简单的线性规划问题【知识梳理】线性规划的有关概念【常考题型】题型一、求线性目标函数的最值（X+2Q2,【例1】设变重X, *满足约束条件〈2x+ y<4, 则目标函数z= 3x- V的取值范围〔4*- - 1,是（）3A. -6C. [-L6]D. -6,3."+2E,[解析]约束条件〈2X+V<4,y> - 1所表示的平面区域如图阴影部分，直线y= 3x- Z斜率为3 z 取最小值-3.・・z=3x-y 的取值范围为6」，故选A. ［答案］A 【类题通法】解线性规划问题的关键是准确地作出可行域，正确理解z 的几何意义，对一个封闭图形而 言，最优解一般在可行域的边界上取得.在解题中也可由此快速找到最大值点或最小值点.【对点训练】X- 4y< -3,3x+5y<25,求z 的最大值和最小值.Q1,［解］作出不等式组表示的平面区域，即可行域，如图所示.把z=2x+＞变形为v=-2x +乙则得到斜率为-2,在）/轴上的截距为乙旦随z 变化的一组平行直线.由图可以看出, 当直线z=2x+*经过可行域上的点/时，截距z 最大，经过点8时，截距z 最小.|x-4y+3 = 0,解方程组i3H5 =。
，得/点坐标为厚），X=l,解方程组L-4*+3 =。
，得8点坐标为(")，大值 = 2x5 + 2=12, z 建小值=2x 1 + 1 = 3.(于4尸3=0=0题型二、求非线性目标函数的最值(X- y+5>0, X+VA O,x<3.⑴求"=/+必的最大值与最小值；V⑵求 >=六的最大值与最小值.X— O［解］画出满足条件的可行域如图所示，(1) /+,=。
表示一组同心圆(圆心为原点Q,旦对同一圆上的点】+必的值都相等，由图可知：当(X, M在可行域内取值时，当旦仅当圆。
过c点时，〃最大，过(0,0)时，〃最小.又Q3,8),所以u意大也=73、"缺小值=0.y(2) v^=—表示可行域内的点Rx, H到定点Q(5,0)的斜率，由图可知，蜘最大，处。
最A— O小,又03,8), 8(3, -3),-3 3 8所以/ 是大渲= 3 — 5 = 1'，照小坦=3 _ 5 = 一4・【类题通法】非线性目标函数最值问题的求解方法⑴非线性目标函数最值问题，要充分理解非线性目标函数的几何意义，诸如两点间的距离(或平方)，点到直线的距离，过已知两点的直线斜率等，充分利用数形结合知识解题，能起到事半功倍的效果・(2)常见代数式的几何意义主要有:①表示点(x, y)与原点(0,0)的距离；yj x-a 2+ ―表示点(X, V)与点(。
，切的距离.②f表示点(X, M与原点(0,0)连线的斜率；写表示点(X, H与点(D,可连线的斜率.这些代数式的几何意义能使所求问题得以转化，往往是解决问题的关键.X- y+2<0, XA】，则£的最大值是.2. 已知变重x, v满足约束条件【对点训练】x+ y-7<0.［解析］由约束条件作出可行域(如图所示)，目标函数表示坐7N C口+2二0X区B/标(X,刀与原点(0,0)连线的斜率.由图可知，点。
与。
连线斜率最大;5 98与。
连线斜率最小，又5点坐标为员必C点坐标为(L6),所以99［答案］6 z题型三、已知目标函数的最值求参数rx-2<o,【例3］若实数x, *满足不等式组〈/-K0,lx+2y-(7>0,目标函数t=x-2y的最大值为2,则实数d的值是_____________ .［解析］如右图，x=2, 由<[x+2y- <7=0.x=2,得o-2 代入"2p=2中，解得。
=2.V=克一，［答菊2【类题通法】求约束条件或目标函数中的参数的取值范围问题解答此类问题必须明确线性目标函数的最值一般在可行域的顶点或边界取得，运用数形结合的思想、方法求解.同时要搞清目标函数的几何意义.【对点训练】X— y+5>0, x<3, x+ y+ &A0.(旦z=2*+4y的最小值为-6,则常数虹（）A. 2B. 9C. 3yf］QD. 0［解析］选D由题意知，当直线z=2x+4y经过直线x=3与x+y+Zr=。
