1 4
a2b2



a2

b2 2

c2
2




．②
其实“海伦公式”与“秦九韶公式”实质上是同一个公式，所以我们也称①为“海伦—秦九韶公
式”．同学们，你会用因式分解的知识，对公式②进行变形，一步步推出公式①吗？试一试！
7. （全等三角形、30°角定理）如图，在 △ABC 中， AC BC ， ACB 90 ， D 为
△ABC 内一点，BAD 15 ，AD AC ，CE AD
于 E ，且 CE 5 . （1）求 BC 的长； （2）求证： BD CD .
解：（1）
A
E D
B
C
（2）证明：
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8. 我们知道，假分数可以化为带分数. 例如： 8 = 2+ 2 = 2 2 . 在分式中，对于只含有一 3 33
A
D
B
C
E
F
⑵当我们把 △DEF 的顶点 E 与 A 点重合时，使 ED 、 EF 与 BC 相交，设交点为 P 、G （点 பைடு நூலகம் 在点 G 的左侧），你能证明 BP CG 与 PG 的关系，请你完成自己的证明。
A(E)
B D
C F
10. 如图，等腰直角三角形 ABC 中， BAC 90 ， D 、 E 分别为 AB 、 AC 边上的点，
AD AE ， AF BE 交 BC 于点 F ，过点 FG CD 交 BE 的延长线于点 G ，交 AC 于点
M。 ⑴求证： △EGM 为等腰三角形； ⑵判断线段 BG 、 AF 与 FG 的数量关系并证明你的结论。
A G
E D
M
A G
E D
M
C
F
BC
F
B
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例如： x 1 = (x 1) 2 1 2 ；
x 1 x 1
x 1
x2
x2 11 （x 1)(x 1) 1


x 1
1
.
x 1 x 1
x 1
x 1
（1）将分式 x 1 化为带分式； x2
（2）若分式 2x 1 的值为整数，求 x 的整数值； x 1
S p p a p b p c ．①
古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元 50 年），在数学史上以解决几何测量问题而闻名，
在他的著作《度量》一书中，给出了这一公式和它的证明．
我国南宋时期数学家秦九韶（约 1202——1261），曾提出利用三角形的三边求面积的“秦九韶
公式” S
⑥
⑤
④
③
②
①
（1）当内空格点多边形边上的格点数为 10 时，此多边形的面积为
；
（2）设内空格点多边形边上的格点数为 L，面积为 S，请写出用 L 表示 S 的关系式
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6. 如果一个三角形的三边长分别为 a ， b ， c ，设 p a b c ，则三角形的面积为 2
11. 王一复习时看到这样一道题：如图 1， △ABC 中， BAC 2ACB ，点 D 是 △ABC 内 一点，且 DC DA ， BD BA ， BAC 90 ，探究 DBC 与 ABC 度数的比值。
王一的解题思路是：注意到 DC DA ， △DCA 是等腰三角形，以 AC 为边的中垂线为轴， 将 △ABD 翻折，就可以得到 △KCD ，题目从而得到解决。 王一的解法如下：作 KCA BAC ，过点 B 作 BK ∥ AC 交 CK 于点 K ，连结 DK 。进而 得到一个等腰梯形 KCAB ， KC AB 。 如图 2 在题目条件和王一推得的条件下试完成下面的证明 ⑴证明： KD DB ; ⑵求 KBD 的度数； ⑶探究 DBC 与 ABC 度数的比值。
）
A． 24°
B． 25°
C． 30°
D． 35°
A
2
B' 1
F
E
B
C
4. 若 关 于 x 的 二 次 三 项 式 x2 + k x b因 式 分 解 为 (x 1) x( 3，) 则 k + b 的 值 为
__________.
5. 如图，图中的方格均是边长为 1 的正方形，每一个正方形的顶点都称为格点. 图①~⑥⑥ 这些多边形的顶点都在格点上，且其内部没有格点，象这样的多边形我们称为“内空格 点多边形”.
（3）（函数）求函数 y 2x2 1 图象上所有横纵坐标均为整数的点的坐标. x 1
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9. 已知：如图， △ABC 和 △DEF 都是等腰直角三角板， BAC 90 ， EDF 90 。 ⑴请你利用这两块三角板画出 BC 的中点（用示意图表示）；
个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分
子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”. 例如： x 1 ， x2 这样的分式 x 1 x 1
就是假分式； 3 ， 2x 这样的分式就是真分式 . x 1 x2 1
带分式（即：整式与真分式和的形式）.
类似的，假分式也可以化为
A． 2x2 4x
B． x2 x 1 4
C． x2 9 y2
2. 已知整数 m 满足 m 38 m 1，则 m 的值为（
D．1 m2
）
A．4
B． 5
C．6
D．7
3. 如图，把△ ABC 沿 EF 对折，叠合后的图形如图所示.若
C'
A 60 ， 1 95 ，则∠2 的度数为（
AC 10 .
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初二期末复习精品资源 命题人：学而思网校韩春成老师
简 介：学而思初中数学教研主任、学而思五佳教师、状元教师、杯赛命题人
代表作：《几何辅助线秘籍》 、 《培优辅导跟踪练习》等系列书籍
网校课程：/t/hanchuncheng
1. 下列各式不能分解因式的是
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【答案】
1. C
2. C
3. B
4. 1
5.
4， S 1 L 1 2
6. 略（提示：运用公式法进行因式分解）
7. 解：（1）在△ ABC 中，
AC BC , ACB 90 ,
BAC 45.
BAD 15 ,
CAD 30 .
CE AD , CE 5 ,