＋1ab ＝1a ＋1b ＋a ＋b ab ＝2⎝⎛⎭⎫
1a ＋1b ，
∵a ＋b ＝1，a >0，b >0，
∴1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋a b ＋b a ≥2＋2＝4， ∴1a ＋1b ＋1ab ≥8(当且仅当a ＝b ＝1
2时等号成立)． (2)方法一 ∵a >0，b >0，a ＋b ＝1， ∴1＋1a ＝1＋a ＋b a ＝2＋b a ，
同理，1＋1b ＝2＋a b
，
∴⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ＝⎝⎛⎭⎫2＋b a ⎝⎛⎭⎫2＋a
b ＝5＋2⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ≥5＋4＝9.
∴⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ≥9(当且仅当a ＝b ＝1
2时等号成立)． 方法二 ⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ＝1＋1a ＋1b ＋1
ab . 由(1)知，1a ＋1b ＋1
ab
≥8，
故⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ＝1＋1a ＋1b ＋1
ab ≥9. 三、探究与拓展
13．已知a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1.
求证：⎝⎛⎭⎫1a －1⎝⎛⎭⎫1b －1⎝⎛⎭⎫1c －1≥8.
证明 ∵a ，b ，c 均为正实数，且a ＋b ＋c ＝1， ∴1
a －1＝1－a a ＝
b ＋
c a ≥2bc a ， 同理1b －1≥2ac b ，1c －1≥2ab c
.
由于上述三个不等式两边均为正，分别相乘得
⎝⎛⎭⎫1a －1⎝⎛⎭⎫1b －1⎝⎛⎭⎫1c －1≥2bc a ·2ac b ·2ab c ＝8. 当且仅当a ＝b ＝c ＝1
3
时，等号成立.。