的交点（3, -3 -幻时，z 最小，所以-6 = 2x3 + 4x（-3-幻，解得虹0.题型四、简单的线性规划问题的实际应用【例4】某公司计划在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟，假定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元.问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？［解］设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为X分钟和V分钟，总收益为Z元, 由题意得'*+ y<300, 500x+200y<90 000, x>0, 、Q0・目标函数为z= 3 000*+2 000/"x+ y<300,5x+2/<900, 二元一次不等式组等价于< 八 <y>o.作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图.作直线/:3 000x+2 000*=0, 即 3x+2y=0.平移直线/,从图中可知，当直线/过M 点时，目标函数取得最大值.・.・点A4的坐标为(100,200).・•・ z 缺大值=3 000*+ 2 000/= 700 000(元)•因此，该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告，公司的收益最大, 最大收益是70万元.【类题通法】x+ y = 300,I5x+2y= 900,解得 *=]00, y= 200.利用线性规划解决实际问题的步骤是：①设出未知数（当数据较多时，可以列表格来分析数据）；②列出约束条件，确立目标函数；③作出可行域；④利用图解法求出最优解；⑤得出结论.【对点训练】4 .铁矿石/和8的含铁率冶炼每万吨铁矿石的C。
△的排放量Z?及每万吨铁矿石的价格c如下表：某冶炼厂至少要生产1.9（万吨）铁，若要求CO△的排放量不超过2（万吨），则购买铁矿石的最少费用为（百万元）.解析：可设需购买/矿石x万吨，3矿石V万吨,则根据题意得到约束条件为：5",0.5x+0.7y>1.9,目标函数为z=3x+6y,当目标函数经过（1,2）点时目标函数取最小值，最小值为：z是小值= 3x1 + 6x2 = 15.答案：15【练习反馈】2*- y+l>0, x-2y- 1 <0, x+y<l的线性约束条件下，取得最大值的可行解为（A. （0,1）B・（一1, -1）C・（1,0） D.解析：选C 可以验证这四个点均是可行解，当x=0f v= 1时，z= - 1;当x= - 1, y=-】时，z=0;当x=l, >=0 时，z=l;当x=；, *=；时，z=0.排除选项A, B, D,故选C.r^+ i,2.已知变量x, v满足约束条件则z=x+2v的最小值为() lx+ 1 >0,A. 3B. 1C. -5D. -6解析：选c由约束条件作出可行域如图：1 Z Z由z=x+2y得y= -］火+云］的几何意义为直线在V轴上的截1 z距，当直线y= "2%+2过直线乂=一 1和x—v= 1的交点4( 一、一2)时，z最小，最小值为-5,故选C.3. 已知实数/、*满足2*,贝ij目标函数z=x-2y的最U<3,小值.解析：不等式组表示的平面区域如下图中阴影部分所示.目标函数可化为：乙作直线及其平行线，知当此直线经过点 /时，-的值最大，即z的值最小.又/点坐标为(3,6),所以z的最小值为3-2x6=-9.答案：-9x+y<4,{点O为坐标原点，那么| PO\的最小值Q1 ,等于,最大值等于解析：点RX,刃满足的可行域为MBC区域，4(1,1),。
1,3).由图可得，|户。
|景小值资料. ...=|4。
|=滋；\PO\景大值= |。
|=廖x+ y>3解：作出不等式组的可行域，如图所示.I2x-3y<3r+y=3 j画出直线G ： x+2*=0,平移直线6到直线/的位置，使/过可行 域内某点，旦可行域内其他点都在/的不包含直线6的另外一侧，该' 点到直线4的距离最小，则这一点使z=x+2y 取最小值.'显然，点4满足上述条件,(x+y=3(]2 3)解[2“3y=3得点4京亦12 3 18・."缺小值=亏+ 2乂吕=亏・5 .已知x, v 满足约束条件［一+ y>32x — 3v<3求z=*+2*的最小值.。